Logique Propositionnelle

Syntaxe
Sémantique
Propriétés de la logique propositionnelle
Logique Propositionnelle
Automates et Logiques
Cédric Lhoussaine
University of Lille, France
Janvier 2012
Déduction naturelle
Syntaxe
Sémantique
Propriétés de la logique propositionnelle
1
Syntaxe
2
Sémantique
3
Propriétés de la logique propositionnelle
4
Déduction naturelle
Le système {∧, ⇒, ⊥}
Le système {∧, ∨, ⇒, ⇔, ¬, ⊥}
Déduction naturelle
Syntaxe
Sémantique
Propriétés de la logique propositionnelle
Déduction naturelle
Formules logiques
P = {p, q, r , . . .} un ensemble de variables propositionnelles.
⊥, ¬, ∧, ∨, ⇒ et ⇔ sont appelés connecteurs logiques.
L’ensemble des formules propositionnelles F 0 = {ϕ, ψ, . . .}
est le plus petit ensemble qui contient les variables
propositionnelles et le connecteur ⊥ (“absurde”) et, si ϕ ∈ F 0
et ψ ∈ F 0 alors les termes suivants sont aussi des formules
propositionnelles:
conjonction de ϕ et ψ:
disjonction de ϕ et ψ:
ϕ implique ψ:
ϕ équivalent à ψ:
négation de ϕ:
parenthésages:
ϕ∧ψ
ϕ∨ψ
ϕ⇒ψ
ϕ⇔ψ
¬ϕ
(ϕ)
Les formules p et ⊥ sont appelées formules atomiques.
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Propriétés de la logique propositionnelle
Déduction naturelle
Formules logiques
L’ordre de priorité des connecteurs est le suivant:
¬ > {∧, ∨} > {⇒, ⇔}. Les connecteurs binaires sont
associatifs à gauche.
Étant donnée la nature récursive de la définition des formules,
leurs propriétés seront démontrées par induction.
Théorème
(Principe d’induction) Soit A une propriété des formules, si
A(p), pour tout p ∈ P, et A(⊥);
A(ϕ) et A(ψ) impliquent A(ϕ ∧ ψ), A(ϕ ∨ ψ), A(ϕ ⇒ ψ) et
A(ϕ ⇔ ψ);
A(ϕ) implique A(¬ϕ) et (ϕ),
alors A(ϕ) pour toute formule ϕ ∈ F 0 .
Syntaxe
Sémantique
Propriétés de la logique propositionnelle
Valuation de variable propositionnelle
La valeur de vérité des variables propositionnelles est
déterminée par une valuation, i.e. une application v des
variables propositionnelles dans les valeurs de vérité:
v : P → {0, 1}
Déduction naturelle
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Propriétés de la logique propositionnelle
Déduction naturelle
Valuation de formule propositionnelle
Toute valuation v se prolonge, de façon unique, en une
valuation J·Kv sur les formules propositionnelles:
J·Kv : F 0 → {0, 1}
Elle est définie récursivement sur la structure des formules:
JpKv
J⊥Kv
J(ϕ ∧ ψ)Kv
J(ϕ ∨ ψ)Kv
J(¬ϕ)Kv
J(ϕ ⇔ ψ)Kv
J(ϕ ⇒ ψ)Kv
=
=
=
=
=
=
=
v (p)
0
min(JϕKv , JψKv )
max(JϕKv , JψKv )
1 − JϕKv
1 ssi JϕKv = JψKv
0 ssi JϕKv = 1 et JψKv = 0
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Propriétés de la logique propositionnelle
Tables de vérité
La table de vérité d’une formule ϕ énumère toutes ses
valuations possibles.
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
¬p
1
1
0
0
p∨q
0
1
1
1
p∧q
0
0
0
1
p⇒q
1
1
0
1
p⇔q
1
0
0
1
Déduction naturelle
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Propriétés de la logique propositionnelle
Déduction naturelle
Satisfaisabilité
On dit qu’une valuation v satisfait une formule ϕ ssi JϕKv = 1.
