Nombres entiers et décimaux. Comparaison

3ème
2008-2009
Nombres entiers et décimaux. Comparaison
I. Les nombres entiers
Rappel
Un nombre entier est un nombre qui peut s'écrire sans virgule.
1/ Nombres et chiffres
De même que les vingt-six lettres de l'alphabet permettent d'écrire tous les mots de la langue française, les dix
chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 de notre numération sont suffisants pour écrire tous les nombres rencontrés en
classe de 6ème. C'est rendu possible grâce à l'écriture de position : la place du chiffre indique aussi sa valeur.
A retenir
« Tous les nombres s'écrivent grâce aux dix chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 »
S'exprimer
« 4875 est un nombre composé de quatre chiffres : 4, 8, 7 et 5 »
Exemples
• 1 024 possède quatre chiffres. Le chiffre 2 représente vingt unités car c'est le chiffre des dizaines (le
•
deuxième chiffre en partant de la droite).
548 429 possède six chiffres (en réalité cinq différents). Le chiffre 4 apparaît deux fois mais représente
une valeur différente suivant sa position. Lorsqu'il est à la troisième place en partant de la droite, il
représente quatre cents. Lorsqu'il est à la cinquième place en partant de la droite, il représente quatre
mille.
La numération romaine
Les chiffres les plus connus du système romain sont : I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500) et M (1000).
Cette numération n'attribue de la même façon une valeur aux chiffres suivant leur position (position absolue).
Par exemple, le nombre III est composé de trois fois le chiffre I qui a la même valeur : 3 fois une unité. Alors
que dan s notre numération 111 est un autre nombre. Cependant, la position des chiffres entre eux (position
relative) est importante : IV vaut 4 et VI vaut 6.
Par exemple, 1789 se note MDCCLXXXIX d'après la correspondance suivante :
• M→1000
• D → 500
• C → 100
• L → 50
On observe bien dans cet exemple en quoi notre numération de position est plus économique.
http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/Page.php?IDP=137&IDD=0
D'où l'importance de connaître parfaitement le tableau suivant...
3ème
2008-2009
2/ Tableau d'écriture des nombres entiers
un
ité
s
diz
ain
es
ce
nta
ine
s
i l le
m
diz
ain
es
de
m
ce
nta
ine
sd
em
m
illi
on
s
illi
ille
on
s
on
s
illi
diz
ain
es
de
m
Classe des unités
ille
Classe des mille
Classe des millions
ce
nta
ine
sd
em
ar
ds
illi
m
illi
diz
ain
es
de
m
ce
nta
ine
sd
em
illi
ar
ds
ar
ds
Classe des milliards
Méthode de lecture des nombres
Pour lire correctement un nombre, il est intéressant de regrouper les chiffres par trois (c'est à dire par tranche) en
partant de la droite : 10 4 965 87 23 = 1 049 658 723 se lit " un milliard quarante-neuf millions six cent
cinquante-huit mille sept cent vingt-trois ".
A retenir
• Le nom de chaque chiffres dans un nombre entier : « chiffre des unités, chiffre des dizaines ... ».
• Le nom des classes : « classe des milliards, classe des millions... »
II. Les nombres décimaux
Introduction
Pour écrire des nombres compris entre deux nombres entiers, on utilise la virgule (séparateur décimal). Par
exemple « une et demi » s'écrit 1,2, ou encore 1€ et trente centimes s'écrit 1,3. Les chiffres situés à droite de la
virgule désignent des parties de l'unité et ceux situés à gauche des multiples de l'unité.
Définition
La partie entière d'un nombre décimal est le nombre situé à gauche de la virgule. La partie décimale d'un nombre
décimal est le nombre situé à droite de la virgule.
Décomposition en partie entière, partie décimale
1548,0154=15480,0154
3ème
2008-2009
Tableau d'écriture des nombres décimaux
7
1
5
8
0
6
8
0
Ce
nt milliè
me
M il
lion
ièm
e
- mil
lièm
e
D ix
Ce
nt iè
me
ièm
e
D ix
74 , 3
307 , 0
1005 , 1
,
,
M il
lièm
e
Partie décimale
Partie entière
2
Exemple
74,378 représente 7 dizaine, 4 unités, 3 dixièmes, 7 centièmes et 8 millièmes.
A savoir parfaitement
Le nom de chaque chiffre dans le partie décimale : « chiffre des dixièmes, chiffre des centièmes... »
Faire le jeu : _ _ _ _ _ _ , _ _ _ _ _ _ _ (montrer l'emplacement et interroger sur le nom du chiffre)
Lecture des orale des nombres décimaux
12,48 se dit « 12 et 48 centièmes »
7458,089 se dit « 7 et 89 millièmes »
III. Décompositions d'un nombre décimal
1/ Décomposition décimale
12,47=1×102×14×0,17×0,01
A connaître par coeur
0,1 est un dixième
0,01 est un centième
.......
3ème
2008-2009
2/ Décomposition fractionnaire
Il est important de connaître par cœur le tableau suivant :
Écriture en toutes
lettres
Écriture décimale
Écriture fractionnaire
un dixième
0,1
1
10
un centième
0,01
1
100
un millième
0,001
1
1000
un dix-millième
0,0001
1
10000
un cent-millième
0,00001
1
100000
un millionième
0,000001
1
1000000
Décomposition fractionnaire
4
100
4
2
7
3538,427=3538 

