ANGLES ORIENTÉS ET FONCTIONS CIRCULAIRES I. LE RADIAN Un angle peut se mesurer en degrés mais également en radians, ainsi la mesure d'un angle droit AOB est égale à 90 en degrés π π et à en radians. On note AOB = 90 ° = rad. De manière générale si l'on a AOB = x ° = y rad alors x = y . 180 π 2 2 Propriété 1 Soient A et B deux points d'un cercle c de centre O et de rayon r. Si AOB = α rad alors la longueur de l'arc AB est égale à ℓ = r α 2 et l'aire du secteur angulaire hachuré est égale à α r . 2 II. MESURES D’UN ANGLE ORIENTÉ 1) Orientation du plan B α ℓ A O Sur un cercle il existe deux sens de parcours. Orienter un cercle c’est qualifier un des sens de parcours de positif ou direct, l’autre sens étant alors dit négatif ou indirect. Orienter le plan c’est choisir sur tous les cercles du plan la même orientation. convention usuelle sens positif Définition 1 On appelle cercle trigonométrique un cercle de rayon 1 orienté selon la convention usuelle. 2) Angle orienté de deux vecteurs non nuls Définition 2 On appelle angle orienté des vecteurs non nuls u et v le couple de vecteurs ( u , v ). Si v = k u , avec k > 0, l’angle est dit nul et si v = k u , avec k < 0, l’angle est dit plat. Dans les deux cas on a ( u , v ) = ( v , u ). Dans les autres cas les angles ( u , v ) et ( v , u ) sont différents. Ils sont dits opposés. représentation On commence par prendre deux représentants de même origine des vecteurs u et v. Posons u = OA et v = OB , on a alors ( u , v ) = ( OA , OB ) . On trace une flèche « courbe » allant de [OA) vers [OB). On utilise de préférence la « petite flèche ». B O A 3) Mesures d’un angle orienté de vecteurs non nuls Définition 3 Une unité d’angles est choisie (radians ou degrés). La mesure principale de l’angle orienté ( u , v ) = ( OA , OB ) est égale à la mesure de l’angle géométrique AOB lorsque la « petite flèche » tourne dans le sens positif, et à – AOB quand la « petite flèche » tourne dans le sens négatif. On convient que la mesure principale d’un angle plat est π en radians et 180 en degrés. La valeur absolue de la mesure principale est égale à la mesure de l’angle géométrique associé. Définition 4 Soit α la mesure principale en radians de l’angle orienté ( u , v ). Les mesure en radians de l’angle orienté ( u , v ) sont tous les réels α + 2 k π , avec k entier relatif. méthode Pour savoir si les réels a et b sont deux mesures en radians d’un même angle orienté on regarde si a – b (ou b – a) est un multiple de 2π, autrement dit, on regarde s’il existe un entier relatif k tel que : a – b = 2kπ (a – b = 360 k en degrés). Propriété 2 La mesure principale en radians d’un angle orienté est l’unique mesure qui appartient à l’intervalle ] – π ; π ]. 