Les principes de la mécanique quantique PRINCIPES DE LA MECANIQUE QUANTIQUE Mots clés de la description quantique d’un système physique Etats du système « observables » de ce système Evolution temporelle du système Relations d’incertitude : Avec quel degré de précision peut-on espérer connaître plusieurs grandeurs physiques simultanément ? Quand a-t-on besoin de la mécanique quantique ? D. Marchand Les principes de la mécanique quantique PHYSIQUE NEWTONIENNE OU PHYSIQUE ONDULATOIRE ? Particule ponctuelle de masse m (non relativiste) G G {r ( t ) , p ( t )} Newton Position et impulsion réelles G ψ (r,t) Schrödinger ψ G 2 3 est continue et ∫ ψ ( r , t ) d r = 1 G 2 3 3 description probabiliste : d P = ψ ( r , t ) d r Les concepts classiques cessent de s’appliquer quand : Action caractéristique ≈ constante de Planck h Avec : Action = longueur caractéristique x impulsion caractéristique D. Marchand Les principes de la mécanique quantique LA PHYSIQUE QUANTIQUE PEUT EGALEMENT ETRE MACROSCOPIQUE Superfluidité de l’hélium liquide à basse température (T<2,3K). Supraconductivité de certains métaux à basse température. lévitation Effet « fontaine » Caractère quantique marqué si : distance entre voisins < longueur d’onde de de Broglie D. Marchand Les principes de la mécanique quantique Mesures sur une particule ponctuelle G Particule ponctuelle de masse m dans un état ψ ( r , t ) Mesure de position G 2 ψ r Le résultat n’est pas certain : variable aléatoire de densité de probabilité ( , t ) Si on effectue une mesure de position sur un grand nombre de particules, toutes G ψ r , t ) , on peut tracer un histogramme : ( préparées dans le même état Position moyenne G 2 G G x = ∫ x ψ ( r , t ) d 3r = ∫ψ ∗ ( r , t ) xψ ( r , t ) d 3r G G G 2 3 G G G ⇒ r = ∫ r ψ ( r , t ) d r = ∫ψ ∗ ( r , t ) rψ ( r , t ) d 3r Mesure d’impulsion =G G G ∗ G p = ∫ ψ ( r , t ) ∇ψ ( r , t ) d 3 r i D. Marchand Les principes de la mécanique quantique Mesures sur une particule ponctuelle G G A r A toute grandeur de la physique newtonienne ( , p ) , on associe un opérateur  tel que G ˆ G 3 A = ∫ψ ( r , t ) A ψ ( r , t ) d r ∗ Action de l’opérateur position G G r̂ sur la fonction d’onde : multiplication par r Action de l’opérateur impulsion Opérateur moment cinétique G p̂ sur la fonction d’onde : Gˆ G G L = rˆ ∧ pˆ =G ∇ i ∂ ∂ ˆ G ˆ ⇒ Action sur ψ ( r , t ) : Lz = −i= x − y , Lx = " , Lˆ y = " ∂x ∂y D. Marchand Les principes de la mécanique quantique FORMULATION GENERALE DE LA MECANIQUE QUANTIQUE L’état d’un système est caractérisé par un vecteur ψ ( t ) Hilbert. G Particule ponctuelle : ψ ( r , t ) G G ψ r élec. , rprot. , t Atome d’hydrogène : ( d’un espace de Fonctions de carré sommable ) Autres types de degré de liberté : moment magnétique, spin, polarisation… → Le vecteur ψ ( t ) D. Marchand Espaces de dimension finie est normé : ψ ( t ) = ψ ( t ) 2 → 2 = ψ (t ) ψ (t ) = 1 G 2 3 généralisation de ∫ ψ ( r , t ) d r = 1 Les principes de la mécanique quantique OBSERVABLES Relation entre le formalisme et les quantités physiquement mesurables A toute grandeur physique A, on associe un opérateur  agissant dans l’espace de Hilbert. En dimension finie,  est une matrice carrée Les opérateurs hermitiens  associés aux grandeurs physiques sont ( Aˆ = Aˆ † → ψ 1 Aˆ ψ 2 = ψ 2 Aˆ ψ 1 vecteur ligne vecteur colonne matrice carrée D. Marchand ) ∗ Observables Les principes de la mécanique quantique MESURES INDIVIDUELLES Le principe énoncé pour une particule ponctuelle se généralise à tout système physique : La valeur moyenne des