Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres PAUL E RDÖS J EAN -L OUIS N ICOLAS Répartition des nombres superabondants Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres, tome exp. no 5, p. 1-18 15, no 1 (1973-1974), <http://www.numdam.org/item?id=SDPP_1973-1974__15_1_A3_0> © Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres (Secrétariat mathématique, Paris), 1973-1974, tous droits réservés. L’accès aux archives de la collection « Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Séminaire DELANGE-PISOT-POITOU (Théorie des année, 1973/74, 15e 5-01 nombres) n° 5, 18 p. 26 novembre 1973 RÉPARTITION par Paul DES NOMBRES SUPERABONDANTS ERDÖS et Jean-Louis NICOLAS 1. Introduction. S. RAMANUJAN [10] d(n) En défini et étudié les nombres hautement a le nombre de diviseurs de particulier, il n n , étudié Qh.c. (X) a = composés (h. c.) [Soit est hautement composé si nombre de nombres hautement composés X , et montré que P. ERDOS consécutifs ~2~] montré a calculable mais a montré [8] ERDOS est la On sait que pour p est 1 On a lorsque n = 2~ 3~3 ... également q i et donc nier divisant n . w composés c’ défini, dans ~ 1 ~, étant une constante les nombres superabon- superabondant si n. multiplicative (Cf. [3], chap. XVI). décomposition ~q a en et que P. ERDOS = (p~ - l)/(p - l) et L. ALAOGLU ont en facteurs premiers d’un nombre superabont ,_ sauf si tendent n On x)°’ , le résultat suivant : PROPOSITION 1. - Si la d ant est fonction une premier et particulier démontre est il des diviseurs de somme ce de deux nombres hautement ( log que et L. ALAOGLU ont Définition. - On dit que ?(n) n’/n grande. assez D’autre part, P. dants : où quotient grands vérifie : assez J.-L. NICOLAS que le n = 4 ou n= l’infini, enfin, lorsque n -~ oo , vers p 36 et q03B1q ~ (p logp)/logq étant le plus grand nombre pre- part, J.-L. NICOLAS ~~7 ~, superabondants consécutifs, D’autre nombres Nous on 182) montré que si n et avait, pour une infinité de Q(X) 1. - Soit X as se z 2) assez de montrer que le si c grand. La méthode de démonstration du théorème 1, cutifs n superabondants X ; le nombre de nombres pour on a théorème sont deux n~ a proposons de démontrer le théorème suivant : nous THÉORÈME p. ne quotient n’~n permet (on pas de deux nombres le prouvera avec le superabondants consé- grands vérifie rappeler les propriétés des nombres colossalement abondants, qui sont des nombres superabondants privilégiés faciles à calculer (§ 2). Au § 3, on étudiera les propriétés des nombres superabondants compris entre deux nombres colossalement abondants consécutifs. Au § 4, on montrera, dans le lemme 4, que, pour presque tous les nombres N colossalement abondants, l’inégalité (3) est vérifiée pour n voisin de N , ce qui démontrera le théorème 1. Nous allons d’abord On utilisera constament le lemme suivant dû à n(x) 1. - Soit le nombre de nombres HOHEISEL, INGHAM et HUXLEY. x ; il existe premiers 1 T tel que Le meilleur résultat actuel est dû à Huxley vraie pour T > g(x) que "si f(n~ ~ c log 0 ". Cela n’est pas Les nombres Dans le même 467, et g(x), une la relation fonction additive. On définit f(n) . Dans n , alors les nombres vrai, 6 ~t2 si l’on choisit (Cf. [3], chap article, la table numérique doit être modifiée pour n f(x) » g(x) si- comme " f-hautement 1 ~ article ~ 1 ~, (p. 466, ( 9~ ~ nA il est dit f-hautement abondants ont pour densité f(p) = log f-hautement abondants sont les nombres dont la densité est p. f n ~ f ~m~ m f(x) o(r(x) . = Remarques. - Soit abondant" si est 7/12 . Notations. - Pour deux fonctions gnifie que ~q.