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Quantité de mouvement
1 . Introduction :
Un mobile en mouvement, c’est de la matière, donc de la masse, qui se déplace.
Sur la figure ci contre, la masse transportée pendant une durée (t2 – t1) donnée
sera la même si :
M = 2m
• on déplace une masse 2m à la vitesse v
v
m
v
m
v
m
• on déplace deux masse m à la vitesse v
2v
• on déplace une masse m à la vitesse 2v
La grandeur « quantité de mouvement » représente cette propriété et permet de
quantifier l’effet que peut produire cette masse en mouvement.
2 . Définition :
La quantité de mouvement d’un système est égale au produit de sa masse par la
vitesse de son centre d ’inertie. Elle s’exprime en kg.m.s-1.
→
→
m
p = m. v G
vG
Exercice résolu
Énoncé : comparer les quantités de mouvement :
d'un boule de pétanque de masse m1 = 500g, lancée à 5m.s-1
d'une balle de pistolet de masse m2 = 20g sortant du canon à 200 m.s-1
Solution :
pour la boule de pétanque, la quantité de mouvement vaut :
p1 = m1.v1 = 0,5x5 = 2,5 kg.m.s-1.
Pour la balle de pistolet, la quantité de mouvement vaut :
p2 = m2.v2= 0,02x200 = 4 kg.m.s-1.
C'est la balle de pistolet qui a la plus grande quantité de mouvement. C’est elle qui
pénètrera le plus profondément l’objet rencontré.
3 . Principe de l’inertie, exprimé en fonction de la quantité de
mouvement :
Pour un système isolé, le vecteur vitesse est constant et la masse du système est
constante : la quantité de mouvement est donc constante.
Si cette expression n’ajoute rien dans le cas d’un mobile, elle peut être
intéressante pour un ensemble isolé comportant plusieurs parties.
4 . Système formé de plusieurs parties :
4 . 1 . Définition de la quantité de mouvement du système :
C’est la somme vectorielle des quantités de mouvement de toutes les parties :
→
→
→
→
p = p A + pB + p C
→
→
v
→
→
pA
A
A
vC
p = m A v A + mB v B + m C v C
→
→
G
p = m vG
avec : m = mA + mB + mC
p
vG
C
B
Tout se passe comme si la masse de l’ensemble était
concentrée au centre de masse G, et se déplaçait à la
vB
vitesse vG.
4 . 2 . Conséquence :
p
Dans un système isolé, même s’il y a interaction entre
les parties du système, la quantité de mouvement du
système reste constante. Il y a conservation de la
quantité de mouvement d’un système isolé.
pB
4 . 3 . Applications :
a) Eclatement
Dans un éclatement, au départ, le système est immobile.
• les deux parties du système agissent l’une sur l’autre et se
avant :
→
→
p=0
mettent en mouvement,
après :
→
→
• mais la quantité de mouvement du système reste nulle,
→
p1 + p 2 = 0
→
• donc les vitesses des deux parties sont colinéaires, et de
→
p1 = − p 2
→
→
m1. v 1 = −m2 . v 2
sens opposé.
C
Exercice résolu
Énoncé : Deux mobiles autoporteurs sont attachés l’un à l’autre par un fil, qui
comprime des ressorts. A une date choisie comme origine, on brûle le fil.
Les deux mobiles se repoussent et s’éloignent sur une même droite. Si on relève les
positions toutes les demi-secondes, on obtient :
A
B
G
A5
A0 B0
B5
Quel est le rapport des masses de ces mobiles.
Solution :
L’analyse du document montre que leurs vitesses sont colinéaires et de sens opposé mais
que celle de B est le double de celle de A. La conservation de la quantité de mouvement du
système des deux masses permet d’établir le rapport des masses :
→
→
→
→
→
p AVANT = p APRES = 0
m A v A = − mB v B
2 v A = vB
m A v A = 2 mB v A
m A = 2 mB
b) Choc sur une droite
Si une des parties du système isolé, ou les deux, est déjà en mouvement avant le
choc, la quantité de mouvement du système n’est pas nulle, mais on vérifie toujours :
→
p AVANT
→
= p APRES
→
= cste
Si les vitesses des deux parties ont la même droite d’action avant le choc, elles
l’auront encore après le choc.
Exercice résolu
Enoncé : Un patineur immobile sur la glace est heurté de front par une patineuse. Ils
s'accrochent l'un à l'autre.
- La glace constitue un sol horizontal supposé parfaitement glissant. Définir le
système pseudo-isolé que l'on peut étudier.
- Définir et calculer la vitesse commune des patineurs après le choc, sachant que :
. la masse du patineur est m1 = 80 kg
. la masse de la patineuse est m2 = 50 kg
. la vitesse de la patineuse avant le choc est v2 = 8 m.s-1
v
m
2
2
Avant
m
1
vG
Après
m +m
1
2
Solution :
Avant le choc : le patineur, ou la patineuse, peut être considéré comme un système
pseudo-isolé, donc a fortiori le couple est aussi un système pseudo-isolé.
Après le choc : seul le couple dans son ensemble est encore un système pseudo-isolé
parce que les deux patineurs ont été en contact. Et ceci est vrai qu'ils restent ou non en
contact après le choc.
Le seul système pour lequel le choc est un événement intérieur est le couple de
patineurs.
→
→
p AVANT = p APRES
→
→
p AVANT = m 2 v 2
→
→
p APRES = (m1 + m 2 ) v G
La vitesse commune a même direction et même sens que la vitesse initiale de la
patineuse et a pour valeur :
-1
50
50
v = vG =
x8 =
x 8 ≈ 3,1 m.s
50 + 80
130