Chap 1 Arithmétique - Collège Albert Sidoisne

Chap 1
Arithmétique
I. Les ensembles de nombres
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les entiers naturels : ceux sont les nombres entiers positifs, 0,1, 2, ... On les note ℕ.
les entiers relatifs : ceux sont les nombres entiers positifs ou négatifs (-6 ; - 2 ; 3 ; ...)
On les note ℤ.
les décimaux : ceux sont les nombres pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction
45
67
30
décimale ( 4,5=
; −0,067=−
; 3=
par exemple). On les note ID.
10
1000
10
les rationnels : ceux sont les nombres pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction
1
4
6
(
; − ; 6= ; ...). On les note ℚ.
3
7
1
les irrationnels : ce sont les nombres qui ne sont pas rationnels (  ;  2 ; ...).
5
ℕ
ℤ
0
ℚ
ID
-8
1
-3
-4,1
2
3
−
5
7
2

ℝ
L'ensemble des nombres connus au collège forme l'ensemble des réels, noté ℝ.
II. PGCD de deux nombres entiers naturels
1. Division euclidienne
définition : La division euclidienne d'un entier a (le dividende) par entier b non nul (le diviseur)
est l'opération qui permet de trouver le quotient q et le reste r tels que :
a = (q × b) + r avec r < b
exemple :
On a alors :
• 357 est le dividende
• 12 est le diviseur
• 29 est le quotient
• 9 est le reste.
-
3
5
7
2
4
1
1
7
1
0
8
1
2
2
9
9
2. Multiples et diviseurs
Si le
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•
•
reste de la division euclidienne de a par b est égal à zéro, on dit que :
a est un multiple de b,
b est un diviseur de a,
a est divisible par b.
exemple :
357
- 34
1 7
- 1 7
0
1 7
2 1
On peut écrire 357 = 21 × 17  0 , le reste est nul.
On peut écrire :
357 est un multiple de 17 ou 17 est un diviseur de 357 ou 357 est divisible par 17
Rappel : On appelle critère de divisibilité un moyen rapide de savoir si un nombre entier est
divisible par un nombre donné.
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•
•
•
•
Un
Un
Un
Un
Un
nombre
nombre
nombre
nombre
nombre
est
est
est
est
est
divisible
divisible
divisible
divisible
divisible
par
par
par
par
par
2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
10 si son chiffre des unités est 0.
3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
définition : Un nombre premier est un nombre entier qui n'admet que 2 diviseurs : 1 et luimême.
3. PGCD
On considère 2 nombres entiers positifs a et b.
définition : Un diviseur commun à a et à b est un nombre qui divise a et b.
exemple : Trouver les diviseurs communs de 24 et 36.
24 : 1 – 2 – 3 – 4 – 6 – 8 – 12 – 24
36 : 1 – 2 – 3 – 4 – 6 – 9 – 12 – 18 - 36
les diviseurs communs sont : 1 – 2 – 3 – 4 – 6 – 12.
définition : Parmi les diviseurs communs à a et à b, l'un d'entre eux est plus grand que les
autres. On l'appelle le Plus Grand Commun Diviseur ou PGCD de a et b. On le note PGCD (a ; b).
exemple : on en déduit que : PGCD (24 ; 36) = 12
III. Algorithmiques de calcul du PGCD
Un algorithme est une succession de manipulations sur les nombres qui s'exécutent toujours
de la même façon.
1. algorithmique des soustractions successives
propriété : a et b sont des nombres entiers positifs tel que a  b . On a alors :
PGCD a ; b = PGCD a−b ; b .
exemple : calculer le PGCD de 252 et 360.
360 − 252 = 108
252 − 108 = 144
144 − 108 = 36
108 − 36 = 72
72 − 36 = 36
36 − 36 = 0
A partir de la 2ème étape, on soustrait les 2 plus petits nombres.
L'algorithme s'arrête lorsque l'on obtient 0. Le PGCD est alors la
dernière différence non nulle : 36
PGCD (360 ; 252) = PGCD (252 ; 108) = PGCD (144 ; 108) = PGCD (108 ;
36) = PGCD (72 ; 36) = PGCD (36 ; 36) = 0
2. algorithmique d'Euclide
propriété (admise) : a et b sont des nombres entiers positifs tel que a > b . On note r le reste
de la division euclidienne de a par b. On a alors : PGCD a ; b = PGCD b ; r .
exemple : Calculer le PGCD de 1078 et 322.
1078 = 3 × 322  112
322 = 2 × 112  98
112 = 1 × 98  14
98 = 7 × 14  0
A partir de la 2ème étape, on divise de diviseur précédent par le reste
précédent. Le PGCD est alors le dernier reste non nul : 14.
PGCD (1078 ; 322) = PGCD (322 ; 112) = PGCD (112 ; 98) = PGCD (98 ;
14) = 14
IV. Fractions irréductibles
définition : Deux entiers naturels non nuls sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.
Autrement dit, 1 est le seul diviseur commun à ces deux entiers naturels.
exemples :
45 et 91 ?
117 et 91 ?
91 = 2 × 45  1
45 = 1 × 45  0
117 = 1 × 91  26
91 = 3 × 26  13
26 = 2 × 13  0
On a PGCD (45 ; 91) = 1 donc 45 et 91 sont
premiers entre eux.
On a PGCD (117 ; 91) = 13 donc 117 et 91 ne
sont pas premiers entre eux.
définition : Une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers
entre eux.
Pour rendre une fraction irréductible, il faut la simplifier par son PGCD.
exemple : Rendre
136
irréductible.
782
782 = 5 × 136  102
136 = 1 × 102  34
102 = 3 × 34  0
On a donc : PGCD (136 ; 782) = 34.
On obtient :
136
34 × 4
4
=
=
782 34 × 23 23