~ : l’équivalence précédente p non et = 0 divisibles par k>2 . carré, pour un XVIII) . des nombres " o-hautement 1800 ~ n ~ 2340 par abondants", ! n facteurs de n 2~ 3~ 2~ 3 2~ 3~ 1800 1920 1980 2~ 2~ 2~ 2100 2160 2340 5~ 6045 5 6120 5 3 5~ 3~ 3~ 5 11 6552 7 6944 7440 13 5 7644 2. Nombres colossalement abondants. Définition. - On dit que est colossalement N que la fonction atteigne Remarque. - Cette définition Si est colossalement N abondant est > e N . en légèrement différente abondant, PROPOSITION 2. - Pour tout abondant associé à est maximum son 0 , E , que l’on note on a, pour tout il existe au N . D’autre e>0 , tel s’il existe abondant, p. 455. de celle de n, moins un part, nombre colossalement tout nombre colossalement superabondant. Démonstration. - On sait que où y est la constante d’Euler tend teint en un ou D’autre part, et N plusieurs points en N . utilisant (4) , a donc un Pour un maximum fixé, la foncabsolu qu’elle ate Un tel nombre est colossalement abondant. il vient est superabondant. PROPOSITION 3. - Soit finit , à l’infini et 0 vers (Cf. [3J, chap XVIII). pour p(p " ’ ~) ’ premier p N et - et pour a=0, F(p , 0) l’exposant 0 , on a Démonstration. - un nombre colossalement abondant associé à a entier % e . 1 : P)) = " logp = + m . 0 , on On dé- logp Alors si p est premier applique l’inégalité (4) et divise avec n = N Np . avec Il vient : En comparant (6) est évidente si (7), et = a on 0 . Si obtient a ~ 1 , Définit ions. - On pose, pour la démontre on 1) . L’inégalité en appliquant (4) d’éléments nombre fini tout ’~ > 0 , il n’y a qu’un l’on peut ranger les éléments de On pose a + e n==N/p . avec premier, p Pour et >,, F(p , e E en une E de supérieurs à ~1 , suite décroissante : Ea - + ~ . Pour e > 0 , définit on x = x1 , = y pour x~ , k ~ 2 , comme fonctions de e , par Ces définitions ont un sens, car décroissante, pour tout t > 1 , et décroît de + ~ à fixé, lorsque s -.~ 0 (Cf. démonstration du lemme 2) k) t ~ la fonction k ~ 1, pour est 0 . On a de plus, pour k PROPOSITION 4. (a) Si dont ou la fonction la décomposition si l’on en facteurs - Si les ensembles E atteint (d) son Si les ensembles égal E E N. J. sont p lossalement abondants est Q premiers est : ~i-1 , E. ( ,, seul son maximum N est constant et en un N point préfère, (b) Soit i 1 ; pour tout Les nombres finition) à N.. 1 (c) atteint ne p dé- sont tous distincts. . disjoints deux à . à l’ensemble des nombres maximum aux deux E égal (par sont pas oints l’ensemble des nombres co- N... ~ 1 ~ i : La fonction Ni et disjoints, pour chaque - ~i ~ E q n E , la ~~~ o maximum son rN. qNi et Les nombres qrN.. 1 Ni+1 = atteint et rN, 4 ~..~.,-r., qN. , 1 oints : N,1 ~ sont colossalement abondants. en Démonstration. a Soit Comme est strictement décroissante F(p , k) suite premier fixé. nombre un P E¢ E , alors en k , ~ ~ Ep il existe et comme la unique, déter- a miné par la proposition 3 : En résolvant [x] par Si inégalités (12), les en ~ partie entière de la p x. en ~k , on (10), trouve la formule désignant en x. de (s) et (12), compte tenant on a : . qui démontre (il). ce (b) précédents Les raisonnements leurs consécutives de l’ensemble (c) Choisissons 6 est déterminé par être choisi N , (d) Soit e et b (11) ou F(p , a) entiers, on + + (1 + (cf. [5], chap. 2) alors