On dit que ϕ est satisfaisable s’il existe une valuation qui la
satisfait.
Une formule ϕ est une tautologie, dénoté |= ϕ, ssi JϕKν = 1
pour toute valuation ν.
Soit Γ un ensemble de formules, ϕ est conséquence
sémantique de Γ, dénoté Γ |= ϕ, si ϕ est satisfaite par toute
valuation qui satisfait toute les formule de Γ.
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Propriétés de la logique propositionnelle
Déduction naturelle
Équivalence sémantique
Deux formules ϕ et ψ sont sémantiquement équivalentes (ou
simplement équivalentes), dénoté ϕ ≡ ψ, ssi JϕKv = JψKv pour
toute valuation v . Autrement dit, ϕ ≡ ψ ssi |= ϕ ⇔ ψ.
Proposition
La relation ≡ est une relation d’équivalence, i.e.
ϕ ≡ ϕ (réflexivité)
si ϕ ≡ ψ alors ψ ≡ ϕ (symétrie)
si ϕ ≡ ψ et ψ ≡ θ alors ϕ ≡ θ (transitivité)
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Déduction naturelle
Propriétés algébriques
Théorème
commutativité: ϕ ∨ ψ ≡ ψ ∨ ϕ
ϕ∧ψ ≡ψ∧ϕ
ϕ⇔ψ≡ψ⇔ϕ
associativité: ϕ ∨ (ψ ∨ θ) ≡ (ϕ ∨ ψ) ∨ θ
ϕ ∧ (ψ ∧ θ) ≡ (ϕ ∧ ψ) ∧ θ
ϕ ⇔ (ψ ⇔ θ) ≡ (ϕ ⇔ ψ) ⇔ θ
distributivité: ϕ ∧ (ψ ∨ θ) ≡ (ϕ ∧ ψ) ∨ (ϕ ∧ θ)
ϕ ∨ (ψ ∧ θ) ≡ (ϕ ∨ ψ) ∧ (ϕ ∨ θ)
idempotence: ϕ ∨ ϕ ≡ ϕ
ϕ∧ϕ≡ϕ
neutralité et absorbtion de ⊥: ϕ ∨ ⊥≡ ϕ
lois de De Morgan: ¬(ϕ ∨ ψ) ≡ ¬ϕ ∧ ¬ψ
ϕ ∧ ⊥≡⊥
¬(ϕ ∧ ψ) ≡ ¬ϕ ∨ ¬ψ
double négation: ¬¬ϕ ≡ ϕ
propriétés de ⇒: (ϕ ⇒ ψ) ≡ (¬ϕ ∨ ψ)
(ϕ ⇒ ψ) ≡ (¬ψ ⇒ ¬ϕ)
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Déduction naturelle
Système complet de connecteurs
Un système complet de connecteurs C est un ensemble de
connecteurs logiques tel que toute formule propositionnelle est
équivalente à une formule n’utilisant que les connecteurs de C.
Théorème
Les ensembles de connecteurs {∨, ¬}, {⇒, ¬}, {∧, ¬} et
{⇒, ⊥} sont des systèmes complets.
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Déduction naturelle
Formes normales conjonctives et disjonctives
Une formule sous forme normale disjonctive (FND) est une
“disjonction de conjonctions” de la forme
(ϕ1,1 ∧ . . . ∧ ϕ1,n1 ) ∨ . . . ∨ (ϕk ,1 ∧ . . . ∧ ϕk ,nk )
où chaque formule ϕi,j est un littéral, c’est-à-dire une variable
propositionnelle ou une négation de variable propositionnelle.
Une formule sous forme normale conjonctive (FNC) est une
“conjonction de disjonctions” de la forme
(ϕ1,1 ∨ . . . ∨ ϕ1,n1 ) ∧ . . . ∧ (ϕk ,1 ∨ . . . ∨ ϕk ,nk )
où chaque formule ϕi,j est un littéral.
