Module probabilités 3

Module Statistique et probabilités_ partie 4
Zahra ROYER
→ Les Thèmes abordés
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Introduction et définitions
Dénombrement
Axiomatique des probabilités. Probabilités conditionnelles.
Formule de Bayes.
Variables aléatoires. Moments
Lois de probabilités.
Modèle Binomiale. Modèle Poisonnien.
Modèle normal
Indépendance.
Inégalité de Markov. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Estimation et échantillonnage
→INTRODUCTION _ OBJECTIF :
Quelque soit la taille ou le secteur d’activités d’une entreprise ; ses acteurs sont
amenés à prendre des décisions et des engagements dans l’avenir.
L’’informaticien ; le gestionnaire, chacun, participe à son niveau et influence les
décisions futures, par la quantité et la qualité de l’information censée éclairer les
décideurs.
Chacun présente ses résultats en tenant compte des diverses éventualités. Les
variables retenues par le gestionnaire par exemple peuvent être en autre :
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le chiffre d’affaires
les stocks,
l’évolution des comportements des consommateurs,
les demandes de rentabilité des actionnaires
le temps d’attente d’un retour sur investissement
la durée de vie de matériels
divers coûts
et bien d’autres caractères…
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Dans ses considérations il va essayer d’évaluer et/ou estimer les chances de leurs
réalisations ou non réalisations. De ces considérations naissent des décisions qui
peuvent être destructrices lorsqu’on se trompe.
Ainsi pour un caractère donné cela ne suffit pas de faire un pronostic sur une
valeur attendue mais il faut donner un poids (qui mesure ses chances de se
réaliser) ce poids ce n’est autre que sa probabilité.
Un petit topo sur les points de vue des scientifiques sur les probabilités
Définitions :
→ Probabilité à priori (ou théorique)
C’est une probabilité déterminée à l'avance, sans effectuer aucune expérience
Exemple : la probabilité qu'une pièce de monnaie bien équilibrée tombe sur pile est
1/2
→ Probabilité empirique
C’est la probabilité d'un événement est déterminée à l'aide de l'observation et de
l'expérimentation. La probabilité d'un événement correspond à la fréquence relative
ou encore la proportion d'occurrence de l'événement. Lorsque l'expérience est
répétée un très grand nombre de fois. C’est aussi le point de vue dit fréquentiste.
Exemple: un gestionnaire de fonds a investi ces derniers temps dans 15500
portefeuilles et, parmi ceux-ci, il a perdu toute sa mise sur 845 portefeuilles la
probabilité de perdre la mise totale du gestionnaire sur la période considérée est
π = 845/15500
→ Probabilité subjective
On retrouve ce type de probabilité lorsqu'il est impossible d'établir la probabilité a
priori ou de façon empirique. On doit alors s'en remettre à notre bon jugement, qui
s’avère très mauvais ...
Exemple: évaluer à 0,01 la probabilité que l’horizon économique s’éclaircisse fin
2011 !!! Ça ne vaut rien, mais la majorité des économistes usent et utilisent ce type
d’arguments pour vendre leurs idées.
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Les outils de base pour aboutir à un pronostic ou une probabilité d’occurrence
ont tous une pierre d’achoppement : l’analyse combinatoire. Dans ce qui suit on
se restreint au strict minimum
→ Dénombrement :
Arrangements
Combinaisons
Permutations
Exemple introductif :
La société de communication Gama conçoit et valide les logos pour le compte d’un
très grand nombre d’entreprises.
Pour réaliser un logo, cinq couleurs sont nécessaires à choisir parmi 50 possibles.
Une première couleur est choisie, à chaque tirage suivant, la couleur qui vient
d'être tirée est enlevée de la gamme.
Ainsi, s'il traite 5 entreprises, le tirage se ferait sur 50 couleurs, puis sur 49, et
ainsi de suite jusqu'à 46.
→ Pour traduire la(s) répétition(s) ou l’(s)apparition(s) de certains phénomènes
on besoin de savoir les dénombrer, il faut savoir cataloguer les objets les
stratégies et possibilités ou impossibilités parmi n données (individus, projets,
décisions ....) toutes différentes on doit calculer le nombre de possibilités de faire
un choix de p parmi n on doit se poser alors naturellement 2 questions :
♣ On vat former des p-listes où l’individu figure une et une seule fois dans la
p-liste : tirage sans remise
♣ On va former des p-listes où l’individu figure plusieurs fois dans la p-liste :
tirage avec remise,
Ensuite on va voir si dans chacun des cas précédants on a
• Une situation d’ordre
• Une situation où l’ordre n’a pas d’importance.