que va- = (1 + + D’après entier. cas, son l’exposant de l’exposant de q peut et E, on trouve maximum ... + dans le Ni+1 , deux en ces p~ avec p points. E = a/b , entier et le théorème de Gel’fond-Schneider est même transcendant. E (Cf. [6] et aussi premiers distincts et E ~5 ~, chap. 2) , on déduit que, si p , q, p~ , q~ , r~ sont algébriques, E E , p~ est rationnel, et on conclut si n E E p q S’il existe deux ensembles ble), p~ varie entre deux e est irrationnel. Si l’on avait e doit être rationnel. Mais si e premier atteint non Lang sont des nombres r 1 . Dans le E . Alors aurait ... Du théorème 1 de e lorsque E. et la fonction = pas F(q , ~~ . Pour p ~ q , E $~ (12). D’après la proposition 3, égal à p ou p - second a = changent ne et E E non r q disjoints (ce qui est peu vraisembla- et si l’on choisit p ~ r , l’exposant de p est déterminé par (11) ou (12). L’exposant de q peut être p ou ~ - ~ , celui de r , y ou y - I , d’après la proposition 3, ce qui donne les quatre possibilités annoncées. pour p ~ q et numériques. - La table 1 indiquées sont inférieures à 10 Tables sant de p dans N.. donne les valeurs de F(p, c~) . . Les colonnes Ainsi, pour e = "exposant 7 , 0,005 , pour p = = i " Les valeurs non indiquent l ’expo- on a : donc de l’exposant dans 7 et étant définis par xk partir L’ordre de ses (8)) , lorsque xk de la table 1 par l’ application termes est donc inversé par ~~ ~~ est un v-1 nombre premier. ~k Elle est si celui de la table 1. Elle rapport à plus grand facteur premier nombre premier sui97 ~ x . 101 de trouver les nombres colossalement abondants de permet donné. Pour avoir vant ~~~ ~~ obtenue à p 2 . E ~~ (x est N 97, p = 97 , on doit choisir = et l’on trouve La table 3 donne la suite des nombres colossalement abondants, On trouvera dans table des nombres une superabondants: T AB LE 1 1~ ~ 0=5 1 . 2 0,58496 0,22239 0,09954 0,04731 0,02308 3 0,26286 0,07286 0,02305 0,00755 0,00250 0,11328 0,02037 0,00400 0,00079 0.00016 7 0,06862 0,00910 0,00129 0,00018 0,00003 11 0,03629 0,00315 0,00029 13 0,02889 0,00214 0,00016 17 0,02017 0,00115 0,00007 5 ° Pi N Pt 0,00003 0,00001 ° TABLE k=l .. r j201420142014 ** "*"’"’~ Il Il 16,8 § ~ Il 60,50 153,9 31,4 88,57 "~ f~B cBj *- 201415,36- 36,3 15,38 6,72 3 ""’"’’" 9,08 5,44 3,29 7 lc=5 k=2___ ~~~3____k=4 2014201420142014 2014 ’""’"*"***-j 2 5 2 Il 230,4 § 8* 812,8 ~ 73,4 13 100,9 17 168,8 1 S p=3 221,7 1951,4 24842,7 335898,5 k=81 k=9 k=10 e. e~ = e~ E. = 11 328 e~ = 9954 e~ = 7 286 e- = 6 862 ~ = ~731 Eq" = 3629 " ~10= 2889 = 2308 e.. " e ’~= 2 1 1 1 2 3 1,5 2 3 12 2 4 3 28 2,333 4 3 5 168 2,8 835 360 3 P 9 5 1 170 3,25 8 9 57 9 360 3,7143 1~ 9 57 19344 3,8381 16 9 57 11 232 128 4.1C70 16 9 57 11 13 3249792 4,5091 32 9 57 11 13 6 604416 4,5818 32 27 57 11 13 20321 280 4,6993 32 27257 11 13 104993280 305 e~= 2037 e~= ~ 2017 " 3 26 286 22239 7 10507,9 3919,7 _____________ï~_______j____q(n)____~jj(nVn . i 1 0,58 496 = ’ 255,4 142,4 80,2 TABLE = 40080,3 90404,7 1480,4 567,6 4580,6 8743,5 897,2 k=6 k=7 S 26,3 § 1 45,7 p=2 ~ 554,9 4531,5 0 000 11 920,5 .. G 1 32 27 257 11 13 17 1 889879040 1 t 4,8559 5,1416 1 3. Etude des nombres superabondants compris entre deux nonlbres colossalement abondants consécutifs. Soit N un nombre colossalement par (8). Soient p le plus grand premier suivant p . Soit n un nombre superabondant PROPOSITION 5. - finit x le nombre et soit et NP , le À abondant associé à e . facteur premier de /T plus grand nombre premier divisant n 0n dé- et P compris entre N avec l’exposant k . On a ce qui entraîne, d’après le lemne T > 1, pour 7/12 Démonstration. - La démonstration est la même que celle de la proposition 4 de p. 120 : Pour un entier M quelconque , on définit le "bénéfice" de M, par rapport à N (4), et par et à on a compris entre n E , par bén M ~ 0 . Ensuite, N et NP , grand, et on bén n’aurait pas = nombre un superabondant n 0(-!