1/5 • Notations Par abus on confond un angle orienté et une de ses mesures, qu’elle soit en radians ou en degrés. Ainsi en radians, pour un angle droit indirect ( u , v ) on notera : ( u , v ) = – π + 2kπ , k ∈ Z ou ( u , v ) = 3 π + 2kπ , k ∈ Z 2 2 3 π π On peut également noter : ( u , v ) = – [2π] ou ( u , v ) = [2π] 2 2 On lit : « l’angle orienté u, v a pour mesure – π sur 2 modulo 2π » ou « u, v est égal à – π sur 2 modulo 2π ». On comprend alors que – π/2 est une mesure en radians de l’angle orienté ( u , v ) et que toutes les autres mesures s’obtiennent en ajoutant 2kπ, avec k ∈ Z . En degrés on écrirait : ( u , v ) = – 90 + 360 k, k ∈ Z ou ( u , v ) = – 90 [360] ou ( u , v ) = 270 [360] • Lien avec le cercle trigonométrique Soit l’angle orienté ( u , v ) = ( OA , OB ) . Le cercle trigonométrique c coupe la demi-droite [OA) en A’ et la demi-droite [OB) en B’. La valeur absolue d’une mesure en radians de l’angle orienté est égale à la longueur d’un déplacement sur c pour aller de A’ à B’. La mesure est positive lorsque le déplacement s’effectue dans le sens positif et négative lorsqu’il s’effectue dans le sens négatif. La mesure principale correspond au trajet le plus court (π pour l’angle plat par convention). III. O → v → Égalité d’angles ou de mesures Sur la figure on a : ( u , w ) = 3π + π [2π] , soit ( u , w ) = 5π 4 2 4 [2π] w ( 5π – 2π = – 3π ) 4 4 Si ( u , v ) = π [2π] alors ( v , u ) = – π [2π] 6 6 ( v , u ) = – ( u , v ) + 2kπ ( k ∈ Z) . Propriété 5 (Égalités remarquables) Soient α et β deux réels non nuls. Si α et β sont de même signe, alors Si α et β sont de signes contraires, alors (α u,β v ) = ( u, v ) + 2kπ (α u,β v ) = ( u, v ) + π + 2kπ ( k ∈ Z) . u, v ) = ( u, v ) + π [2π] (– u , – v ) = ( u, v ) [2π] (– (B A , CA ) = ( AB , AC ) - → u v -→ Propriété 6 (alignement) Propriété 7 (parallélisme) → v → u ( u , w ) = ( u , v ) + ( v , w ) + 2kπ ( k ∈ Z) . Propriété 3 (Relation de Chasles) A A' C PROPRIÉTES DES ANGLES ORIENTÉS Propriété 4 (Angles opposés) B B' ( k ∈ Z) . ( u,– v ) = ( u, v ) + π [2π] (B A , A C ) = ( AB , AC ) + π [2π] ( A B , CA ) = ( AB , AC ) + π [2π] → → v u → → -u u ici ( u , v ) = π [2π] 4 et (– u, v ) = π + π [2π] 4 ou (– u , v ) = – 3 π [2π] 4 Trois points distincts A, B et C sont alignés si, et seulement si, ( AB , AC ) = 0 [2π] ou ( AB , AC ) = π [2π] , soit ( AB , AC ) = 0 [π] (AB) // (CD) ⇔ ( AB , CD ) = 0 [2π] ou ( AB , CD ) = π [2π] soit (AB) // (CD) ⇔ ( AB , CD ) = π [π] Propriété 8 (orthogonalité) (AB) ⊥ (CD) ⇔ ( AB , CD ) = (AB) ⊥ (CD) ⇔ ( AB , CD ) = [2π] ou ( AB , CD ) = [2π] [2π] 2/5 Propriété 9 (Effet des transformations) Les rotations et les translations C' C conservent les angles orientés, par contre une réflexion d’axe d transforme un angle orienté en son opposé.. B' A' D A B C Propriété 10 (triangles) En radians, la somme des mesures des angles orientés d’un triangle est égale à π modulo 2π. Pour un triangle ABC direct on a : ( AB , AC ) + ( BC, BA ) + ( CA , CB ) = π [2π] Propriété 11 (bissectrice) Soit (OI) la bissectrice de l’angle géométrique Pour tout point M (M ≠ O) on a : M ∈ (OI) ⇔ ( OA , OM ) = ( OM , OB ) ⇔ ( OA , OB ) = 2 ( OA , OM ) ⇔ ( OA , OB ) = 2 ( OM , OB ) ⇔ ( OM , OB ) = 1 ( OA , OB ) 2 A B AOB . B [2π] I [2π] π/6 O M [2π] A [π π] Rappel : La bissectrice (OI) de l’angle géométrique