Formulaire de probabilités

Formulaire de probabilités
Lois de probabilité usuelles
Lois discrètes
Dénomination
X
Loi de probabilité
Moyenne
E(X)
Variance
V (X)
Loi binomiale B(n, p)
n entier positif ; 0 < p < 1
k pk (1 − p)n−k
P [X = k] = Cn
k = 0, 1, 2, . . . , n
np
np(1 − p)
Loi multinomiale n; p1 , . . . , pk ,
P [X1 = n1 et X2 = n2 et Xk = nk ]
E(Xi ) = npi
var (Xi ) = npi (1 − pi )
cov (Xi , Xj ) = −npi pj
pour i 6= j
P [X = k] = e−λ λk!
k entier positif ou nul
λ
λ
n−1
P [X = k] = Cn+k−1
pn (1 − p)k
k entier positif ou nul
n(1 − p)
p
n(1 − p)
p2
n entier positif ;
p1 + p2 + · · · + pk = 1
n!
nk
2
pn1 · pn
2 · · · pk
n1 !n2 ! · · · nk ! 1
P
ni entier positif ; ki=1 ni = n.
=
k
Loi de Poisson de
paramètre λ(λ > 0)
Loi binomiale négative de
paramètres n et p
n entier positif - 0 < p < 1
(n = 1 −→ loi géométrique)
Lois continues
Dénomination
X
Loi de probabilité
Loi uniforme sur [a, b]
f (x) =


Loi normale N (µ, σ 2 )
f (x) =
σ positif
Loi Gamma G(a,p)
f (x) =
a et p strictement positifs
q>0
de liberté, ν entier positif
ou encore G
1 ν
,
2 2
1
√
σ 2π
1
e 2
−
x−µ
σ
Loi de Student (ou T ) à ν
degrés de liberté,
ν entier strictement positif
Loi de Fisher (ou F) de
paramètres ν1 et ν2
entiers strictement positifs
Loi de Cauchy
ap p−1 −ax
x
e
si x > 0
Γ(p)
0 si x ≤ 0
R
où Γ(p) = 0+∞ xp−1 e−x dx




 − x ν −1
e 2 x2


ν 
ν

22 Γ
f (x) =
2




0
(b − a)2
12
µ
σ2
p
a
p
a2
p
p+q
pq
(p + q)2 (p + q + 1)
ν
2ν
si x > 0
si x ≤ 0
ν+1
2 − 2
1 + xν
f (x) = √
νB 12 , ν2

ν1/2 ν2/2 ν
ν1
ν2
x 1/2 −1





2
 B( ν1 , ν2 )(ν x + ν ) ν1 +ν
2
1
2
2
2
f (x) =




pour x > 0


0 pour x ≤ 0
f (x) =
Loi de Laplace
f (x) =
de paramètre θ > 0
a+b
2
2



f (x) =
Loi de χ2 à ν degrés




Variance
V (X)
0
1
xp−1 (1 − x)q−1
B(p, q)
si 0 < x < 1



0 sinon
R 1 p−1
où B(p, q) = 0 x
(1 − x)q−1 dx
Loi Beta B(p, q)
p>0
1
pour a ≤ x ≤ b
b−a



Moyenne
E(X)
1
π(1 + x2 )
1
1
exp −
θ
2
x θ
0 pour ν ≥ 2
non définie
ν
pour ν ≥ 2
ν−2
pour ν = 1
ν2
pour ν2 ≥ 3
ν2 − 2
non définie
pour ν2 < 3
2ν22 (ν1 + ν2 − 2)
ν1 (ν2 − 2)2 (ν2 − 4)
si ν2 ≥ 5
non définie
non définie
0
θ2
2
.
.
Combinaisons linéaires de variables aléatoires usuelles
Hypothèses
Loi de probabilité
Xi binomiale : B(ni , p)
(Xi ) indépendantes ; Y =
k
X
i=1
Xi 

Xi de Poisson : P(λi )
(Xi ) indépendantes ; Y =
k
X
i=1
Xi normale : N (µi , σi2 )
(Xi ) indépendantes ; Y =
n
X
i=1






Xi 




ai Xi 

=⇒
(Xi ) indépendantes ; Y =
n
X
i=1
Cas particulier :
2



Xi 

Y binomiale B
ni , p
!
i=1
=⇒
Y loi de Poisson P
k
X
λi
!
i=1
=⇒
Y normale N
k
X
ai µ i ,
i=1

Cas particulier : µi = µ et σi = σ 

n
1X
=⇒
X=
Xi


n i=1
Xi loi gamma : G(a, pi )
k
X
=⇒
Xi loi de χ à γi dd` =⇒
n
X
i=1
2
X normale N µ, σn
Y loi gamma G a,
n
X
i=1
2
Y loi de χ à
n
X
i=1
γi dd`
pi
!
a2i σi2
!