Théorème
Toute formule propositionnelle est équivalente à une FND et à
une FNC.
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Déduction naturelle
Le système {∧, ⇒, ⊥}
Des connecteurs au raisonnement
La déduction naturelle offre un point de vue sur la logique
propositionnelle qui s’appuie sur le raisonnement plutôt que
sur la “vérité” des formules; elle formalise ainsi la notion de
démonstration. La déduction naturelle consiste en un ensemble
de règles (ou étapes atomiques) permettant d’inférer une
conclusion à partir de prémisses (ou hypothèses). Ces règles
(élaborées par Gentzen) donnent une signification intuitive aux
connecteurs logiques.
Les règles d’inférence sont de la forme suivantes:
P1
···
P2
Pn
C
où les Pi sont les formules prémisses et C la formule
conclusion, et peut se lire ainsi: sous les hypothèses P1 , . . . ,
Pn on peut déduire C.
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Déduction naturelle
Le système {∧, ⇒, ⊥}
Le système {∧, ⇒, ⊥}
Dans un premier temps, on ne considère que les formules du
système (complet) {∧, ⇒, ⊥}.
(On utilisera néanmoins la notation ¬ϕ comme abbréviation de
la formule ϕ ⇒⊥.)
À chaque connecteur ∧ et ⇒ est associé une (ou deux) règle
d’élimination (du connecteur) et une (ou deux) règle
d’introduction (du connecteur).
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Le système {∧, ⇒, ⊥}
Conjonction
ϕ
ψ
(∧I)
ϕ∧ψ
ϕ∧ψ
(∧E)
ϕ
ϕ∧ψ
(∧E)
ψ
Déduction naturelle
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Déduction naturelle
Le système {∧, ⇒, ⊥}
L’implication
[ϕ]
..
.
ψ
(⇒ I)
ϕ⇒ψ
ϕ
ϕ⇒ψ
(⇒ E)
ψ
les points de suspension représentent l’existence d’une
dérivation ayant ϕ pour hypothèse et ψ pour conclusion;
l’hypothèse entre crochets [ϕ] signifie que ϕ est supprimée
(déchargée) de la dérivation lorsqu’on applique la règle.
Plusieurs occurrences de ϕ peuvent être déchargée par
une seule application de règle.
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Propriétés de la logique propositionnelle
Déduction naturelle
Le système {∧, ⇒, ⊥}
L’implication
[ϕ]
..
.
ψ
(⇒ I)
ϕ⇒ψ
ϕ
ϕ⇒ψ
(⇒ E)
ψ
les points de suspension représentent l’existence d’une
dérivation ayant ϕ pour hypothèse et ψ pour conclusion;
l’hypothèse entre crochets [ϕ] signifie que ϕ est supprimée
(déchargée) de la dérivation lorsqu’on applique la règle.
Plusieurs occurrences de ϕ peuvent être déchargée par
une seule application de règle.
Syntaxe
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Propriétés de la logique propositionnelle
Déduction naturelle
Le système {∧, ⇒, ⊥}
L’implication
[ϕ]
..
.
ψ
(⇒ I)
ϕ⇒ψ
ϕ
ϕ⇒ψ
(⇒ E)
ψ
les points de suspension représentent l’existence d’une
dérivation ayant ϕ pour hypothèse et ψ pour conclusion;
l’hypothèse entre crochets [ϕ] signifie que ϕ est supprimée
(déchargée) de la dérivation lorsqu’on applique la règle.
Plusieurs occurrences de ϕ peuvent être déchargée par
une seule application de règle.
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Le système {∧, ⇒, ⊥}
L’absurdité
⊥ (⊥)
ϕ
[¬ϕ]
..
.
