Exercice 1 : Éléments de correction 1) A = 16, m = 1 a = 3, b = 5, c = 4, d = 4 On a bien : 16=3+5+4+4 et a + 1 = b – 1 = c×1 = d =4 1 2) 288 quadripartite d’opérateur 2 a = 62, b = 66, c = 32, d = 128. On a bien : 62 + 66 + 32 + 128 = 288 et a + 2 = b – 2 = c×2 = d = 64. 2 288 quadripartite d’opérateur 3 a = 51, b = 57, c = 18, d = 162. On a bien : 51 + 57 + 18 + 162 = 288 et a + 3 = b – 3 = c×3 = d = 54. 3 d d'où a = m(c – 1) ; b = m(c + 1) et d =m²c. m A = mc – m + mc + m + m²c = (m + 1)²c A D’où : c= (m+1) 2 3) a) a + m = b – m = cm = b) On en déduit : A A a=m −1 ; b=m +1 et d = m 2 2 m+1 (m+1) (m+1) [ ] [ ] (*). 2 ( )A c) Soit A un nombre quadripartite d'opérateur m, k un entier non nul. 2 kA kA kA m −1 b ' =m +1 c ' = d = kA . Posons : a ' =m ; ; et m+1 (m+1)2 ( m+1)2 (m+1)2 A Ces nombres sont des entiers positifs car m, c= et c' = kc sont des entiers strictement (m+1) 2 d' positifs, on vérifie immédiatement que leur somme vaut kA et que a' + m = b' – m = c'm = . m [ ] [ ] 4) Si m=13 on a : A=196c. Le plus petit multiple de 196 à 5 chiffres est 10192 et le plus grand 99960. On en déduit les éléments et opérateurs correspondants : c 1=52 puis a 1=663 , b1=689 , d 1=8788 pour A1=10192 c 2=510 puis a 2=6617 , b 2=6643 , d 2 =86190 pour A2=99960. ( ) 5) 187 = 17×11, 221 = 17×13 et 3468 = 17²×12 17 est le seul multiple commun à ces trois nombres d’où nécessairement m=17. D’après les relations (*) : d = 3468, c = 12, puis a = 187, b = 221 et A = 3888. 6) Soit B un entier non nul donné, multiple d’un carré parfait p autre que 1 : p=k² (k entier positif). k est donc strictement supérieur à 1. m = k – 1 est non nul et B s’écrit sous la forme (m + 1)² où est un entier naturel non nul. En posant = c on peut alors calculer les valeurs correspondantes de a, b et d (formules (*)). Il faut noter que l’écriture de B sous la forme (m + 1)² n’est pas nécessairement unique et que l’on peut obtenir plusieurs opérateurs différents. Exemple : si B=900 on a : B=4225 (c=4 et m=14) ou : B=9100 (c=9 et m=9) ou : B=2536 (c=25 et m=5)….etc. On peut même avoir : c=1 et m=29 qui donnent a=0, b=58, d=841. 7) On a : 18 117=92 013=9×(3×11×61). S’il existe un opérateur m, (m+1)² doit diviser 18 117. Or m étant un naturel strictement positif, (m+1) est strictement supérieur à 1. Les entiers 3, 11 et 61 étant premiers, on a nécessairement , (m+1)²=9, soit : m+1=3 i.e. m=2. On a alors : a = 4024, b = 4028, c = 2 013, d = 8052. 8) D’après la question 6, tout multiple non nul de 4 est un nombre quadripartite. Or toute suite de 4 entiers naturels consécutifs contient un multiple de 4. Le seul cas à étudier est la suite (0,1,2,3) contenant le multiple 0 de 4 : - 0 n’est pas quadripartite par définition d’un tel nombre, - ni 1, ni 2, ni 3 ne sont quadripartites car ils ne peuvent se mettre sous la forme c(m+1)² que si m=0 ce qui est exclu. Conclusion : toute suite de 4 entiers naturels consécutifs sauf la suite (0,1,2,3) contient un nombre quadripartite.