Topologie algébrique

Topologie algébrique
Programme détaillé du cours. M1 printemps 2015.
1. Caractéristique d’Euler.
2. Type topologique.
3. Homéomorphismes entre
— S 1 et l’espace projectif réel RP 1 .
— SO(3) et l’espace projectif réel RP 2 .
— S 2 et l’espace projectif complexe RP 1 .
— SU (2) et la sphère S 3 .
4. Homotopie entre deux applications.
5. Equivalence homotopique de deux espaces topologiques. Type homotopique.
6. Equivalence homotopique entre
— Point, arbre, ensemble convexe, cône sur un espace topologique, sphère
de dimension infini.
— cercle, SL(2, R), bande de Möbius, cylindre, plan privé d’un point.
— tore et complément à deux cercles entrelacés dans S 3 .
— quadrique complexe et une sphère.
— Surface de genre g privée de s points et un bouquet des cercles.
— SL(3, C) et S 3 .
7. Cône, suspension, bouquet, cylindre d’application, tore d’application.
8. Rétraction et rétraction par déformation.
9. CW-complexe.
10. Structure de CW-complexe pour S n et Gr(n, k).
11. Groupe topologique. Groupe de composantes connexes. Action continue
d’un groupe topologique sur un espace topologique. Action proprement
discontinue d’un groupe discret.
12. Classification des surfaces compactes avec et sans bord.
13. Revêtement d’un espace topologique. Fibre d’un revêtement.
14. Théorème de relèvement d’un chemin.
15. Théorème de relèvement d’une homotopie des chemins.
16. Groupe fondamental. Dépendance du point de base.
17. Action du groupe fondamental de la base sur le fibre du revêtement.
18. Calcul de groupe fondamental de :
— Sous-ensemble convexe d’un espace vectoriel.
— Cercle.
— Bouquet de n cercles.
— Graphe.
— Sphère S n .
— Tore.
— Bouteille de Klein.
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— Espace projectif RP n .
— Espace de k-uples de points distincts dans le plan.
— Complément d’un entrelas donné par son diagramme (présentation
de Wirtinger).
— Surface de genre g.
— CW-complexe.
19. Propriétés fonctorielles du groupe fondamental.
20. Théorème : Tout sous-groupe d’un groupe libre est libre.
21. Théorème de Borsuk-Ulam en dimension 2.
22. Théorème de Brower en dimension 2.
23. Théorème de van Kampen.
24. Théorème : Groupe fondamental d’un groupe topologique connexe est
abélien.
25. Le revêtement universel et le revêtement universel abélien.
26. Espaces K(G,1).
27. Revêtement galoisien. Revêtement associé à un revêtement galoisien.
28. Classification des revêtements connexes par des classes de conjugaison de
sous-groupes du groupe fondamental.
29. Classification des revêtements par des classes d’homomorphismes du groupe
fondamental dans le groupe de permutations.
30. Revêtements ramifiés définis par des applications polynomiaux C → C.
31. Formule de Riemann-Hurwitz.
32. Chaı̂nes singulières. L’opérateur de bord ∂.
33. Groupes d’homologie singulières. Propriétés fonctoriels.
34. Invariance homotopique des groupes d’homologie.
35. Suites exactes courtes. Lemme du serpent.
36. Homologie relative.
37. Degré d’une application S n → S n .
38. Homologie cellulaires.
39. Lien entre le groupe fondamental et le premier groupe d’homologie H1 (X, Z).
40. Calcul de la caractéristique d’Euler par l’homologie.
41. Théorèmes de Brower et de Borsuk-Ulam.
42. Non-existence d’un champ de vecteurs non-nuls sur S 2 n.
43. Homologie aux coefficients dans un anneau.
44. Formule de Künneth.
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