⊥ (RAA)
ϕ
Déduction naturelle
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Déduction naturelle
Le système {∧, ⇒, ⊥}
Dérivations
L’ensemble des dérivations est le plus petit ensemble X
satisfaisant les propositions suivantes:
l’arbre singleton ϕ appartient à X pour tout ϕ ∈ F 0 .
si
si
D1 , D2 ∈ X
ϕ1 ϕ2
D
∈X
ϕ∧ψ
alors
alors
D1
D2
ϕ1
ϕ2 ∈ X
ϕ1 ∧ ϕ2
D
ϕ∧ψ ∈X
ϕ
et
D
ϕ∧ψ ∈X
ψ
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Déduction naturelle
Le système {∧, ⇒, ⊥}
Dérivations
ϕ
si D ∈ X
ψ
alors
[ϕ]
D
∈X
ψ
ϕ⇒ψ
D2
si D1 ,
∈X
ϕ1 ϕ1 ⇒ ϕ2
alors
D1
ϕ1
D2
ϕ1 ⇒ ϕ2 ∈ X
ϕ2
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Propriétés de la logique propositionnelle
Le système {∧, ⇒, ⊥}
Dérivations
si
D
∈X
⊥
¬ϕ
si D ∈ X
⊥
alors
alors
D
⊥ ∈X
ϕ
[¬ϕ]
D ∈X
⊥
ϕ
Déduction naturelle
Syntaxe
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Propriétés de la logique propositionnelle
Déduction naturelle
Le système {∧, ⇒, ⊥}
Dérivations
La formule à la racine d’une dérivation est appelée
conclusion et les formules non déchargées aux feuilles
d’une dérivation sont appelées hypothèses;
On note Γ ` ϕ, où Γ est un ensemble de formules,
l’existence d’une dérivation de conclusion ϕ et dont toutes
les hypthèses sont dans Γ.
Syntaxe
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Propriétés de la logique propositionnelle
Déduction naturelle
Le système {∧, ⇒, ⊥}
Dérivations
La formule à la racine d’une dérivation est appelée
conclusion et les formules non déchargées aux feuilles
d’une dérivation sont appelées hypothèses;
On note Γ ` ϕ, où Γ est un ensemble de formules,
l’existence d’une dérivation de conclusion ϕ et dont toutes
les hypthèses sont dans Γ.
Syntaxe
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Propriétés de la logique propositionnelle
Le système {∧, ⇒, ⊥}
Propriétés
Lemme
On a les proprétés suivantes:
1
si ϕ ∈ Γ alors Γ ` ϕ;
2
si Γ ` ϕ et Γ ` ψ alors Γ ∪ Γ0 ` ϕ ∧ ψ;
3
si Γ ` ϕ ∧ ψ alors Γ ` ϕ and Γ ` ψ;
4
si Γ ∪ ϕ ` ψ alors Γ ` ϕ ⇒ ψ;
5
si Γ ` ϕ et Γ0 ` ϕ ⇒ ψ alors Γ ∪ Γ0 ` ψ;
6
si Γ `⊥ alors Γ ` ϕ;
7
si Γ ∪ {¬ϕ} `⊥ alors Γ ` ϕ.
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Propriétés de la logique propositionnelle
Le système {∧, ⇒, ⊥}
Propriétés
Lemme
On a les proprétés suivantes:
1
si ϕ ∈ Γ alors Γ ` ϕ;
2
si Γ ` ϕ et Γ ` ψ alors Γ ∪ Γ0 ` ϕ ∧ ψ;
3
si Γ ` ϕ ∧ ψ alors Γ ` ϕ and Γ ` ψ;
4
si Γ ∪ ϕ ` ψ alors Γ ` ϕ ⇒ ψ;
5
si Γ ` ϕ et Γ0 ` ϕ ⇒ ψ alors Γ ∪ Γ0 ` ψ;
6
si Γ `⊥ alors Γ ` ϕ;
7
si Γ ∪ {¬ϕ} `⊥ alors Γ ` ϕ.
