Examen d`analyse 1 - Ceremade - Université Paris

Université Paris-Dauphine, DEMI2E
Analyse 1 (2015-2016)
Examen d’analyse 1 - Mercredi 20 Janvier 2016.
Durée : 2h00.
Les documents, calculatrices, téléphones et ordinateurs portables sont interdits.
La qualité de la rédaction sera prise en compte dans la notation.
Le barème est donné à titre indicatif.
Exercice 1. (3 pts)
(Question de cours) Énoncer et prouver le théorème de Rolle.
Exercice 2. (8 pts)
Soit (un )n 1 une suite positive vérifiant
un+m
8(n, m) 2 (N \ {0})2 .
un + um ,
On fixe N 1.
Les 3 premières questions sont indépendantes.
1. Montrer que (un )n
1
est croissante.
2. Montrer que pour tout k
1, ukN
kuN .
3. On note E la fonction partie entière.
(a) Montrer que pour tout n
(b) Montrer que la suite
0, n
N
n
n E( N ) n 1
n
E( N
)N .
tend vers 1.
4. Déduire des questions précédentes qu’à partir d’un certain rang
On suppose désormais que l’ensemble { unn , n
un
n
uN
2N .
1} n’est pas majoré.
( unn )n 1
5. Prouver que
tend vers +1. Indication : on pourra s’appuyer directement
sur la définition de la limite.
Exercice 3. (9 pts)
Soit f une fonction de classe C 1 sur ]0, +1[. On suppose que f admet une limite l 2 R en
0+ et que f 0 admet une limite l0 2 R en 0+ .
1. Exemple : montrer que la fonction u définie par
8x 2]0, +1[,
u(x) = x2 sin(ln(x))
vérifie les mêmes hypothèse que f : elle est de classe C 1 sur ]0, +1[ et, u et u0
admettent des limites réelles en 0+ (que l’on déterminera).
2. (Question de cours) Rappeler la définition du prolongement par continuité de f en
0. On le notera f˜ par la suite.
3. Montrer que f˜ est en fait un prolongement C 1 de f sur [0, +1[. Indication : on
pourra utiliser le théorème des accroissements finis pour étudier la dérivabilité en
0+ .
Soit g une fonction de classe C 1 sur ]0, +1[. On suppose seulement que g 0 admet pour
limite l0 en 0+ (on ne suppose rien sur la convergence de g en 0).
4. Il est possible de continuer l’exercice en admettant le résultat de cette question.
Montrer qu’il existe ⌘ > 0 tel que pour tout x 2]0, ⌘[,
g(⌘)
⌘
g(x)
x
l0  1.
En déduire que l’ensemble {g(x), x 2]0, ⌘[} est borné.
5. Soit N 2 N tel que 1/N < ⌘. Montrer que (g( n1 ))n N admet une sous-suite convergente.
1
Par la suite, on notera l’extraction correspondante et l la limite de (g( (n)
))n N .
6. (a) Soit (xn )n 1 une suite à valeurs dans ]0, +1[ convergeant vers 0. Montrer que
1
(|g(xn ) g( (n)
)|)n 1 converge vers 0.
(b) En déduire que g converge vers l en 0.
7. Montrer que g admet un prolongement C 1 sur [0, +1[.
Université Paris-Dauphine, DEMI2E
Analyse 1 (2015-2016)
Corrigé de l’examen d’analyse 1 - Mercredi 20 Janvier 2016.
Exercice 2.
1. Soit n 1. On a un+1
suite u est croissante.
un + u1 . Or u1
0 donc un+1
un . On en déduit que la
2. Nous allons prouver par récurrence que pour tout k 1, ukN kuN .
Pour k = 1, l’hypothèse de récurrence est vraie.
Soit k
1. On suppose que ukN
kuN . On a u(k+1)N
ukN + uN . De plus,
d’après l’hypothèse au rang k, ukN
kuN . On en déduit u(k+1)N
kuN + uN et
donc u(k+1)N (k + 1)uN
n
3. (a) Soit n 0. D’après la définition de la partie entière E( N
)
n
n E( N )N .
n
N
et donc
n
n
(b) Soit n
0. D’après la définition de la partie entière N
1 < E( N
) et donc
N
N
n
N
1
<
E(
).
En
utilisant
la
question
précédente,
on
obtient
1
n
n
N
n <
N
n
N
n
E(
)

1.
D’après
le
théorème
d’encadrement,
on
en
déduit
que
E(
)
n
N
n
N n 1
tend vers 1.
4. On pose ✏ = 1/2. D’après la définition de la convergence, il existe un rang M tel
n
que pour tout n
M, |N
1| < 1/2. En particulier, pour tout n
M,
n E( N )
N
n
n E( N ) > 1/2.
n
Soit n
M . D’après la question 3, n
E( N
)N et donc d’après la question 1,
n
n
n
un uE( N )N . D’après la question 2, uE( N )N E( N
)uN . On obtient finalement
un
n
N
n uN
E( )
n
N N
1 uN
,
2 N
où la dernière inégalité vient de la définition de M et du fait que n
{ unn ,
M.
