Démonstration d`une formule d`Euler, sur les diviseurs d`un nombre

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
L EBESGUE
Démonstration d’une formule d’Euler,
sur les diviseurs d’un nombre
Nouvelles annales de mathématiques 1re série, tome 12
(1853), p. 232-235
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DÉMONSTRATION DUNE FORMULE D'EULER, SUR LES DIVISEURS
D'UN NOMBRE;
PAR M. LEBESGUE.
\ . Posons
[(' - *) (i - * 2 ) (i - * 3 ) • • • (i - *r') • • •]'"
= Ao + A,.r+A 2 .r 2 -4- . . . ;
on reconnaît de suite que pour m entier positif, A, est
toujours entier, et comme
il en sera de même pour le cas de m entier négatif.
2. Prenons les logarithmes des deux membres, puis les
dérivées, ensuite multiplions par x, divisons par m et
changeons les signes-, il viendra
3.r3
I
X
~~
1
X2
-
' (A
nrxn
X1
I
I
2A r > + 3 A x»
I +
2
A 0 -h A,a:-}-A 2 ^ + . . .
3. A cause de
n xa
X"
,
.
)
en réduisant le premier membre de l'équation de l'article 2 à la forme entière, on a
171
en représentant paï» Jn la somme des diviseurs du nombre entier n,
4. Chassant le dénominateur et passant tous les termes
dans le premier membre ? on trouve
3A
4- . . . = o.
Il faut donc poser généralement
Ao ƒ n -h A, ƒ ( n — i ) -+- A2 ƒ ( « — i )
posant m= i, on a ia formule d'Euler, et il l'obtient
précisément de même.
5. Euler a trouvé, par induction, les coefficients du
développement de
;
(l-*)(l-*»)(l--*0...,
par une règle qui revient à ceci :
J°. Le coefficient est nul quand l'exposant n'est pas de
la forme
et chaque terme est de la forme (— i )" x 2 -,
2°. Il faut prendre successivement les deux signes -, on
n'a jamais
2
2
d'où résulterait
3 ( « - » ) = i;
*
ce qui est impossible , n et v étant entiers.
Ce qui rend sa formule d'une application facile, c'est
que les coefficients ont pour valeurs o, i, — i>
6. Comme
ƒ, = ,, / 2 = 3, / 3 = 4, / 4 = 7 , ƒ5 = 6, etc.,
on trouve sans difficulté, au moyen des équations suivantes (Ao = i) :
A,
r
h A ~ o,
J
m
2A
h A,/l +/2==O,
m
J
^
^ 1 4- A3 ƒ i -4- A2 ƒ 2 + A, ƒ3 + ƒ 4 = o,
^h.
+
A4/i + A3 ƒ2 H- A, ƒ 3 + A, ƒ< + ƒ 5 = o ,
m
etc.
A
/;/
i
m.h
*—3
— m ( /?? -— i
m (m — i) (m — 3) (m — 14)
A4 — ——' '
i . ?.
i .2
^ »
1.2.3.4
i('»-8).
.3
\
A,t,
Il serait curieux de trouver la loi ; il est probable que la
recherche est épineuse.
7. Il est à croire que différentes formules des Fundainenta de Jacobi conduisent à des relations analogues
entre les quantités ƒ i, ƒ 2, ƒ 3 , . . . . (Voyez tome IX,
pages 73 et 4io-)