Énergie du champ magnétique. - Modification du raisonnement classique conduisant à la formule de Neumann H. Pellat To cite this version: H. Pellat. Énergie du champ magnétique. - Modification du raisonnement classique conduisant à la formule de Neumann. J. Phys. Theor. Appl., 1898, 7 (1), pp.702-708. <10.1051/jphystap:018980070070201>. <jpa-00240303> HAL Id: jpa-00240303 https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00240303 Submitted on 1 Jan 1898 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. 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PELLAT. 1 J’ai montré, dans ce Recueil (’ ), que l’expression habituellement admise pour l’énergie d’un champ électrique doit être modifiée parce qu’il faut tenir compte de la chaleur que le système doit prendre ou fournir au milieu extérieur pendant son électrisation pour maintenir sa température constante. Une modification tout à fait analogue s’impose pour l’expression de l’énergie d’un champ magnétique. C’est ce qui fera l’objet de cet article. Je considérerai successivement les trois cas suivants : 1 ° le champ est constitué uniquement par des aimants permanents ; le champ est constitué uniquement par des courants dans un milieu dont la perméabilité est indépendante de l’intensité du champ; 3° le champ est produit à la fois par des courants et par des aimants permanents. Des considérations tout à fait analogues à celles PREMIER CAS. donnent qui l’énergie du champ électrique conduisent au résultat. Désignons par M la quantité de magnétisme qui se trouve dans une région où le potentiel magnétique est V; examinons l’accroissement d’énergie qui a lieu pour la partie de l’espace soumise au champ, quand celui-ci passe d’une valeur nulle à la valeur considérée. Comme cette variation d’énergie ne dépend pas de la façon dont se fait la - transformation, nous supposerons (1) De la variation d’énergie électrique., voir ce volume, p. dans 18. une qu’à chaque instant, pendant t¡’ansfol’m.ation - De l’énel’gie Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:018980070070201 703 parties présentent la mème fraction x de leur finale et, par conséquent, que chaque point du charge magnétique fraction x du potentiel final. Considéaussi la même champ possède comme variables rons, indépendantes, x et la température absolue T, uniforme. supposée Pour faire croître simultanément le magnétisme des points aimantés du champ, on peut imaginer qu’on transporte depuis l’infini jusqu’aux points considérés des aimants infiniment petits qu’on juxtapose à ceux qui ont été amenés antérieurement. Le travail des forces extérieures dW pour augmenter ainsi de Mdx la charge magnétique de cliaque point est donné par : celle-ci, toutes les - En vertu de la relation générale établie sous le numéro (8) dans l’article précité, on a pour la variation élémentaire d’énergie dUT, si l’on maintient la température constante, le système prenant ou cédant au milieu extérieur la quantité de chaleur convenable : la dérivation, 1B1 doit être consimais oû V peut dépendre de T, à cause de la variation de la perméabilité avec la température et aussi à cause des dilatations. En intégrant depuis x = o jusqu’à pour avoir la variation d’énergie du système UT à température constante, c’est-à-dire expression déré dans comme l’énergie du laquelle, pour indépendant de T, champ magnétiqu8, expression identique on a : à celle obtenue pour le On voit aisément que mise en jeu pour maintenir la création du champ magnétique. est champ électrique. la quantité de chaleur température DEUXIÈME CAS. ----- Comme nous l’avons dit, que les courants qui constituent le champ sont constante pendant la supposerons ici placés dans un milieu nous 704 homogène ou hétérogène, mais dont la perméabilité ne varie pas avec l’intensité du champ, et sans aimantation résiduelle, de façon que, si les intensités de tous les courants deviennent nulles, le champ magnétique devient nul aussi. Remarquons que l’énergie du champ magnétique dépend de la forme, de la position, de l’intensité des courants, ainsi que de la perméabilité des diverses régions du champ, mais ne dépend pas de la résistance des conducteurs parcourus par les courants. Celle-ci ne fait que régler la quantité de chaleur que le milieu extérieur doit enlever au système pour maintenir sa température constante. Afin d’avoir des phénomènes réversibles, nous pouvons supposer le cas limite où la résistance de tous les conducteurs est infiniment faible. Nous