5. Soit A > 0. Comme
n
1} n’est pas majoré, il existe N tel que
D’après la question 4, il existe un rang M tel que pour tout n M , unn
On en déduit que ( unn )n 1 tend vers +1.
uN
N
uN
2N
2A.
A.
Exercice 3.
1. La fonction ln est C 1 sur ]0, +1[. La fonction sin et la fonction carré sont C 1 sur
R. On en déduit par composition et produit de fonctions que u est C 1 (et même
C 1 ) sur son domaine ]0, +1[.
Pour tout x 2 R, | sin(x)|  1. On en déduit que pour tout x 2]0, +1[, |u(x)|  x2
et donc limx!0+ u(x) = 0.
Pour tout x 2]0, +1[, u0 (x) = 2x sin(ln(x)) + x cos(ln(x)). En utilisant que sin et
cos sont bornés par 1, on obtient que pour tout x 2]0, +1[, |u0 (x)|  3x. On en
déduit que limx!0+ u0 (x) = 0.
2. On définit le prolongement par continuité f˜ de f par
f˜ : R+ ! (
x
7!
f (x)
l
R
si x > 0
si x = 0
3. La fonction f˜ est C 1 sur ]0, +1[ (de dérivée f 0 ) et continue sur [0, +1[. Il reste
donc uniquement à montrer que f˜ est dérivable en 0+ et que f˜0 converge vers f˜0 (0)
en 0+ (i.e. f˜0 est continue en 0).
Soit x > 0. La fonction f˜ est continue sur [0, x] et dérivable sur ]0, x[ de dérivée f 0 ;
on en déduit, d’après le théorème des accroissements finis qu’il existe cx 2]0, x[ tel
˜
˜
que f (x) f (0) = f˜0 (cx ). Comme f 0 admet pour limite l0 en 0+ , et que limx!0+ cx = 0,
x 0
˜
on en déduit, par composition de limites, que limx!0+ f (x)x
est donc dérivable en 0+ et f˜0 (0) = l0 = limx!0+ f˜0 (x).
f˜(0)
0
= l0 . La fonction f˜
4. On pose ✏ = 1. D’après la définition de la limite, il existe ⌘ > 0 tel que
8y 2]0, ⌘[, |g 0 (y)
l0 | < 1.
Soit 0 < x < ⌘. La fonction g est C 1 sur [x, ⌘] donc d’après le théorème des
accroissements finis, il existe cx 2]x, ⌘[ tel que g(⌘)⌘ g(x)
= g 0 (cx ). On en déduit que
x
g(⌘) g(x)
⌘ x
l0  1.
Soit x 2]0, ⌘[. On a donc g(⌘)+( 1+l0 )(⌘ x)  g(x)  g(⌘)+(1+l0 )(⌘ x). On en
déduit que |g(x)| est inférieur au maximum entre |g(⌘)|+|1+l0 |⌘ et |g(⌘)|+| 1+l0 |⌘.
Cette borne étant indépendante de x, l’ensemble {g(x), x 2]0, ⌘[} est borné.
5. Soit N 2 N tel que 1/N < ⌘. D’après la question précédente la suite (g( n1 ))n N est
bornée. D’après le théorème de Bolzano Weierstrass, elle admet donc une sous-suite
convergente. Par la suite, on notera l’extraction correspondante et l la limite de
1
(g( (n)
))n N .
6. (a) Comme g 0 est continue sur le segment [0, ⌘] elle est, d’après le théorème de
bornes, bornée sur [0, ⌘]. On note K une de ses bornes. D’après l’inégalité des
accroissements finis, pour tout (u, v) 2]0, ⌘[2 , |g(u) g(v)|  K|u v|.
Soit (xn )n 1 une suite à valeurs dans ]0, +1[ convergeant vers 0. D’après la
définition de la convergence (xn )n 1 est à valeur dans ]0, ⌘[ à partir d’un certain
rang. On a donc à partir de ce rang
|g(xn )
1
Comme (|xn
(n) |)n
converge vers 0.
1
g(
1
)|  K|xn
(n)
1
|.
(n)
converge vers 0, on en déduit que (|g(xn )
g(
1
(n) )|)n 1
1
1
(b) Comme(g( (n)
))n 1 converge vers l et (|g(xn ) g( (n)
)|)n 1 converge vers 0, la
suite (g(xn ))n 1 converge vers l. On en déduit que pour toute suite (xn )n 1 à
valeur dans ]0, +1[ et convergeant vers 0, la suite (g(xn ))n 1 converge vers l.
Par caractérisation séquentielle, on obtient que que g converge vers l en 0.
7. La fonction g vérifie donc les mêmes hypothèses que la fonction f étudiée au début
de l’exercice en question 2 et 3 : elle est C 1 sur ]0, +1[ et, g et g 0 admettent une limite réelle en 0+ . On en déduit, d’après la question 3, que g admet un prolongement
C 1 à [0, +1[.