10 100 1000
36, 4 représente 36 unités et 4 dixièmes d'unités. On a donc : 36,04=36
De même : 74,378=74
3
7
8


ou encore
10 100 1000
Décomposition en partie entière, partie décimale (2ème version)
On a aussi 3538,427=3538 427
1000
Remarque (voir chapitre écritures fractionnaires)
3
2
7
;
et
sont appelés des écritures fractionnaires car le dénominateur est égal à 10, 100, 1000 ...
10
100
1000
Une fraction décimale est une fraction ayant comme dénominateur un multiple de dix.
Les décompositions à connaître
432
→ décomposition en partie entière, partie décimale
1000
79,432=7090,40,030,002 → décomposition décimale chiffre par chiffre
79,432=7×109×1 4×0,13×0,01 2×0,001 → décomposition décimale détaillée
1
1
1
79,432=7×109×1 4× 3×
2×
 → décomposition fractionnaire détaillée
10
100
1000
79,432=790,432=79
Remarque
On pourra parler des « zéros inutiles ».
3ème
2008-2009
IV. Comparaison
1/ Avec deux nombres
Définition
Comparer deux nombres décimaux, c'est dire si l'un est plus grand, plus petit ou égal à l'autre.
Exemples
5,02 est plus petit que 5,2 . 7,2 est plus grand que 2,7 . 02,20 est égal à 2,2 .
Vocabulaire
51,2 est inférieur à 512
51,2 est supérieur à 5,12 .
5,21 est différent de 5,12 .
Notation
Le symbole « supérieur à » se note
≠ est le symbole « différent ».
 et le symbole « inférieur à » se note  .
Méthode 1
37,999 42,01 car 37 42
49,09949,1 car 099100 ( 49,1 =49,100 )
• On compare les parties entières ;
• si les parties entières sont égales, on ajoute (éventuellement) des zéros dans la partie décimale pour
obtenir le même nombre de chiffre ;
• on compare les parties décimales ainsi écrites.
Méthode 2
49,099  49,1 car en comparant les chiffres des dixièmes, on a 01 .
•
•
•
•
•
On compare les parties entières ;
si les parties entières sont égales, on compare chiffre par chiffres ;
si le chiffres des dixièmes sont égaux, on regarde le chiffre des centièmes ;
si le chiffres des centièmes sont égaux, on regarde le chiffre des millièmes ;
etc.
2/ Avec plusieurs nombres
Définition
Ranger des nombres par ordre croissant, c'est les classer du plus petit au plus grand.
Ranger des nombres par ordre décroissant, c'est les classer du plus grand au plus petit.
Exemple
125,4125,3215100,7845699,7845699,90,9999999 sont rangés dans l'ordre décroissant.
Définition
Encadrer nombre, c'est trouver deux autres nombres : l'un plus petit et l'autre plus grand.
3ème
Exemple
5151,012552
Dans cet exemple, 51,0125 est encadré par 51 et 52
On dit aussi que 51,0125 s'intercale entre 51 et 52 .
Vocabulaire : « suivre, précéder »
On dit que 999 est le premier nombre entier qui suit 998,9584 .
On dit 998 est le premier nombre entier qui précède 998,9584
2008-2009