Liste de lois de probabilité usuelles 1 Lois de probabilité finies Variable aléatoire Valeurs images Paramètres X(Ω) X certaine a∈R X ,→ a uniforme n∈N X ,→ U(n) ? Bernoulli p ∈ [0, 1] X ,→ B(p) q = 1 − p ∈ [0, 1] Loi de probabilité X ,→ B(n, p) p ∈ [0, 1] (B(1, p) = B(p)) q = 1 − p ∈ [0, 1] X ,→ H(N, n, p) n ∈ J0, N K p ∈ [0, 1] tel que N p ∈ N Nq = N − Np ∈ N V (X) 0 a J1, nK 1 P (X = k) = n n+1 2 P (X = 1) = p P (X = 0) = q n k n−k P (X = k) = p q k J0, nK N ∈ N \ {0, 1} hypergéométrique E(X) P (X = a) = 1 {0, 1} Variance {a} n∈N binomiale Espérance Jmax{0, n−N q}, min{N p, n}K ⊂ J0, nK Np Nq k n−k P (X = k) = N n p n2 − 1 12 Modélisation -loi des issues certaines -résultat constant pq -loi des choix équiprobables -lancer d’un dé équilibré à n faces numérotées de 1 à n -loi des choix binaires -épreuve de Bernoulli -lancer d’une pièce déséquilibrée à faces numérotées 0 et 1 (p =probabilité d’obtenir 1) np npq -schéma de Bernoulli -somme des résultats de n lancers d’une pièce déséquilibrée à faces numérotées 0 et 1 (p =probabilité d’obtenir 1) -nombre de succès de n tirages avec remise (p =proba. de succès) np N −n npq N −1 -nombre de succès de n tirages sans remise parmi N objets (p =proba. de succès au 1er tirage) -H(N, n, p) ≈ B(n, p) pour N n → +∞ ? : formules non exigibles mais à savoir démontrer (pour la variance de la loi uniforme : formule de Koenig-Huygens et théorème de transfert puis sommes des premiers entiers et des premiers carrés ; pour la variance de la loi hypergéométrique (et de la loi binomiale) : calcul de E(X(X − 1)) avec deux fois la formule du pion puis la formule de Vandermonde (la formule du binôme de Newton pour la loi binomiale) ensuite linéarité de l’espérance et formule de Koenig-Huygens). BCPST 1A lycée Hoche 2016-2017 1 sur ?? Sébastien Godillon 2 Lois de probabilité discrètes Variable aléatoire Valeurs images Paramètres X(Ω) X Poisson λ ∈ [0, +∞[ X ,→ P(λ) 3 Loi de probabilité P (X = k) = N géométrique p ∈ [0, 1] X ,→ G(p) q = 1 − p ∈ [0, 1] N? λk −λ e k! Espérance Variance E(X) V (X) λ 1 p P (X = k) = q k−1 p Modélisation λ -loi des événements rares -nombre d’occurrences dans un intervalle de temps fixé (λ =nb. moyen d’occurrences) -P(λ) ≈ B(n, λ/n) pour n → +∞ q p2 -premier succès d’une suite illimitées d’épreuves de Bernoulli indépendantes B(p) -loi sans mémoire : P(X>T ) (X > T + k) = P (X > k) Lois de probabilité à densité Variable aléatoire Paramètres X uniforme (a, b) ∈ R2 X ,→ U(a, b) tels que a < b exponentielle X ,→ E(λ) normale ou gaussienne X ,→ N (µ, σ 2 ) Valeurs images X(Ω) Fonction de densité ( [a, b] fX (t) = 1 si a 6 t 6 b b−a 0 sinon λ ∈]0, +∞[ R+ µ∈R σ ∈]0, +∞[ BCPST 1A lycée Hoche 2016-2017 R fX (t) = fX (t) = λe−λt si t > 0 0 sinon 1 √ exp − 21 σ 2π 2 sur ?? t−µ 2 σ Espérance Variance E(X) V (X) b+a 2 (b − a)2 12 -loi des générateurs de nombres aléatoires (informatique) -choix d’un nombre réel au hasard dans l’intervalle [a, b] 1 λ2 -durée de vie d’un phénomène sans vieillissement (λ = 1/«durée de vie moyenne») -temps d’attente dans une file -loi sans mémoire : P(X>T ) (X > T + t) = P (X > t) -E(λ) ≈ nG(λ/n) pour n → +∞ 1 λ µ σ2 Modélisation -loi des courbes en cloche -distribution statistique pour une grande population -théorème central limite : la somme de variables aléatoires indépendantes de même loi tend vers une gaussienne Sébastien Godillon