résultats d’une mesure de A, effectuée sur un grand nombre de systèmes tous préparés dans l’état ψ ∑ a N (a ) = = ψ ∑ N (a ) i A vaut : i i Aψ ( réel ) i i G G généralisation de A = ∫ψ ∗ ( r , t ) Aˆ ψ ( r , t ) d 3 r Mais quels sont les résultats individuels possibles ai et leur probabilité pi ? D. Marchand Les principes de la mécanique quantique MESURES INDIVIDUELLES Principe : • Dans une mesure de propres aα de A, les seuls résultats possibles sont les valeurs  . • La probabilité de trouver la valeur propre aα , de vecteur propre associé ψ α est : P ( aα ) = ψ α ψ 2 ψ ψα ψα ψ = ∑α Ceci est bien cohérent : A = ∑α aα P ( aα ) = ∑α aα = ψ Aˆ ∑ ψ α α ψ Aˆ ψ α ψ α ψ ψα ψ Si la valeur propre est dégénérée, cette formule se complique un peu : P ( aα ) = Pˆα ψ D. Marchand 2 où P̂α est le projecteur sur le sous-espace propre de aα Les principes de la mécanique quantique UN EXEMPLE CONCRET : ENERGIE D’UN ELECTRON DANS UN PUITS QUANTIQUE Potentiel électrostatique vu par un électron de conduction V(x) x Sandwich de Al Ga As – Ga As – Al Ga As L’observable (particulièrement importante) associée à l’énergie est l’Hamiltonien. Pour une particule ponctuelle à 1D : D. Marchand 2 ˆ p + V ( xˆ ) Hˆ = 2m = d ˆ p = avec i dx Les principes de la mécanique quantique LE PUITS QUANTIQUE (suite) Une mesure de l’énergie de l’électron ne peut donner comme résultat qu’une des valeurs propres Eα de l’Hamiltonien : 2 =2 " − ψ α ( x ) + V ( x )ψ α ( x ) = Eαψ α ( x ) 2m 2 = d Hˆ = − + V ( x) 2 2m dx V(x) Eα x D. Marchand Spectre continu d’énergie : Etats asymptotiquement libres Partie discrète du spectre : Etats liés Les principes de la mécanique quantique UN AUTRE EXEMPLE CONCRET : L’OSCILLATEUR HARMONIQUE 2 ˆ p 1 2 2 ˆ + mω xˆ H= 2m 2 spectre discret : 1 En = n + =ω 2 Etat fondamental (n=0) : fonction d’onde gaussienne x2 ψ 0 ( x ) ∝ exp − 2 avec α = 2α D. Marchand = mω Les principes de la mécanique quantique NOTATIONS DE DIRAC : EN RESUME... bg • L'état d'une particule est défini par la donnée de sa fonction d'onde Ψ r appartenant à l'espace L2 des fonctions de carré sommable. On définit, par isomorphisme, l'espace vectoriel des états, E tel qu'à toute fonction Ψ ∈L2 correspond un vecteur "ket" Ψ ∈E . • L'état d'une particule sera donc défini par la donnée d'un ket Ψ . Soit Ψ le vecteur de E*, espace dual de E. On appellera "bra" ce vecteur. Φ Ψ = Φ * r Ψ r d 3r On munit l'espace vectoriel E du produit scalaire Φ Ψ défini par : z bg bg • L'espace E ainsi construit a donc la structure d'un espace de Banach (encore appelé pré- Hilbertien). Si de plus on munit cet espace d'une base orthonormée complète, E est alors un espace de Banach complet ou espace de Hilbert. • Les vecteurs de base vérifient une relation d'orthonormalité et une relation de fermeture (traduisant le caractère complet de la base choisie dans E). • Si les vecteurs de base sont repérés par des indices discrets (on parlera alors de "base discrète"), ces deux relations s'écrivent : ui u j = δ ij où δ est le symbole de Kroneker ∑ ui ui = 1 où 1 est l'opérateur identité ij i • Si les vecteurs de base sont repérés par des indices continus (on parlera alors de "base continue"), ces deux relations s'écrivent : b uα uβ = δ α − β D. Marchand g où δ est une distribution de Dirac z dα uα uα = 1 Les principes de la mécanique quantique NOTATIONS DE DIRAC : EN RESUME...