Déduction naturelle
Syntaxe
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Propriétés de la logique propositionnelle
Le système {∧, ⇒, ⊥}
Propriétés
Lemme
On a les proprétés suivantes:
1
si ϕ ∈ Γ alors Γ ` ϕ;
2
si Γ ` ϕ et Γ ` ψ alors Γ ∪ Γ0 ` ϕ ∧ ψ;
3
si Γ ` ϕ ∧ ψ alors Γ ` ϕ and Γ ` ψ;
4
si Γ ∪ ϕ ` ψ alors Γ ` ϕ ⇒ ψ;
5
si Γ ` ϕ et Γ0 ` ϕ ⇒ ψ alors Γ ∪ Γ0 ` ψ;
6
si Γ `⊥ alors Γ ` ϕ;
7
si Γ ∪ {¬ϕ} `⊥ alors Γ ` ϕ.
Déduction naturelle
Syntaxe
Sémantique
Propriétés de la logique propositionnelle
Le système {∧, ⇒, ⊥}
Propriétés
Lemme
On a les proprétés suivantes:
1
si ϕ ∈ Γ alors Γ ` ϕ;
2
si Γ ` ϕ et Γ ` ψ alors Γ ∪ Γ0 ` ϕ ∧ ψ;
3
si Γ ` ϕ ∧ ψ alors Γ ` ϕ and Γ ` ψ;
4
si Γ ∪ ϕ ` ψ alors Γ ` ϕ ⇒ ψ;
5
si Γ ` ϕ et Γ0 ` ϕ ⇒ ψ alors Γ ∪ Γ0 ` ψ;
6
si Γ `⊥ alors Γ ` ϕ;
7
si Γ ∪ {¬ϕ} `⊥ alors Γ ` ϕ.
Déduction naturelle
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Le système {∧, ⇒, ⊥}
Propriétés
Lemme
On a les proprétés suivantes:
1
si ϕ ∈ Γ alors Γ ` ϕ;
2
si Γ ` ϕ et Γ ` ψ alors Γ ∪ Γ0 ` ϕ ∧ ψ;
3
si Γ ` ϕ ∧ ψ alors Γ ` ϕ and Γ ` ψ;
4
si Γ ∪ ϕ ` ψ alors Γ ` ϕ ⇒ ψ;
5
si Γ ` ϕ et Γ0 ` ϕ ⇒ ψ alors Γ ∪ Γ0 ` ψ;
6
si Γ `⊥ alors Γ ` ϕ;
7
si Γ ∪ {¬ϕ} `⊥ alors Γ ` ϕ.
Déduction naturelle
Syntaxe
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Le système {∧, ⇒, ⊥}
Propriétés
Lemme
On a les proprétés suivantes:
1
si ϕ ∈ Γ alors Γ ` ϕ;
2
si Γ ` ϕ et Γ ` ψ alors Γ ∪ Γ0 ` ϕ ∧ ψ;
3
si Γ ` ϕ ∧ ψ alors Γ ` ϕ and Γ ` ψ;
4
si Γ ∪ ϕ ` ψ alors Γ ` ϕ ⇒ ψ;
5
si Γ ` ϕ et Γ0 ` ϕ ⇒ ψ alors Γ ∪ Γ0 ` ψ;
6
si Γ `⊥ alors Γ ` ϕ;
7
si Γ ∪ {¬ϕ} `⊥ alors Γ ` ϕ.
Déduction naturelle
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Le système {∧, ⇒, ⊥}
Propriétés
Lemme
On a les proprétés suivantes:
1
si ϕ ∈ Γ alors Γ ` ϕ;
2
si Γ ` ϕ et Γ ` ψ alors Γ ∪ Γ0 ` ϕ ∧ ψ;
3
si Γ ` ϕ ∧ ψ alors Γ ` ϕ and Γ ` ψ;
4
si Γ ∪ ϕ ` ψ alors Γ ` ϕ ⇒ ψ;
5
si Γ ` ϕ et Γ0 ` ϕ ⇒ ψ alors Γ ∪ Γ0 ` ψ;
6
si Γ `⊥ alors Γ ` ϕ;
7
si Γ ∪ {¬ϕ} `⊥ alors Γ ` ϕ.