-) . était trop grand, pour tout nombre superabondant N n NP . bén n serait trop = le nombre colossalement abondant suivant Remarquons que dant tel que n 03C0(03B k) - 03C0(xk) montre que, si on montre que, pour on a : bén Enfin on n 9 il existe au moins un N est $ NP N colossalement abon- et donc, 4. Démonstration du théorème 1. La démonstration du théorème 1 repose LEMME 2 (a) Il existe une seule fonction y(x) La fonction décroissante vérifiant implicite (b) Quand est trois lemmes. (lemme technique). par la relation ~c~ sur et aussi e(x) , pour définie par x >. 1 . On a, pour x y ~ 1 pour x ~ 1 et définie LEMME 3 que (lemme d t approximation diophantienne). Pour 203B1 + 03B2 1 . x/2 entre Dremiers D j~ e(p) est défini par LEMME 4. - Soit un p grand, il assez x et socié à e ; donc le a > 0 et 03B2 plus de a > 0, tels, nombres vérifiant x (l7). nombre premier vérifiant le lemme 3 e==(log(l +(l/p))/logp Soient y Soient et le nombre colossalement abondant N = N plus grand facteur premier de premier suivant p ~ Soient n ~ n’ deux vérifiant N $: n ~ NP. Il existe une constante bre est N nombres c > 0 p , et soit as- le nom- P superabondants consécutifs telle que : Démonstration du lemme 2. (a) 1 , la fonction d’une fonction décroissante par tion (b) Pour y > u~~ , réciproque Quand x 2014~eo , définie u(y) une sur est strictement décroissante, fonction croissante. Elle admet donc )0 , + oo( , Comme u(y) = v(x), qui entraîne log(y2 donne alors une fonc- on a : et on a ~ On doit donc avoir ce quotient comme log y) - log(x log x) soit log Y ~ 1 2 log x , et (22) y ~ ~/~ . Pour trouver un développement limité de y , définissons ~~x~ par la relation : On a d’autre part y - ç -l7£ , (23) Comme Le développement limité de En itérant à nouveau, et (24) et en C(x) donnent s’obtient par itération : (26), utilisant on u’(y) est donnée par (25) et le (2x(log x)~)/(y~ log y) ~ 2 log x .Le obtient (16). la valeur de dénominateur de lent à numérateur vaut : tenant compte de en (16~. Il reste à montrer que x > (y2(y + 2))/(2y + 0 est équiva- (18). Cela démontre e’(x) 9’(x) x > pour 1), c’est-à-dire, 1 . Par comme v est (27), une on doit montrer fonction décroissante, que En décomposant le dernier logarithme, et en regroupant les termes en log y , il vient Quand ye (l , +.( , l +2014201420142014e )l , 3/2) et, par la concavité de la fonc- tion logarithme avec qui 0,405 a = En utilisant les 03C8(y) avec = valeur une inégalités ç~(y~ , qui donne, pour ce est 2&#x26;((y - l)(y 2014) , (1, l’intervalle sur on a par défaut de approchée valables pour tout u > - la minoration valable pour + 1)2)/(y(2y l)) - + log log 3/2 . 