Le théorème de Pythagore et les triplets pythagoréciens

Club de mathématiques 2
Le théorème de Pythagore et les triplets
Pythagoriciens.
Et comment tracer des triangles si on connait les
trois côtés.
Ce club de mathématique peut être adapté à différent niveaux
scolaires, les préalables pour le début sont :
1. Savoir ce qu’est un triangle rectangle
2. Savoir ce que signifie le carré d’un nombre.
Pour les plus petits, on peut se contenter de :
1. faire certains calculs sur des rectangles donnés (pas tous
rectangle) pour voir que la relation de Pythagore ne
s’applique qu’aux triangles rectangles
2. Énoncer le théorème de Pythagore (en expliquant ce
qu’est un théorème)
3. Introduire la notion de triplets pythagoriciens et donner
quelques exemples.
4. Lorsqu’un triplet est pythagoricien, on peut leur demander
de tracer le triangle correspondant sur du papier quadrillé.
5. On peut ensuite leur montrer à tracer des triangles avec
un compas
Pour les plus vieux, on peut par ordre de difficulté croissante
1. Faire une preuve du théorème de Pythagore
2. Donner une formule qui donne les triplets pythagoriciens
3. Parler de la formule de la distance dans le plan et de
l’équation du cercle
4. Parler de la formule de distance dans l’espace et parler de
quadruplets pythagoriciens.
5. Présenter une généralisation du théorème de Pythagore
Tous ces sujets sont présentés dans ce qui suit. Dans tous les
cas, on peut faire travailler les participants pour leur faire
découvrir les choses par eux-mêmes.
Le théorème de Pythagore : Introduction
Voici quelques triangles dont on a indiqué la longueur des
côtés (pas à l’échelle)
On calcule d’abord la somme des carrés des deux côtés les plus
petits d’un triangle et on compare avec le carré du grand côté.
Triangle a : 32 + 42 = 52 (9 + 16 = 25)
Égalité : OUI
Triangle b : 32 + 32  32 (9 + 9  9)
Égalité : NON
Triangle c : 52 + 122 = 132 (25 + 144 = 169)
Égalité : OUI
Triangle d : 32 + 42  62 (9 + 16  36)
Égalité : NON
Triangle e : 42 + 52  62 (16 + 25  36)
Égalité : NON
On observe qu’il y a égalité pour les triangles a et c. Et ce sont
des triangles rectangles.
On observe qu’on n’a pas égalité pour les triangles b, d et e. Et
ce ne sont pas des triangles rectangles.
Ainsi, si on considère des triangles de côtés a, b et c.
On a ceci :
Si a2 + b2 = c2 (Égalité)
Le triangle est rectangle
Si a2 + b2  c2 (Pas
égalité)
Le triangle n’est pas
rectangle
Un théorème est un énoncé mathématique qui est toujours
vrai. Un théorème très simple serait par exemple : 1 + 1 = 2.
C’est une vérité mathématique. Les mathématiciens s’intéressent
beaucoup aux théorèmes qui généralement ne sont pas aussi
simples que 1 + 1 = 2.
Un triangle rectangle est un rectangle ayant un angle droit. Le
plus long côté s’appelle l’hypoténuse et les autres côtés sont les
côtés de l’angle droit.
Le théorème de Pythagore dit ceci : dans un triangle
rectangle, la somme des carrés des côtés de l’angle droit est
égale au carré de l’hypoténuse.
Le triangle ABC est rectangle puisque l’angle C est un angle droit.
Les côtés de l’angle droit sont AC (de longueur b) et BC (de
longueur a).
L’hypoténuse est AB (de longueur c).
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Le théorème de Pythagore nous dit que a  b2  c 2
Un triplet pythagoriciens est un triplet de trois nombres entiers
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(a, b, c) tels que a  b2  c 2
Vérifiez que (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (7, 24, 25) sont des
triplets pythagoriciens.
Essayez de tracer des triangles dont les longueurs des côtés sont
les trois nombres d’un des triplets pythagoriciens ci-dessus.
Le plus simple est d’utiliser un papier quadrillé et d’utiliser les
mesures déjà sur le papier pour tracer les côtés de l’angle droit.
L’autre côté aura forcément la bonne mesure. Par exemple :
Essayez de tracer des triangles dont les côtés sont les nombres
des triplets suivants. Vous pouvez utiliser du papier quadrillé,
mais pour les triangles qui ne sont pas rectangles vous aurez
besoin d’utiliser un compas. Vous savez d’avance ceux qui
donneront des triangles rectangles, ils forment un triplet
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pythagoricien ( a  b2  c 2 ). Les autres ne donneront pas
des triangles rectangles.
(3, 4, 6), (4, 5, 6), (6, 8, 10), (8, 15, 17), (6, 7, 8).
Comment tracer un triangle avec un compas, connaissant trois
côtés?
Première chose à vérifier (c’est un théorème, donc c’est
TOUJOURS VRAI) : un côté est toujours plus petit que la somme
des deux autres.
Par exemple, (3, 4, 8) ne donne pas les trois côtés d’un triangle
car 8 est plus grand que 3 + 4
Mais, (4, 5, 8) va donner un triangle car tous les côtés sont plus
petits que la somme des deux autres. Il suffit de vérifier avec le
plus grand : 8 est plus petit que 4 + 5.
Supposons maintenant qu’on a le triangle ABC avec les côtés de
longueurs a (BC), b (AC) et c (AB).
On trace un des côtés sur le papier quadrillé en utilisant les
mesures déjà sur le papier.
(par exemple on place le côté AB de longueur c).
Ensuite avec le point A comme centre, on trace un cercle de rayon
b (le côté AC mesure b)
Et avec le point B comme centre, on trace un cercle de rayon a (le
côté BC mesure a).
Les deux cercles se rencontrent au point C. Il suffit de compléter
le triangle en traçant les segments AC et BC. (Il y a deux points
où les cercles se rencontrent, on en choisit un)
Par exemple : on veut tracer le triangle de côtés (4, 5, 6)
Premièrement on a vérifié que le plus grand nombre 6 est plus
petit que la somme des deux autres 4 et 5 (6 > 4 + 5)
Ensuite, on a tracé un des côtés en utilisant le papier quadrillé (le
côté AB qui mesure 6)
Puis on a tracé un cercle centré en A de rayon 5.
Et un autre cercle, centré en B de rayon 4.
Le point C est à l’intersection des deux cercles (là où ils se
rencontrent) et on voit bien qu’on a deux choix de points pour C
puisque les cercles se rencontrent en deux points. On en a choisit
un des deux.
Finalement on trace AC et BC et on a le triangle ABC.
On observe que ce n’est pas un triangle rectangle (il n’y a
pas d’angle droit). On le savait déjà car (4, 5, 6) n’est pas
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un triplet pythagoricien : 4  52  16  25  41  36  62
Sujets plus avancés :
 Preuve du théorème de Pythagore
 Formule pour les triplets pythagoriciens
Distance dans le plan et équation du cercle
 Distance dans l’espace et quadruplets pythagoriciens.