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Le système {∧, ⇒, ⊥}
Propriétés
Théorème
On a les propriétés suivantes:
1
` ϕ ⇒ (ψ ⇒ ϕ);
2
` ϕ ⇒ (¬ϕ ⇒ ψ);
3
` (ϕ ⇒ ψ) ⇒ (ψ ⇒ θ) ⇒ (ϕ ⇒ θ) ;
4
` (ϕ ⇒ ψ) ⇔ (¬ψ ⇒ ¬ϕ);
5
` ¬¬ϕ ⇔ ϕ;
6
` ϕ ⇒ (ψ ⇒ θ) ⇔ (ϕ ∧ ψ) ⇒ θ;
7
`⊥⇔ (ϕ ∧ ¬ϕ)
Déduction naturelle
Syntaxe
Sémantique
Propriétés de la logique propositionnelle
Le système {∧, ⇒, ⊥}
Propriétés
Théorème
On a les propriétés suivantes:
1
` ϕ ⇒ (ψ ⇒ ϕ);
2
` ϕ ⇒ (¬ϕ ⇒ ψ);
3
` (ϕ ⇒ ψ) ⇒ (ψ ⇒ θ) ⇒ (ϕ ⇒ θ) ;
4
` (ϕ ⇒ ψ) ⇔ (¬ψ ⇒ ¬ϕ);
5
` ¬¬ϕ ⇔ ϕ;
6
` ϕ ⇒ (ψ ⇒ θ) ⇔ (ϕ ∧ ψ) ⇒ θ;
7
`⊥⇔ (ϕ ∧ ¬ϕ)
Déduction naturelle
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Le système {∧, ⇒, ⊥}
Propriétés
Théorème
On a les propriétés suivantes:
1
` ϕ ⇒ (ψ ⇒ ϕ);
2
` ϕ ⇒ (¬ϕ ⇒ ψ);
3
` (ϕ ⇒ ψ) ⇒ (ψ ⇒ θ) ⇒ (ϕ ⇒ θ) ;
4
` (ϕ ⇒ ψ) ⇔ (¬ψ ⇒ ¬ϕ);
5
` ¬¬ϕ ⇔ ϕ;
6
` ϕ ⇒ (ψ ⇒ θ) ⇔ (ϕ ∧ ψ) ⇒ θ;
7
`⊥⇔ (ϕ ∧ ¬ϕ)
Déduction naturelle
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Le système {∧, ⇒, ⊥}
Propriétés
Théorème
On a les propriétés suivantes:
1
` ϕ ⇒ (ψ ⇒ ϕ);
2
` ϕ ⇒ (¬ϕ ⇒ ψ);
3
` (ϕ ⇒ ψ) ⇒ (ψ ⇒ θ) ⇒ (ϕ ⇒ θ) ;
4
` (ϕ ⇒ ψ) ⇔ (¬ψ ⇒ ¬ϕ);
5
` ¬¬ϕ ⇔ ϕ;
6
` ϕ ⇒ (ψ ⇒ θ) ⇔ (ϕ ∧ ψ) ⇒ θ;
7
`⊥⇔ (ϕ ∧ ¬ϕ)
Déduction naturelle
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Sémantique
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Le système {∧, ⇒, ⊥}
Propriétés
Théorème
On a les propriétés suivantes:
1
` ϕ ⇒ (ψ ⇒ ϕ);
2
` ϕ ⇒ (¬ϕ ⇒ ψ);
3
` (ϕ ⇒ ψ) ⇒ (ψ ⇒ θ) ⇒ (ϕ ⇒ θ) ;
4
` (ϕ ⇒ ψ) ⇔ (¬ψ ⇒ ¬ϕ);
5
` ¬¬ϕ ⇔ ϕ;
6
` ϕ ⇒ (ψ ⇒ θ) ⇔ (ϕ ∧ ψ) ⇒ θ;
7
`⊥⇔ (ϕ ∧ ¬ϕ)
Déduction naturelle
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Sémantique