(suite) m r m r. On notera respectivement ces deux types de base : ui et uα ªCHOIX DE DEUX BASES CONTINUES DANS L'ESPACE L2 DES FONCTIONS D'ONDES On choisit l'ensemble des fonctions : bg b g ξr'(r) =δ (r-r') et v p' r = 2π= bg b g ( v p' r = 2π= − 32 exp FG i p'.rIJ H= K − 32 exp FG i p'.rIJ H= K est l'ensemble des ondes planes où b2π=g 3 2 est un facteur de normalisation rendant "symétriques" les expressions d'une transformée de Fourier et de son inverse. r' et p' . Par isomorphisme, il correspond respectivement dans E, deux bases notées m r m r m r ou de représentation m p' r. Suivant la base utilisée on parlera de représentation r' ______________________________________________________________________________ On rappelle que δ désigne la distribution de Dirac, c’est-à-dire la « fonction généralisée » définie zbgbg b bg par :δ b x g = 0 pour x ≠ 0 et δ b0g = +∞ et plus précisément, telle que l’on ait : δ x f x dx = f 0 a pour tout intervalle D. Marchand a, b contenant 0, et toute fonction f continue sur a, b . Les principes de la mécanique quantique LES POSTULATS DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE POSTULAT I bg A un instant t0 fixé, l'état d'un système physique est défini par la donnée d'un ket ψ t 0 appartenant à l'espace des états E. POSTULAT II Toute grandeur physique mesurable A est décrite par un opérateur hermitique A agissant dans E. Cet opérateur est une observable. POSTULAT III La mesure d'une grandeur physique A ne peut donner comme résultat qu'une des valeurs propres de l'observable A correspondante. POSTULAT IV • cas d'un spectre discret non dégénéré : Lorsqu'on mesure la grandeur physique A sur un système dans l'état ψ normé, la probabilité d'obtenir comme résultat la valeur propre non-dégénérée an de l'observable A correspondante est b g P an = un ψ 2 où un est le vecteur propre normé de A associé à la valeur propre an. D. Marchand Les principes de la mécanique quantique LES POSTULATS DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE (suite) • cas d'un spectre discret dégénéré : Lorsqu'on mesure la grandeur physique A sur un système dans l'état ψ normé, la probabilité P(an) d'obtenir comme résultat de la mesure la valeur propre an de l'observable A correspondante est : 2 P an = ∑ uni ψ b g i o t i où i = 1,2.....gn, gn étant le degré de dégénérescence de an et un un système orthonormé de vecteurs formant une base dans le sous-espace propre En associé à la valeur propre an de A. • cas d'un spectre continu et non-dégénéré : Lorsqu'on mesure la grandeur physique A sur un système dans l'état normé ψ , la probabilité dP(a) d'obtenir un résultat compris entre a et a + da est : dP ( a ) = va ψ 2 da où va est le vecteur propre correspondant à la valeur propre a de l'observable A associée à A. D. Marchand Les principes de la mécanique quantique LES POSTULATS DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE (suite) POSTULAT V Si la mesure de la grandeur physique A sur le système dans l'état ψ donne le résultat an, l'état du système immédiatement après la mesure est la projection normée de ψ sur le sous-espace propre associé à an, soit : Pn ψ ψ Pn ψ POSTULAT VI L'évolution dans le temps du vecteur d'état bg ψ t bg 1/ 2 est régie par l'équation de Schrödinger : bg bg d i= ψ t = H t ψ t dt où H(t) est l'observable associée à l'énergie totale du système. A la position r(x,y,z) de la particule est associée l'observable R(X,Y,Z) ; à l'impulsion p(px,py,pz) de la particule est associée l'observable P(Px,Py,Pz). L'observable A qui décrit une grandeur physique A définie classiquement s'obtient en remplaçant dans l'expression convenablement symétrisée de A, r et p par les observables R et P respectivement. D. Marchand