1 y > 1 y . En posant y 1 = t , il + vient Comme a ~ 0,4a5 1,01t2 - Le triname sitif pour ~(I~ on a 1 ,56t t % 0 . On ,(y) 0 , que en 0,72 + descriminant a un ,(y) déduit que est Démonstration du lemme 3. - [3], une A = D’aprés un 1 11), étant donnés un réel 03BE quelconque fraction r/s , avec s A telle chap. x03B10 , D’âpres on un par comme (28), (Cf. [9], chap. nombre est po- 5 ce ou A > 1 , il existe 1 SA . Posant ici = 9(p) et obtient le lemme seule valeur ==~ et telle que x r~s fraction r s chaque retire, autour de décroissante. Pour chaque e(x) est il e(l) (log 3/2)/(log 2) 0,585 e(xr?s ) = -~s . Soit 6’ > 6 tel que 2a 2, la fonction e(oo) comprise entre Pour et et y ~ 1 q?(y) et donc aussi lemme de Dirichlet P(t) donc est croissante pour positive pour y ~ qui achevé la démonstration. = négatif, x r,s = telle que ~ une zone = s $ x03B10 )x - x aura : .. .~ et telle que jÎ x~ . Qî, $: En dehors de Q -~ fraction existe une 6~ 1 . + $: cette on zone, on Dans chaque il y s ~ comme miers. Comme 203B1 x a au j x" u R * 1 plus il y n sifs entourant On applique et, à cause et p la même, De Avec la et sant 0n on a r si l’on choisit s proposition 5, et 2 , les nombres prend pour OE Q1 et r ( i - fl)/2 nombres pre- nombres premiers premiers les plus grands nombres Désignons les nombres premiers avec B = p , ~ ~ Q x , s on aura, yT/log Comme y , les nombres s x.J et succes- et x=p (par ~g~~ ; (15) et Si l’on choisit 2. log premiers, par q proposition 5 (8) de 1 et exposants et p nombres 0~~’~ ) donc x.Y(3 1 , il reste donc plus de est vérifié. les avec 1 zo~os. On retire Démonstration du lemme 4. - Soient divisant plus a au p’ + (20) lesquels pour ! )x - . zone Par y, q1 le lemme 1, on aura kkx , 9) , xk ~ premiers :.. d’ a.près ... p1 ... pr qs avec on voit que, pour vont diviser l’exposant et conne Si r/s > e(p) , on considère Si r/s on considérerait de même T > 1/3 , raisonnements seraient tout à fait semblables. On é i’exPo- Comme 03B2 > (i+T)/2 , il s’ensuit que ... va avec 1 . les valeurs fournies par le lenne 3. (1 - T)/4 , n r montrer que ... p )) ; les compte tenu de (15) et de (20), car x = utilisant le théorème des accroissements finis, de même en a p ; Les sommes P>201422014 f S~ on a c et la relation S~ sont négatives et S~ + S~ o(s/(x~~~) S~+S~+S~>0 , qui démontre (33) et Majorons maintenant pour tout (31) = . r s . On Comme ce n /n ((l - ~r)/2) - ,) . En choisissant (1 - T)/4 et 03B2 légèrement supérieur à (1 + T)/2 , toute valeur inférieure à (l - T)/4 5/48 = on ~ légèrement inférieur peut prendre, pour c, à Maintenant, par (33), on a nombres superabondants, cela entraine on obtient (21), ce qui démontre Démonstration du lement abondant Soient le p~ vant On On conserve On en ce et X cube Définition. - Soit et X assez associé à Soient ~0 fact -....r premier grand et de et le nombre colossa- N0 et P~ le x0 défini par (8). nombre premier sui- p vérifie le lemme 3, on a : est vraie pour tout assez c (1 - T)/4 , on a aussi, pour tout grand, le théorème 1. sans 2 que (35) : inégalité qui démontre 5. Nombres (34), par le lemme 4. les notations du lemme 4. Si (1 - T~/4 c la définition des a : déduit par Comme cette si plus grand X . n’ ~ n , donc, n 1. - Soient précédant d’après > superabondants. Q#~p~~ - superabondant" si : la fonction 0 si multiplicative qui 3 . On dit que n est vaut un nombre "sans cube équivalente Cette définition est entiers divisibles par non abondante si n* abondants. Si on a n est est un nombre sans cube 03B1q = 2 ) et p On définit dépend donc de deux nombres (le plus grand sans 0 il existe N#E est l’application de N* on a = T(N ) . diviseur premiers q est maximale. Si la fonction lequel q ~: ~ , définie par en N N Mais il nt est pas vrai que n La démonstration du théorème 1 est