supposerons aussi que les courants sont fournis par des électromoteurs fondés sur l’induction, mis en mouvement par des forces extérieures au système. En régime permanent, il faudra, pour avoir un courant d’intensité finie, que la force électromotrice de ceux-ci soit infiniment faible, puisque la résistance elle-même est infiniment faible; mais, pendant la période variable, à cause des phénomènes d’induction des circuits les uns sur les autres, il faudra que la force électromotrice des électromoteurs soit finie pour s’opposer à la force électromotrice due aux phénomènes d’induction dont nous venons de parler. Pour simplifier l’exposé, nous considérerons d’abord le cas où il n’y a que deux circuits distincts. Soient L,, L2 et 1YI les coefficients de self-induction de ces circuits et leur coefHcient d’induction mututelle ; 1, et i2, les intensités au temps t des courants que nous allons faire varier depuis une valeur nulle jusqu’aux valeurs I, et 12. Comme, pour avoir la variation d’énergie entre ces deux états peu importe les états intermédiaires, nous pouvons supposer que tous les circuits restent immobiles et que la loi de variation des courants est donnée par les expressions qui est toujours possible en faisant tourner avec venable les électromoteurs. Ces relations donnent: ce une vitesse i, == Í2 ~ o con- pour (état ~1~ i2 ===]2 pour t == 00 ou x - 1 En désignant par E, et E2 les forces électromotrices des électromoteurs au temps t, les lois de l’induction fournissent les relat == o ou x = o (état final). 705 tions suivantes (en nous rappelant que les résistances sont infiniment faibles) : Pendant le temps dt, le travail dW des forces extérieures, quai se réduit au travail nécessaire pour faire tourner les électromoteurs, est donné par : - en ° posant pour abréger 1’écriture : Considérons maintenant l’état du système comme caractérisé par les deux variables indépendantes x; et T (température absolue supposée uniforme), les intensités 1, et 1, étant indépendantes de T, mais les coefficients L,, L2, ~1. et, par conséquent, A en dépendant à cause de la variation de la perméabilité avec la température et des dilatations. Dans une variation infiniment petite, à température constante, la formule générale portant le numéro (8) dans l’article précité donne, pour la variation élémentaire dUT de l’énergie du système, l’expression , Pour avoir l’énergie du champ magnétique, c’est-à-dire la variation d’énergie à température constante UT du système pendant que les courants passent d’une intensité nulle à leur intensité finale, il suffit d’intégrer l’expression précédente en faisant varier x de 0 à ~, comme nous l’avons vu ; ce qui donne : . On voit aisément que est la quantité de chaleur mise en 706 pour maintenir la température du système constante création du champ, puisqu’en vertu de la relation A jeu (6), 2 le travail des forces extérieures. En remplaçant A par sa valeur (7), il vient : lieu de deux circuits, il y en a trouve aisément que la relation (9) est nant pour A la valeur : Si, au pendant la représente plus grand nombre, on toujours applicable en preun d’où, pour l’énergie UT du champ, l’expression : Nous allons considérer maintenant le cas où le produit par des aimants permanents de magnétisme parchamp faitement rigide et par des courants fermés placés dans un milieu homogène ou hétérogène, mais dont la perméabilité ne dépend pas de la valeur du champ. Ce cas se ramène immédiatement aux deux précédents. Supposons d’abord tous les circuits ouverts et créons, comme dans le premier cas, le champ dîi aux aimants seuls; soit UA l’énergie de ce champ. Tout étant immobile, fermons les circuits que nous supposons encore avoir des résistances infiniment petites, et faisons passer les courants de l’intensité nulle à leur intensité définitive ; nous n’aurons rien à changer aux relations (4), (5B... (12), car les circuits et les aimants restant immobiles, ceux-ci ne donnent lieu à aucun phénomène d’induction. Il en résulte que la variation d’énergie Uc, quand les courants passent d’une intensité nulle à l’intensité définitive, est encore représentée par les relations (9), (10), ou (12). L’énergie du champ magnétique est donc UA + Uc : c’est la TROISIEME CAS. - est somine des seuls (UA) énergies du champ magnétique, si et si les courantes existaient seuls les aimants existaient (Llc) (1). (1) i’aschy- a démontré ce théorème sans se fonder sur les lois de l’induction et précisément dans le