fiche démo _début de 3e_

F1
Comment démontrer que deux droites sont parallèles
P : Si deux droites sont parallèles, alors toute parallèle à l’une est parallèle à l’autre.
P : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles.
Déf : Un trapèze est un quadrilatère qui a deux côtés parallèles.
P : Si deux droites sont symétriques par rapport à un point, alors elles sont parallèles.
P : Si deux angles correspondants déterminés par deux droites et une sécante ont la même
mesure, alors ces deux droites sont parallèles.
P : Si deux angles alternes-internes déterminés par deux droites et une sécante ont la même
mesure, alors ces deux droites sont parallèles.
Déf : Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles.
P : Si un quadrilatère est un rectangle, alors c’est un parallélogramme particulier.
P : Si un quadrilatère est un losange, alors c’est un parallélogramme particulier.
P : Si un quadrilatère est un carré, alors c’est un parallélogramme particulier.
P : Si, dans un triangle, une droite passe par les milieux de 2 côtés, alors elle est parallèle au
troisième côté.
fiche démo (début de 3e)-1.doc
-1 -
F2
Comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires
P : Si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à
l’autre.
Déf : Une hauteur dans un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui est
perpendiculaire au côté opposé.
Déf : Un rectangle est un quadrilatère qui a 4 angles droits.
Déf : Un carré est un quadrilatère qui a 4 côtés de même longueur et 4 angles droits.
Déf : La médiatrice d’un segment est la droite qui passe par le milieu du segment et qui est
perpendiculaire au segment.
P : Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales se coupent en leurs milieux et sont
perpendiculaires.
P : Si un quadrilatère est un carré, alors ses diagonales se coupent en leur milieu, ont la même
longueur et sont perpendiculaires.
Déf : A est un point du cercle C de centre O.
La tangente en A au cercle C est la droite passant par A et perpendiculaire au rayon [OA].
F2 bis
Comment démontrer qu’un triangle est rectangle
Déf : Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit.
P : Réciproque de Pythagore
P : Si on relie un point d’un cercle aux extrémités d’un diamètre, alors on obtient un triangle
rectangle, d’hypoténuse le diamètre du cercle.
fiche démo (début de 3e)-1.doc
-2 -
F3
Comment démontrer que deux angles ont la même mesure
Déf : La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui passe par son sommet et qui le partage
en deux angles de même mesure.
P : Si un triangle est isocèle, alors il a deux angles de même mesure.
P : Si un triangle est équilatéral, alors il a trois angles de même mesure : 60°.
P : Si 2 angles sont opposés par le sommet, alors ils ont la même mesure.
P : Si 2 angles correspondants sont déterminés par deux droites parallèles et une sécante, alors
ils ont la même mesure.
P : Si 2 angles alternes-internes sont déterminés par deux droites parallèles et une sécante,
alors ils ont la même mesure.
P : Si deux angles sont symétriques par rapport à une droite, alors ils ont la même mesure.
P : Si deux angles sont symétriques par rapport à un point, alors ils ont la même mesure.
P : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés ont la même mesure.
F3 bis
Comment calculer un angle
Déf : Deux angles complémentaires sont deux angles dont la somme est égale à 90°.
Déf : Deux angles sont supplémentaires quand leur somme est égale à 180°.
P : La somme des angles d’un triangle est égale à 180°.
P : Si un triangle est rectangle, alors ses 2 angles aigus sont complémentaires.
P : Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors 2 angles consécutifs sont supplémentaires.
Déf : Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au rapport du côté
adjacent sur l’hypoténuse.
fiche démo (début de 3e)-1.doc
-3 -
F5
Comment démontrer qu’un point est le milieu d’un segment
Déf : Le milieu d’un segment est le point de ce segment, équidistant des extrémités du
segment.
Déf : La médiatrice d’un segment est la droite qui passe par le milieu du segment et qui est
perpendiculaire au segment.
Déf : Deux points M et M’ sont symétriques par rapport à un point O quand O est le milieu du
segment [MM’].
P : Si deux segments sont symétriques par rapport à une droite, alors leurs milieux sont
symétriques.
P : Si deux segments sont symétriques par rapport à un point, alors leurs milieux sont
symétriques.
P : Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu.
P : Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales se coupent en leur milieu et ont la
même longueur.
P : Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales se coupent en leur milieu et sont
perpendiculaires.
P : Si un quadrilatère est un carré, alors ses diagonales se coupent en leur milieu, ont la même
longueur et sont perpendiculaires.
Déf : Une médiane dans un triangle est une droite qui passe par un sommet et le milieu du
côté opposé.
P : Si, dans un triangle, une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un autre côté
alors elle coupe le troisième côté en son milieu.
F4
Comment démontrer que deux segments ont la même longueur
fiche démo (début de 3e)-1.doc
-4 -
Déf : Le milieu d’un segment est le point de ce segment, équidistant des extrémités du
segment.
Déf :Un cercle de centre O est l’ensemble des points équidistants de O.
Déf :Un triangle isocèle est un triangle qui a 2 côtés de la même longueur.
Déf :Un triangle équilatéral est un triangle qui a 3 côtés de la même longueur.
P: Si un point est situé sur la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant des extrémités
du segment.
P: Si deux segments sont symétriques par rapport à une droite, alors ils ont la même longueur.