Propriétés de la logique propositionnelle
Le système {∧, ⇒, ⊥}
Propriétés
Théorème
On a les propriétés suivantes:
1
` ϕ ⇒ (ψ ⇒ ϕ);
2
` ϕ ⇒ (¬ϕ ⇒ ψ);
3
` (ϕ ⇒ ψ) ⇒ (ψ ⇒ θ) ⇒ (ϕ ⇒ θ) ;
4
` (ϕ ⇒ ψ) ⇔ (¬ψ ⇒ ¬ϕ);
5
` ¬¬ϕ ⇔ ϕ;
6
` ϕ ⇒ (ψ ⇒ θ) ⇔ (ϕ ∧ ψ) ⇒ θ;
7
`⊥⇔ (ϕ ∧ ¬ϕ)
Déduction naturelle
Syntaxe
Sémantique
Propriétés de la logique propositionnelle
Le système {∧, ⇒, ⊥}
Propriétés
Théorème
On a les propriétés suivantes:
1
` ϕ ⇒ (ψ ⇒ ϕ);
2
` ϕ ⇒ (¬ϕ ⇒ ψ);
3
` (ϕ ⇒ ψ) ⇒ (ψ ⇒ θ) ⇒ (ϕ ⇒ θ) ;
4
` (ϕ ⇒ ψ) ⇔ (¬ψ ⇒ ¬ϕ);
5
` ¬¬ϕ ⇔ ϕ;
6
` ϕ ⇒ (ψ ⇒ θ) ⇔ (ϕ ∧ ψ) ⇒ θ;
7
`⊥⇔ (ϕ ∧ ¬ϕ)
Déduction naturelle
Syntaxe
Sémantique
Le système {∧, ⇒, ⊥}
Correction
Lemme (Correction)
Si Γ ` ϕ alors Γ |= ϕ.
Propriétés de la logique propositionnelle
Déduction naturelle
Syntaxe
Sémantique
Le système {∧, ⇒, ⊥}
Complétude
Théorème (Complétude)
Γ ` ϕ ssi Γ |= ϕ.
Propriétés de la logique propositionnelle
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Propriétés de la logique propositionnelle
Déduction naturelle
Le système {∧, ∨, ⇒, ⇔, ¬, ⊥}
Le système {∧, ∨, ⇒, ⇔, ¬, ⊥}
ϕ
(∨I)
ϕ∨ψ
ψ
(∨I)
ϕ∨ψ
[ϕ]
..
.
⊥ (¬I)
¬ϕ
ϕ∨ψ
¬ϕ
ϕ
⊥
(¬E)
[ϕ]
..
.
θ
θ
[ψ]
..
.
θ
(∨E)
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Le système {∧, ∨, ⇒, ⇔, ¬, ⊥}
Le système {∧, ∨, ⇒, ⇔, ¬, ⊥}
[ϕ]
[ψ]
..
..
.
.
ψ
ϕ
(⇔ I)
ϕ⇔ψ
ϕ
ϕ⇔ψ
(⇔ E)
ψ
ψ
ϕ⇔ψ
(⇔ E)
ϕ
Déduction naturelle
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Déduction naturelle
Le système {∧, ∨, ⇒, ⇔, ¬, ⊥}
Le système {∧, ∨, ⇒, ⇔, ¬, ⊥}
Théorème
On a les propriétés suivantes:
1
` ϕ ∨ ψ ⇔ ¬(¬ϕ ∧ ¬ψ);
2
` ¬ϕ ⇔ (ϕ ⇒⊥);
3
` (ϕ ⇔ ψ) ⇔ (ϕ ⇒ ψ) ∧ (ψ ⇒ ϕ).
La déduction naturelle dans le système {∧, ∨, ⇒, ⇔, ¬, ⊥} reste
complète.