but de rendre rigoureux le raisonnement qui conduit à la formule de Neumann. Mais sa démonstration néglige les quantités de chaleur mises en jeu dans la création du champ magnétique et, si on veut en tenir compte, elle devient difficile à faire. C’est pourquoi je crois bon de montrer qu’on peut se passer de ce théorème pour établir la formule de Neumann. M. 707 II On serait tenté de croire qu’il est nécessaire de connaître cette dernière proposition pour établir rigoureusement par le raisonnement de Helmholtz ou de lord Kelvin la formule de Neumann, qui donne l’expression de la force électromotrice d’induction dans le déplacement relatif d’un circuit et d’un aimant. Mais remarquons que, si nous nous bornons à considérer un courant infiniment faible fourni par une pile dans un circuit de résistance finie, on peut établir a priori que l’énergie du système ne dépend pas de la position relative du circuit de l’aimant. En effet, supposons immobile dans une position quelconque le circuit par rapport à l’aimant. Le circuit étant d’abord ouvert, fermons-le sur une pile de force électromotrice infiniment faible de, considérée comme ne faisant pas partie du système; il naîtra un courant infiniment faible di, et la pile ne fournira, dans un temps fini, qu’une quantité d’énergie qui est un infiniment petit du second ordre ; la chaleur mise en jeu pour maintenir la température constante sera aussi un infiniment petit du second ordre ( ~ ) ; par conséquent, la fermeture de ce circuit sur la pile ne modifiera pas l’énergie du système aux infiniment petits du second ordre près. Ceci posé, considérons le circuit fermé sur la pile de force électromotrice de dans une position (1) par rapport à l’aimant; et soit U l’énergie du système dans ce cas. Ouvrons ce circuit et transportonsle ainsi dans une position (2) ; puis fermons-le sur la même pile de force électromotrice de, ce qui donnera la même intensité di du courant après le régime variable. Le système n’ayant reçu ni travail, ni chaleur, ni aucune autre forme d’énergie pendant le transport, son énergie sera restée U aux infiniment petits du second ordre près. Mais, si l’on fait le transport de la position (1) à la position (2), le circuit étant fermé, en faisant varier convenablement la force électromotrice e de la pile, de façon que le courant conserve toujours la même intensité infiniment petite di considérée ci-dessus, malgré les phénomènes d’induction qui vont se produire, le système fournira au On peut prendre comme fait d’expérience que la chaleur créée à la fermeture à la rupture du circuit est proportionnelle au carré de l’intensité du courant. de Phys., 3° série, t. VII, p. 18 ; 1898. (2) (1) ou 708 milieu extérieur, un certain travail kdi, grâce aux forces électromagnétiques que nous supposerons équilibrées par des forces extérieures. D’autre part, si nous nous plaçons dans le cas limite où ce travail est indépendant de la température, les relations (1 ) et (7) de mon article sur la Variation cl’énepyie dans les transformations isothermes (2) montrent que la chaleur mise en jeu pour maintenir la température constante est nulle. Puisque l’énergie du système n’a pas varié aux infiniment petits du second ordre près, il faut que, pendant ce cisément transport, il ait égale à ce reçu de la pile une énergie edidt pré- travail : cl’oû : o La force électromotrice de la pile n’est donc plus restée infiniment petite. Mais, comme l’intensité du courant est restée infiniment petite, la force électromotrice de la pile a été à chaque instant égale, à un infiniment petit près, à la force électromotrice d’induction. l C Il’ est donc d’ par Celle-ci donnée SUR LA PRÉSENCE . e }’ d ’TNeumann. expression de # DU CARBONE DANS LE FER ÉLECTROLYTIQUE ; Par L. HOULLEVIGUE. assez généralement le fer électrolytique comme le qui pur plus puisse être obtenu ; il est loin cependant d’être chimiquement pur ; tout le monde sait qu’il renferme de grandes quantités d’hydrogène (100 à 150 fois son volume) ; d’autre part, Lockyer (t) y On considère impuretés certaines, NIn, Ni, Cr, Co, Ba, Sr, Ca, Cu, Ti, Di, et comme impuretés probables : Zr, U, Ru, La, Er, Mo, Zn, V, W, Os, Al. a signalé, comme impureté plus importante est le carbone. Elle a déjà été Osmond, qui indique la présence de 0,08 0/0 de signalée par dans un échantillon analysé par lui. Une analyse volumécarbone Une (1) vol. On the CLXXXX, photographie II, p. 983). Arc Spectrum of Electrolytie Iron (l’lciL. Trans.