S ÉMINAIRE N. B OURBAKI A. G ROTHENDIECK Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires Séminaire N. Bourbaki, 1951-1954, exp. no 69, p. 193-200 <http://www.numdam.org/item?id=SB_1951-1954__2__193_0> © Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki, 1951-1954, tous droits réservés. L’accès aux archives du séminaire Bourbaki (http://www.bourbaki. ens.fr/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Séminaire BOURBAKI (Décembre 1952) NUCLÉAIRES PRODUITS TENSORIELS TOPOLOGIQUES ET ESPACES par A. GROTHENDIECK Les espaces vectoriels Si E est topologie tel espace, (resp. désigne E faible, E’ désigne le dual fort de E. Si B(E, F) Soit A une A , muni par (resp. E’) l’espace des formes bilinéaires continues des formes bilinéaires l’espace x est partie bornée convexe de la ~x Il cerclé de 0 dans E, Ev cerclée de inf|03BB| . E muni de la sont des espaces F sur continues. EA désigne l’espace engendré E, V désigne l’espace normé qui se = et séparément Soit norme séparés. et convexes Er) E un localement convexes, E topologiques envisagés sont localement un voisinage convexe déduit par passage au quotient de la semi-norme qui correspond à V . 1. Produits tensoriels 1. Définitions et E F topologiques. générales. - (La définition qui suit est due à R. deux espaces de Banach. Il existe sur E ® F une norme SCHATTEN). ~~l Soient et seule telle que pour tout espace de Banach G, les applications bilinéaires continues de E x F dans G correspondent exactement aux applications linéaires une continues de Le complété de à E et E e F de dans avec pour cette E 0 F F ~ noté G~ E e F. conservation des norme sera Le dual de E® normes. appelé produit F On a pour u ~ tensoriel normé s’identifie donc, avec’ 8a complété .norme, l’espace B(E , F) . On peut aussi condidére;r sur E@F la norme induite par l’espace B~E~ ~ F’) des formes bilinéaires continues sur E’ x F’ , norme plus petite donc topologie moins fine ; le complété pour cette norme est noté Toute topologie localement convexe raisonnable sur sera entre les deux topologies précédentes. E0 F comprise E~F. Soient E , F deux espaces localement convexes, il existe sur EOF une topologie localement convexe uniq ue T telle que pour tout espace localement convexe G ~ les applications bilinéaires continues de E x F dans G correspondent exactement aux applications linéaires continues de E 0 F dans G. Alors aux ensembles équicontinue d’applications bilinéaires correspondent les ensembles 193 équicontinus d’applications linéaires. fondamentale de voisinage de 0 dans E (enveloppe ). yE1 cercléede l’ensemble convexe système est une famille (resp. (V.)) J les ensembles 0393 (U. ~ V.) (resp. F), J des x B;J avec x EU. , forment V.) ~y , 1 J (Ui) Si fondamental de voisinage de 0 dans E ~ F . T est appelé le produit tensoriel projectif des topologies données sur E , F , et le complété de E ® F pour T , noté E ® F , est appelé produit tensoriel topologique projectif complété un de E .et F . Le dual de de équicontinues Sur du dual E (~ F , E’ de de la une par est noté E ~F et si et Soient Fredholm de sont fort, (alors les E’ topologie induite séparément faiblement continues par E’ sur complets, un isomorphisme topologique x dans: E ® F..~ (E’ , F’) deux espa.ces localement convexes, on appelle application de dans F une application linéaire définie par un élément d’un E où A est une partie bornée cerclée convexe partie bornée convexe cerclée de F telle que peut même supposer A et B compacts). Si E et une on p arties F FB , B formes bilinéaires. ~ E F n espa,ce aux l’espace ~(ES ~ s , F’) s F’ , muni de la convergence uniforme sur les produits d’une partie équicontinue part3e équicontinue de F’ ("convergence équicontinue"),le complété n . On a une application linéaire continue canonique E F F et E les .