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→ ARRANGEMENT
Créer une liste de p données parmi n dans l’ordre et sans répétition : s’appelle
arranger le nombre de façons de faire, le nombre d’arrangements possibles est :
n!
= n(n − 1).....(n − p + 1) : Lire ‘’arranger p parmi n’’
(n − p )!
Pour l’exemple : A505 = 50 * 49 * 48 * 47 * 46 où le dernier terme est 46 = 50 − 5 + 1
Anp =
Soit : 254251200 logos
→ COMBINAISONS :
Créer une liste de p données parmi n dans le désordre et sans répétition : s’appelle
combiner le nombre de façons de faire, Le nombre de combinaisons est :
 p
n!
C np =   =
: Lire ‘’combiner p parmi n’’
 n  p!(n − p )!
50!
50 * 49 * 48 * 47 * 46
=
= 2118760
Pour l’exemple : C 505 =
5!45!
5* 4 * 3* 2* 1
Soit : 2118760 logos, beaucoup moins que ci-dessus car dans ce cadre les logos
portant les mêmes couleurs sont considérés identiques quelque soit l’ordre des
couleurs.
→ PERMUTATION
Lorsque le nombre p=n l’arrangement est une simple permutation le nombre de
façons de faire est : n! = 1* 2 * 3 * ................* ( n − 1 )* n
«n ! Lire n factorielle »
Exemple : 5 != 5*4*3*2*1= 120
Si on ne dispose que de 5 couleurs et qu’on prenne en compte l’ordre alors le
nombre de logos est 120.
Propriétés immédiates et remarques
• Lorsque k = n, les arrangements de n éléments parmi n sont les
permutations de n éléments. Lorsque k = n, on a Ann = Pn = n! .
Ne pas confondre les arrangements et les combinaisons,
• Exemple : à une seule combinaison, un ensemble {2, 3, 5} de trois éléments
correspondent six arrangements différents :
(2, 3, 5), (2, 5, 3), (3, 2, 5), (3, 5, 2), (5, 2, 3), (5, 3, 2).
• Pour vous en convaincre : un code pour carte bancaire à trois chiffres
différents choisis parmi : 2, 3, 5, doit être écrit dans l’ordre.
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• Alors qu’un jeu vous fait gagner une certaine somme si vous possédez les
jetons n°3, n°2 et n°5
• Une combinaison de p éléments d'un ensemble F de n éléments ; est un sousensemble de p éléments de F.
p
• Le nombre An d'arrangements de p éléments parmi n est donc égal à p! fois
le nombre de combinaisons de p éléments de F.
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EXERCICES : ARRANGEMENTS ; PERMUTATIONS ET COMBINAISONS
Exercice 1 :
Une entreprise de communication fabrique du matériel nécessitant l’installation de
codes à 4 chiffres différents parmi les 10.
• 1- Combien de possibilités a-t-elle de créer ces codes ?
• 2- Si on veut des codes à 2 chiffres seulement ?
• 3- Si on veut que tous les chiffres soient non nuls ?
• 4- Ici on prend tous les chiffres de 0 à 9, combien de codes à 10 ?
Réponses : la notion de code induit implicitement de l’ordre.
1- A104 = 10 * 9 * 8 * 7
2- A102 = 10 * 9
3- A94 = 10 * 9 * 8 et A92 = 9 * 8
4- 10 !
Exercice 2 :
Dans une course de 17 chevaux, on considère qu’il n’y ait pas d’ex-æquo
(hypothèse non réaliste, bien sûr, mais nécessaire pour faire les applications
simples).
• 1- Combien de tiercés gagnants dans l’ordre?
• 2- Combien de tiercés gagnants dans le désordre ?
• 3- Même question pour les quintés.
Réponses :
1- A173 = 17 * 16 * 15
2- C173 =
17!
17 * 16 * 15
=
= 17 * 8 * 5
3!14!
3* 2 * 1
3- reprendre les calculs avec 5 au lieu de 3.
Exercice 3 : Un représentant d’accessoires pour auto doit livrer 4, clients dans la
journée.
• 1- De combien de façons peut-il organiser sa tournée ?
• 2- Comment s’organisera-t-il s’il a 10 clients à livrer la même journée ?
Réponses : 1) 4 !
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2) 10 !
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Exercice 4 : Un groupe d’adhérents à une association de 18 personnes doit
désigner un bureau composé de 3 membres :
• 1- le président ;
• 2- le secrétaire et
• 3- le trésorier.
Quel est le nombre de bureaux possibles ?
Réponses :
1
1- pour choisir le président on a 18 possibilités : A18 = 18
1
2- pour choisir le secrétaire on a 17 possibilités A17 = 17
1
3- pour choisir le trésorier on a 16 possibilités A16 = 16
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