P: Si deux segments sont symétriques par rapport à un point, alors ils ont la même longueur.
Déf : Un losange est un quadrilatère qui a 4 côtés de la même longueur.
Déf : Un carré est un quadrilatère qui a 4 angles droits et 4 côtés de la même longueur.
P: Si un triangle a deux angles de même mesure, alors il est isocèle.
P: Si un triangle a trois angles de même mesure, alors il est équilatéral.
P: Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors il a ses côtés opposés de la même
longueur.
P : Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales se coupent en leur milieu et ont la
même longueur.
P : Si un quadrilatère est un carré, alors ses diagonales se coupent en leur milieu, ont la même
longueur et sont perpendiculaires.
F4 bis
fiche démo (début de 3e)-1.doc
Comment calculer une longueur
-5 -
P : Propriété de Pythagore
P : Si, dans un triangle, un segment relie les milieux de deux côtés, alors sa longueur est la
moitié de la longueur du 3° côté.
P : Propriété de Thalès.
Déf : Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au rapport du côté
adjacent sur l’hypoténuse.
P : Si un point est le point de concours des trois médianes d’un triangle alors il est situé aux
deux tiers de chaque médiane à partir du sommet.
F6
Comment démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme
fiche démo (début de 3e)-1.doc
-6 -
Déf : Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles.
P : Si un quadrilatère (non croisé) a ses côtés opposés de même longueur, alors c’est un
parallélogramme.
P : Si un quadrilatère (non croisé) a 2côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c’est
un parallélogramme.
P : Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c’est un
parallélogramme.
F7
Comment démontrer qu’un quadrilatère est un losange
Déf : Un losange est un quadrilatère qui a 4 côtés de la même longueur.
P : Si un parallélogramme a 2 côtés consécutifs de la même longueur, alors c’est un losange.
P : Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leurs milieux et sont
perpendiculaires, alors c’est un losange.
P : Si un parallélogramme a ses diagonales qui sont perpendiculaires, alors c’est un losange.
F8
Comment démontrer qu’un quadrilatère est un rectangle
fiche démo (début de 3e)-1.doc
-7 -
Déf : Un rectangle est un quadrilatère qui a 4 angles droits.
P : Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c’est un rectangle.
P : Si un parallélogramme a 1 angle droit, alors c’est un rectangle.
P : Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leurs milieux et ont la même
longueur, alors c’est un rectangle.
P : Si un parallélogramme a ses diagonales qui ont la même longueur, alors c’est un rectangle.
F9
Comment démontrer qu’un quadrilatère est un carré
Déf : Un carré est un quadrilatère qui a 4 angles droits et 4 côtés de la même longueur.
Ou
Déf : Un carré est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange.
P : Si un parallélogramme a 1 angle droit et 2 côtés consécutifs de la même longueur, alors
c’est un carré.
P : Si un losange a 1 angle droit, alors c’est un carré.
P : Si un rectangle a 2 côtés consécutifs de la même longueur, alors c’est un carré.
P : Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, ont la même longueur et
sont perpendiculaires, alors c’est un carré.
P : Si un parallélogramme a ses diagonales qui ont la même longueur et sont perpendiculaires,
alors c’est un carré.
P : Si un losange a ses diagonales qui ont la même longueur, alors c’est un carré.
P : Si un rectangle a ses diagonales qui sont perpendiculaires, alors c’est un carré.
fiche démo (début de 3e)-1.doc
-8 -
F10
Divers
P : Si un point est équidistant des extrémités d’un segment alors ce point appartient à la médiatrice de
ce segment.
P : Par une symétrie axiale, trois points alignés ont pour images trois points alignés.
P : Par une symétrie axiale, une figure et son image ont la même aire.
P : « Inégalité triangulaire appliquée au triangle »
La longueur de chaque côté d’un triangle est inférieure à la somme des longueurs des deux autres
côtés.
P : Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes.
Le point de concours est le centre du cercle circonscrit au triangle.
P : Par une symétrie centrale, trois points alignés ont pour images trois points alignés.
P : Par une symétrie centrale, une figure et son image ont la même aire.
P : Si un triangle est isocèle alors la médiatrice de sa base est aussi bissectrice de l’angle principal,
hauteur et médiane issues du sommet principal.
P : Par une translation, les images de trois points alignés sont trois points alignés.
P : Par une translation, une figure et son image ont la même aire.
Déf : La distance d’un point A à une droite (d) est la distance AH du point A au pied H de la
perpendiculaire à (d) passant par A.
(AH est la plus petite distance séparant A d’un point quelconque de (d).)
P : Si un point est équidistant des côtés d’un angle alors ce point appartient à la bissectrice de cet
angle.
P : Les bissectrices des trois angles d’un triangle sont concourantes.
Le point de concours est le centre du cercle inscrit au triangle.
P : Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes.
Le point de concours est l’orthocentre du triangle.
P : Les trois médianes d’un triangle sont concourantes.
Le point de concours est le centre de gravité du triangle.
P : Le centre de gravité d’un triangle est situé aux
2
, à partir du sommet, de chaque médiane.
3
P : Si un triangle est rectangle alors son cercle circonscrit a pour diamètre l’hypoténuse.
fiche démo (début de 3e)-1.doc
-9 -