~" ~ E l’espace B(E, F) ensembles équicontinus de est donc aussi considérer la des formes bilinéaires topologie F correspondeent peut on E applications de Fredholm de E dans F Ci F . Z®s applications- de Fredholm de E sont celles E dans théorie de Fredholm. Le théorème q ui suit donne une complète soit FB F complet Banachs, les éléments sont des défini,es par forment le E’ de champ de naturel de la représentation concrète de ces opérateurs. 2. Cas particuliers. THÉORÈME lee 1. - Si éléments E on F deE F sont suites bornées dans EF, l1 . et E, F , peut prendre sont du ceux et t,yQe (F) , E QF qui sont de la forme 03A3|03BBi|1 (xi) , (yl) + ao . fixes et Si u (03BBi) est du u = (F) , type et 03A303BBi xi ~ yi (xi) , (yi) parcourt un compact de parcourant un compact de n Q F s’’identifie au dual de B (E , F) pour la topologie de la convergence compacte, ou pour la topologie de la convergence uniforme sur les produits d’un compact de E par un faiblement compact de F ~ ou d’un faiblement compact de E par un compa,ct de F . Par suite, THÉORÈME E 2. -- Soit ............. compact, norme à et soit E h1 ( ) un L1E( ) construit sur une espace de Banach. Alors dés fonctions mesure 1 l~ L1( ) sommables sur un espace localement E iSomorphe est â valeurs dans E J avec sa Généralisation évidente q uand est E espace localement un convexe quelconque. (Théorème de Dunford-Pettis). les espaces L’analogue pour est E Si un 00.) + est faux . E’ espace de Hilbert, les éléments de opérateurs de partiellement E , ou E ~ sont les opérateurs de la forme U H, U isométrique, H hermitien positif complètement continu avec une suite de valeurs propres sommable (opérateurs étudiés par DIXMIER, SCHATTEN). Fredholm dans plus importants portent sur les espaces nucléaires (voir paraexemple, on a ~(V) ® E = ~,(V , E) (théorème des noyaux) (V , graphe 2). E =-~V , E) variété indéfiniment différentiable), (V ~ variété Les exemples les Par ~(V) Q holomorphe), (,c~) ® E = ble Rn sur (,~‘)E ((~) , à décroissance rapide, différentia- espace des fonctions indéfiniment (,~)E espace de telles fonctions à valeurs dans E),etc. d’applicati.ons linéaires. - 3. Profit tensoriel (i calement convexes, dans F.. est un F.@(pour E1 E2 sur si E. © E2 ui dans i = 1 ~ 2) ~ sur un et une E2 alors ul C~ U2 comme de Ei est u2 sur un un sous-espace vectoriel dense de sont du E- type (~) , des espaces lo- continue de application F1@ une El 3 E2 aussi de ou E. , F. application linéaire façon évidente homomorphisme topologique E. suivant). 1 , 2) On définit de continue de ui = Soient Ei linéaire Si dans sous-espace vectoriel dense de de homomorphismedonctopologique homomorphisme F 1 â F2 ’ un qui est souvent utile (voir alinéa général isomorphismes topologiques ce produit tensoriel de deux n’est en E dans F1 F . Pour E 0 E â pas un isomorphisme topologique de E E1 E2z et F1 F2 . El E2 pas un c’est l’inverse : le produit tensoriel de deux isomorphismes est un F1 ® Fz , isomorphisme. le produit tensoriel de deux homomorphismes sur n’est pas un homomorphisme. Cela nous amène à distinguer au paragraphe 2 le cas où E F = E F . Le ° APPLICATIONS. - Une fonction vectorielle indéfiniment porphe, ou E du type Si D sommable est (~) , un différentiel D 0 dans dans t(V) (resp. df(v» (resp. holomorphe), qui isomorphisme topologique, 1 holo- prenant ses valeurs dans un espace quotient d’un espace provient d’une fonction analogue, à valeurs dans E . variété indéfiniment différentiable ou un ou ... opérateur différentiel topologique, différentiable, en un est de même de V est une homomorphisme l’opérateur (resp. ~(V ~ E)) des fonctions (resp. holomorphes) sur V, à valeurs l’espace ~(V , E) vectorielles indéfiniment différentiable il est où dans un espace localement sur, et si Soit f E une (1), type est du convexe type E quelconque ; si D est un homomorphisme D@ 1 est un homomorphisme sur. application d’une partie fermée telle que pout tout E’ , K de V dans x’ > restriction d’une fonction scalaire indéfiniment différentiable définie sur tout V ;3 alors indéfiniment différentiable 2. f espace E un la fonction du soit la (resp. holomorphe) est la restriction d’une fonction vectorielle (resp. holomorphe) définie sur tout V, eto. Espaces nucléaires. 1. Caractérisations des espaces nucléaires. DEFINITION 1. - Un espace localement espace localement à la E E, connexe si la topologie topologie de la de on a convergence topologique) = équicontinue complété son 3. - Les conditions suivantes E’ sur sur E E @ sur F est identique F’ . x l’est. sont équivalentes : est nucléaire. E a. E ~ F E (~ F (isomorphisme produit tensoriel projectif est nucléaire si et seulement si THÉORÈME est dit nucléaire si pour tout E convexe b. La condition de la définition ci-dessus est vérifiée pour tout espace de Banach F. Il suffit même de prendre pour F un seul espace de Banach convenablement choisie par exemple cation B F = t1 , est et il suffit de supposer dans chaque isomorphisme faible. c. Pour toute partie équicontinue convexe cerclée A telle que l’application canonique de E’ dans cas que l’appli- un de E’ , soit Ep en un existe une opérateur autre de Fredholm. application linéaire continue u de E provient d’une application de Fredholm d’un espace d. Toute convexe Sous sont cerclé convenable de 0 dans ces conditions, E ® F compléta, on a aussi dans un _EV , où espace de Banach V est un donc si E G ~ voisinage E . est denee dans ~6 (E’ ~ F’) , et F E ~ F = ~(ES , et d. prennent, quand E est quasi-tonnelé, la forme plus simple : toute plication linéaire continue de B dans un espace de Banach est une application Fredholm. Toute application linéaire continue d’un espace de Banach dans E’ c. est une application de Fredholm. apde COROLLAIRE 1.. - Si partie équicontinue est où B A nucléaire, est E’ de E est E est convexe précompacte. "espace un est relativement partie équicontinue une partie bornée de et même du type En E compacte dans cerclée de Si donc de Schwartz" est E E’), un (i.e, toute espace particulier toute quasi-complet, E eet réflexif, en . particulier, un COROLLAIRE 2. - Si espace de Banach nucléaire est de dimension finie. quelconque, toute forme bilinéaire F provient d’un élément d’un espace El @ FB où A (resp. B) est une partie équicontinue connexe cerclée de E’ (resp. F’). Si EO est nucléaire, F quasi-complet, alors toute application linéaire bornée de E dans F (i.e. transformant un voisinage de 0 en une partie bornée de F) est une application de Fredholm. continue E sur E est nucléaire, E est un F x COROLLAIRE 3. - Si espace du (3t) type tel que toute suite commu- tativement convergente dans E soit absolument convergente, alors E est nucléaire (et réciproquement). En particulier, si E est supposé normable, il est de dimension finie (théorème Je F ne de Dvoratzky-Rogers). connais pas d’exemple de cas où on ait E f, 1 par F = E@ F sans E que ou soit nucléaire. Variante du corollaire 3 (en remplaçant Lp) : Si M est un espace compact muni d’une mesure , toute application de M dans E (espace nucléaire du type (F )) qui est scalairement dans LP, est ~ LpE ; si 1 ~ p + ~ toute application linéaire continue de LP dans E provient d’un élément de l’espace localement Lp’E (1 p + 1 1) . 