Algèbre Polynômes

Novembre 2015
Kloeckner
M1 Meef mathématiques Upec
Algèbre Polynômes
On se place sur le corps K = R ou C et on note K[X] l'anneau des
polynômes à coecient dans K. Dans toute la suite, on considère P, Q ∈
K[X].
Problème 1
Degré, racines, dérivées
1. Rappelez la dénition d'un polynôme et de sa fonction polynomiale
associée.
2. Rappeler les dénitions du degré de P , noté deg P , et de son coecient
dominant. Que veut dire la phrase P est unitaire ?
(a) Que peut-on dire du degré de P + Q ? de P Q ?
(b) Rappeler la dénition du polynôme P (Q(X)). Que peut-on dire
de son degré ?
3. Rappeler ce que signie P divise Q . Quand c'est le cas, que peut-on
dire des degrés de P et de Q ?
4. Rappeler ce qu'est la division euclidienne de P par Q.
5. Rappeler ce qu'on appelle une racine de P .
(a) Donnez une caractérisation des racines en terme de divisibilité.
Qu'appelle-t-on la multiplicité d'une racine de P ?
(b) montrez qu'un polynôme ne peut pas avoir plus de racines que son
degré. Peut-il en avoir moins ?
(c) Montrez que si P et Q dénissent la même fonction polynomiale,
alors P = Q.
(d) Montrez que pour toute paire de k -uplets (x1 , . . . , xk ), (y1 , . . . yk ) ∈
Kk où les xj sont deux à deux distincts, il existe un unique polynôme L de degré k − 1 tel que pour tout j entre 1 et k on ait
L(xj ) = yj .
6. Qu'appelle-t-on un polynôme scindé ? Retrouvez les relations entre les
coecients d'un polynôme scindé et√
ses racines. Trouvez deux nombres
a et b tels que ab = 12 et a + b = 5 2.
7. Rappelez la dénition de la dérivée de P , notée P 0 . Rappelez la dénition de sa dérivée n-ième, notée P (n) , où n ∈ N.
1
(a) Quand K = R, quel lien y a-t-il entre la dérivée des polynômes et
celle des fonctions ?
(b) Donnez les expressions de (P + Q)0 et de (P Q)0 .
(c) Donnez les expressions de (P + Q)(n) et de (P Q)(n) .
(d) Rappelez le lien entre les coecients de P et l'évaluation en 0 de
ses dérivées.
(e) Rappeler comment la multiplicité d'une racine de P s'obtient à
partir des dérivées successives de P .
Problème 2
Arithmétique avec les polynômes
1. En supposant que P et Q ne sont pas tous les deux nuls, donner la
dénition des PGCD et PPCM de P et Q.
2. Calculer PGCD(X 3 − 1, X 3 − 3X 2 + 3X − 1) à l'aide de l'algorithme
d'Euclide.
3. Donnez la dénition d'un polynôme irréductible.
(a) Donnez les décompositions de X 3 − 1 puis de X 3 − 3X 2 + 3X − 1
en facteurs irréductibles dans C[X] puis dans R[X].
(b) Décrivez tous les polynômes irréductibles de C[X], puis de R[X].
4. Rappelez ce qu'on appelle des polynômes premiers entre eux et énoncez le théorème de Bézout pour les polynômes. Donnez un exemple
de deux polynômes premiers entre eux, puis un exemple de deux polynômes qui ne le sont pas.
5. Énoncez et démontrez (en acceptant le théorème de Bézout) le lemme
de Gauss pour les polynômes.
6. Traitez l'analogue polynomial de la question 4 du problème 2 de la
feuille 2.
Problème 3
Idéaux de
K[X]
Rappelez ce qu'est un idéal dans un anneau. Donnez trois exemples d'idéaux
de R[X]. Décrivez tous les idéaux de K[X].
2