Chap n°7 : Division I ] Division euclidienne Effectuer la division euclidienne d’un nombre entier (le dividende) par un nombre entier (le diviseur) différent de zéro, c’est trouver deux nombres entiers : le quotient et le reste tels que : dividende = diviseur × quotient + reste avec reste < diviseur. dividende diviseur reste quotient Remarque : On ne peut pas diviser par zéro. exemples : 1) Division euclidienne de 4 589 par 87 Détermination du nombre de chiffres au quotient : 87 × 10 < 4 589 < 87 × 100 10 < quotient < 100 Le quotient a donc 2 chiffres. 4 5 8 9 8 7 - 4 3 5 4 589 = 87 × 52 + 65 2 3 9 5 2 65 < 87 - 1 7 4 6 5 2) Division euclidienne de 1 833 par 39 Détermination du nombre de chiffres au quotient : 39 × 10 < 1 833 < 39 × 100 10 < quotient < 100 Le quotient a donc 2 chiffres. 1 8 3 3 - 1 4 1 4 2 3 - 4 2 3 0 4 7 3 9 1 833 = 47 × 39 Le reste de la division de 1 833 par 47 est 0 donc on dit : 1 833 est divisible par 47 47 est un diviseur de 1 833 1 833 est un multiple de 47. II ] Critères de divisibilité Un nombre entier est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8. Un nombre entier est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3. Un nombre entier est divisible par 4 lorsque le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4. Un nombre entier est divisible par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5. Un nombre entier est divisible par 6 lorsque il est à la fois divisible par 2 et par 3. Un nombre entier est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9. Un nombre entier est divisible par 10 lorsque son chiffre des unités est 0. exemples : 3 214 est divisible par 2. 4 325 est divisible par 5. 320 est divisible par 10. 3 225 est divisible par 3. ( 3+2+2+5 = 12 et 12 est divisible par 3) 6 327 est divisible par 3 et par 9. ( 6+3+2+7 = 18 et 18 est divisible par 3 et par 9) 1 484 est divisible par 4. (84 est divisible par 4) 3 546 est divisible par 2 et par 3 donc il est aussi divisible par 6. III ] Division décimale a) Définition Soient a et b deux nombres, b non nul. Le quotient de a par b est le nombre qu’il faut multiplier par b pour obtenir a. Si l’on nomme q le quotient de a par b, par définition on a : b × q = a a Le quotient de a par b se note a : b ou . b a On a donc : b × = a b exemple n°1 : Le quotient de 13 par 7 est le nombre q par lequel il faut multiplier 7 pour obtenir 13. 13 13 et on a donc 7 × = 13. 7 × q = 13 alors q = 7 7 exemple n°2 : 3 × 2,4 = 7,2 2,4 est le quotient de la division décimale de 7,2 par 3. 7,2 On écrit 2,4 = 7,2 : 3 ou 2,4 = 3 exemple n°3 : Le quotient de deux nombres décimaux n’est pas toujours un nombre décimal ( cas où la division ne s’arrête jamais) 1 0, 0 0 0 3 9 1 0 3, 3 3 3 9 1 0 9 1 0 9 1 b) Propriété On ne change pas le quotient de deux nombres si on multiplie ces deux nombres par un même nombre non nul, en particulier par 10, 100, 1000 …. exemples : 57,6 57,6×10 576 = = 3,6 36 3,6×10 38 38×100 3800 = = 0,44 0,44×100 44 c) Diviser par 0,1, par 0,01 ou par 0,001 Diviser un nombre par 0,1, par 0,01 ou par 0,001 revient à le multiplier par 10, par 100 ou par 1 000. exemples : A = 4,32 : 0,1 B = 1,872 : 0,01 A = 4,32 × 10 A = 43,2 B = 1,872 × 100 B = 187,2 82 0,001 C = 82 × 1 000 C = 82 000 C=