AOB est l’axe de la réflexion S qui transforme [OA) en [OB). M Propriété 12 (Angle inscrit) Pour tout angle AMB inscrit dans le cercle c de centre O on a ( OA , OB ) = 2 ( MA , MB ) [2π]. O A IV. B COSINUS, SINUS ET TANGENTE D’UN NOMBRE RÉEL Définition 5 Soit (O ; OI , OJ ) un repère orthonormal direct et c un cercle trigonométrique de centre O. y Soit α un réel, et M l’unique point de c tel que ( OI , OM ) = α (2π) . J c 1 • L’abscisse du point M est le cosinus du réel α, noté cos α . I C’est également le cosinus de l’angle orienté ( OI , OM ). cos α I 0 α 1 x • L’ordonnée du point M est le sinus du réel α, noté sin α . C’est également le sinus de l’angle orienté ( OI , OM ). sin α M sin α π T . • Si α ≠ + kπ , avec k ∈ (cos α ≠ 0) , tan α = tan α 2 cos α OM = cos α i + sin α j tan α est l’ordonnée du point T , le point d’intersection de (OM) et x M = cos α et y M = sin α de la parallèle à (OJ) passant par I. y T = tan α Attention : Ne pas confondre le réel x et l’abscisse de M : x M = cos x . Propriété 13 Pour tout réel x : 1 – 1 £ cos x £ 1 ; 2 – 1 £ sin x £ 1 ; 3 cos 2 x + sin 2 x = 1 cos 2 x = (cos x) 2 • valeurs remarquables Soit a la mesure principale en radians d’un angle orienté et b sa mesure en degrés dans [0 ; 360]. b a cos a sin a 0 0 1 0 30 π 6 3 2 0,5 45 π 4 2 2 2 2 60 π 3 90 π 2 0,5 0 3 2 1 120 2π 3 135 150 3π 5π 4 6 – 0,5 – 2 – 3 2 2 3 2 0,5 2 2 180 π –1 0 210 – 5π 6 – 3 2 – 0,5 225 240 – 3π – 3π 4 4 – 2 – 0,5 2 – 2 – 3 2 2 270 –π 2 0 –1 300 –π 3 315 330 –π –π 4 6 2 3 0,5 2 2 – 3 – 2 – 0,5 2 2 3/5 J Propriété 14 (Formules trigonométriques usuelles) cos (x + 2kπ) = cos x et sin (x + 2kπ) = sin x , où k ∈ Z. x Les fonctions cos et sin sont périodiques, de période 2π. cos (– x) = cos x et sin (– x) = sin x La fonction cos est paire. La fonction sin est impaire. cos (π – x) = – cos x et sin (π – x) = sin x π cos − x = sin x 2 π et sin − x = cos x 2 cos (x + π) = – cos x π cos x + = – sin x 2 I et sin (x + π) = – sin x π et sin x + = cos x 2 Propriété 15 (Formules d’addition) Pour tous réels a et b, on a : 1 sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a ; 2 cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b 3 sin (a – b) = sin a cos b – sin b cos a ; 4 cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b Propriété 16 (Formules de duplication) Pour tout réel a, on a : 1 sin 2a = 2 sin a cos a V. 2 cos 2a = cos ² a – sin ² a = 2 cos ² a – 1 = 1 – 2 sin ² a REPÉRAGE POLAIRE D’UN POINT DU PLAN définition 6 Soit M un point du plan distinct de O et i un vecteur unitaire. rayon polaire de M On appelle coordonnées polaires de M dans le repère polaire (O ; i ) tout couple de réels (r ; θ) tel que r = OM et ( i , OM ) = θ (2π) O pole M r → θ i angle polaire de M axe polaire On note M ( r ; θ ) ou M ( r M ; θ M ), où r M (positif) est le rayon polaire du point M et θ M un de ses angle polaires en radians. Tous les couples ( r ; θ + 2kπ ), avec k ∈ , sont des coordonnées polaires de M. Pour l’origine O du repère polaire on convient que r O = 0 et que θ O est quelconque. propriété 17 (formules de conversion) Dans un repère orthonormé direct (O ; i , j ) ( ( i , j ) = π/2 (2π) ) , un point M distinct de O a pour coordonnées cartésiennes (x ; y) et pour coordonnées polaires (r ; θ) dans le repère (O ; i ). On a alors : r= x2 + y2 ; x = r cos θ ; y = r sin θ. On peut écrire OM = x i + y j = r cos θ i + r sin θ j . 