valable, superabondant 4 n aux ne avec un T(n) nombres cube sans sans cube considère que les exposant égal à T su- nom- 1 ou donc THÉORÈME 2. - Soient n* et n’* deux nombres sans cube superabondants consécu- on a Démonstration. - Soit réel x tel que : On choisit E = abondant associé à y puisqu’on premiers divisant le nombre superabondant a plus grand tel que premier). superabondant. Enfin, la proposition 5 stadapte aisément perabondants. On pose : 2 . On (le difficultés les nombres "sans cube colossalement abondants". Pour E > tifs, n* = ÏÏ et s’écrit superabondant, (Cf. proposition 1) Un tel nombre bres nombre "sans cube super- un de ces nombres sont très voisines de celles des nombres super- propriétés Les cube. On dit que l’ensemble des nombres et si : e C n un à la suivante. Soit C (définis par (log(1 e. (15)) a entier ) + (l/x)))/log On par désigne 6 . Il existe, x et les nombres N* un d’après nombre le lemme sans 2, un nombre cube colossalement premiers successifs entourant x et et les nombres sans superabondant n* vérifiant N ~: n* cube Nx sont de la forme étant déterminé r part, Si et s = 0(Vy) s > 2a , divisent pas fonction de par la on a, avec n . s par la condition s r > a + 1 nombres sans cube ce qui démontre 6. Quelques conjectures. ce qui entrafne que (39) n’ s que n s ne x~ ~ et il y a superabondants. En comparant sans donc entre (37) s’applique 3N 3x , pas, on peut et N (19), cube superet Nx au on a : peu plus n superabondant (avec essayer d’utiliser les nombres premiers mais il est difficile de voir si cela suffit à résoudre la question. un ne p2 ,..., pa+1 le théorème 2. Si le lemme 4 Il semble p , n’est pas Il semble difficile de démontrer que l’on a, pour tout n’ = nombre superabondant suivant n ), autour de s Considérons s g 2a , on voit par ( 36) , ( 38) et abondant. On démontre la même chose pour 4a Nx . On a, d’autre n (37), Si plus N ~ proposition 5. c’ e st.-à-dire 0 r - a > en f ac ile de montrer que ~(X ~ ( log On son peut s’intéresser maximum. Les nombres étudier, la fonction car On pose f(n) = peut définir on d 1 . P. superabondants, mais il est difficile de les n’est pas multiplicative. Il serait intéressant M1 sont log n = f(n) . ERDÖS dn Si comme le plus petit diviseur de est déficient n sait montrer que, pour (c’est-à-dire n > de mais que, pour infinité de une ), 2n on a on a : n , peut considérer les entiers n tels que m leurs rapports avec les nombres superabondants. la cr(n) si lequel pour on a : On peut étudier n log log log n , f(n) On atteint sont colossalement abondants. savoir si les Enfin, n) ’) où la fonction nombres aux généralisation du problème n ~ f(m~ des nombres f(n) et regarder parfaits = 2n) : Quels sont les nombres tels que : Ces nombres sont ou parfaits et impairs, ou vérifient o(n) = 5n . BIBLIOGRAPHIE [1] ERDÖS (P.) and ALAOGLU Amer. math. Soc., t. (L.). - On 56, 1944, highly composite and similar numbers, Trans. p. 448-469. [2] ERDÖS (P.). - On highly composite numbers, J. of London math. Soc., t. 19, 1944, p. 130-133. (G. H.) [3] HARDY [4] 4th edition. - Oxford, at the Clarendon Press, 1960. HUXLEY (M. N.). - The distribution of prime numbers. 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ERDÖS Magyar Tudomanyos Akademia Matematikai Kutato Intezete Réaltanoda BUDAPEST V u 13-15 (Hongrie) et Jean-Louis NICOLAS Département de Mathématique UER des Sciences de Limoges 123 rue Albert Thomas 87100 LIMOGES 2,