4/5 VI. ÉQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES Soit a un réel donné. On cherche à résoudre les équations (1) cos t = a et (2) sin t = a. • 1er cas : a ∉ [– 1 ; 1] Les équations (1) et (2) n’ont pas de solution. • 2e cas : a = – 1 • 3e cas : a = 1 • 4e cas : – 1 < a < 1 cos t = – 1 ⇔ t = π [2π] cos t = 1 ⇔ t = 0 [2π] sin t = – 1 ⇔ t = – π [2π] 2 sin t = 1 ⇔ t = π [2π] 2 Soit α une solution de l’équation, trouvée à l’aide des valeurs remarquables des fonctions cos et sin, ou dont on détermine une valeur approchée à l’aide des touches cos – 1 et sin – 1 de la calculatrice. La valeur ainsi trouvée, en radians, appartiennent à l’intervalle [0 ; π] pour cos – 1 a et à [– π/2 ; π/2] pour sin – 1 a . J b α t = α [2π] ou t = – α [2π] O a cos t = a ⇔ cos t = cos α ⇔ sin t = b ⇔ sin t = sin α ⇔ I t = α [2π] ou t = π – α [2π] En associant à chaque solution t le point M de c tel que ( i ; OM ) = t (2π) on peut représenter graphiquement les solutions sur le cercle trigonométrique c. VII. DÉRIVATION DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES propriété 18 Les fonctions cos et sin sont dérivables sur et cos’ = – sin et sin’ = cos . On peut en déduire les limites suivantes : • • lim sin x – sin 0 = lim sin x = sin’ (0) = cos 0 = 1. x x→0 x→0 x cos x – cos 0 lim = lim cos x – 1 = cos’ (0) = – sin 0 = 0. x x x→0 x→0 • variations sur [0 ; π ] des fonctions cos et sin Pour déterminer les variations des fonctions cos et sin sur [0 ; π] on peut étudier le signe de la dérivée ou utiliser le cercle trigonométrique. Soit M le point du cercle trigonométrique c associé au réel x. Quand x varie de 0 à π le point M se déplace sur le cercle c en allant du point I au point K, en passant par le point J. Il suffit alors d’observer l’évolution respectivement de l’abscisse et de l’ordonnée du point M. x 0 π 2 π 1 cos x 0 –1 x 0 π 2 1 π sin x 0 0 • représentation graphique Pour tout réel x et tout entier k, cos (x + 2kπ) = cos x et sin (x + 2kπ) = sin x . On dit que les fonctions cos et sin sont périodiques de période 2π π, ou encore 2π π-périodiques. Les courbes ont périodiquement la même allure. À partir du tracé de la courbe sur [0 ; π] on trouve, en utilisant la parité ou l’imparité des fonctions, le tracé sur [– π ; 0]. On obtient ainsi le tracé de la courbe sur [– π ; π] , un intervalle dont l’amplitude est égale à la période 2π. Il suffit alors de reproduire périodiquement ce tracé pour obtenir le reste de la courbe. Ces courbes s’appellent des sinusoïdes. 1 = 1 + tan ² x . propriété 19 La fonction tan est dérivable sur les intervalles ] – π + 2kπ ; π + 2kπ [ et tan’ (x) = cos ²x 2 2 5/5