2. Théorèmes THÉORÈME de.permanence 4. - Soit seulement si son E un et exemples. espace du type (F) . Alors E est nucléaire si et dual fort est nucléaire. D’ailleurs pour tous les espaces nucléaires qu’on rencontre en analyse, les duals forte sont aussi nucléaires. THEOREME Alors, 2. Le F 5. - 1. Soit est E nucléaire, et un si nucléaire, est fermé, espace F F un est sous-espace vectoriel. nucléaire. produit vectoriel topologique d’une famille quelconque d’espaces nucléaires est nucléaire ainsi que la somme directe topologique d’une famille dénombrable d’espaces nucléaires. 3. Si F et E 4. Soit E sont séparé COROLLAIRE 1. - Un espace E E COROLLAIRE 2. - Soit F) Lb(E, alors est Ces résultats en et si par type exemple (F) , un espace type nucléaire,y (’~’’) , (~ ) , (t’) , (C~M) ’ (C~0) et les duals forts de est donc de même de leurs sous-espaces, exemple, l’espace F est aussi du F de voir facilement que les espaces permettent ( ~ ) ’ (~~ ) ’ (~ ) ’ (.~~) ’ nucléaires. Il d’espaces nucléaires topologie est définie est aussi nucléaire. F) des fonctions holomorphes sur une ces derniers sont quotients etc. Par variété holomorphe V est nucléaire. 3. Propriétés de relèvement. PROPOSITION 1. - (resp. F 2) Soient E~ , E~ deux espaces localement convexes, soit El (resp. sous-espace vectoriel de un Alors toute forme bilinéaire continue Fl nucléaire. E2) , supposons FI est la restriction d’une forme sur application linéaire bornée de FI dans G est la restriction d’une application linéaire bornée de un espace quasi-complet El dans G. Soit H un sous-espace vectoriel fermé de G,y supposons que toute partie bornée de G/H soit l’image canonique d’une partie bornée de G ; alors toute application linéaire bornée de Fi dans G/H provient d’une application bilinéaire continue sur linéaire bornée de Ei On ou un El Toute x dans G. énoncé plus général pour un ensemble équicontinu ensemble "équiborné" d’applications linéaires. a un PROPOSITION 2. - Soient ou tous deux des duals 1. Toute E, F deux forts d’espaces partie bornée M cerclée fermée d’un ensemble de - E (resp. identique à la F). topologie de formes bilinéaires’ espaces qui sont tous deux du type du de E (~ F de dual fort de (~ ) , E est contenue dans A @ B , où B(E, F) type A (resp. B) topologie E @ F . la sur 201420142014’~ Donc et est nucléaire. espace nucléaire du un nucléaire, Lb(E, le dual fort de quasi-tonnelé est nucléaire. dont la E convexe E. nucléaires, dans des espaces espace nucléaire un q ui rendent continues des applications linéaires la moins fine de celles de f. F type limite inductive d’une suite est nucléaire. Un espace localement comme est nucléaire. (F) , B(E , F’) de E@F’ espace nucléaire du un alors le dual.fort complet, EQF nucléaires, (~) nucléaire. l’enveloppe convexe une partie bornée est de la convergence bornée est - 2. De façon plus précise, si (x. ) suite bornée dans cations linéaires u = 03A303BBi ait on E~ u .~ yl ( u) suppose H convexe . ) ~ ~"1 ~ et dans de une cerclé, il existe une suite équicontinue d’appli- suite F ~ tel s que pour tout u e- M xi ~ yi(u) . COROLLAIRE. - Si à une on G est un espace de alors Banach, - L(G, E F) est isomorphe E L(G , F) . 4. Compléments sur (E nucléaire). les produits PROPOSITION 3. duals forts Supposons E et d’espaces du type ( ~ ) . s’identifie à PROPOSITION E’ ~ F’ ~ tous deux du (~’c) t,ype tous deux des ou nucléaire. Alors le dual fort E de E ê F . E 4. - Si F est nucléaire, F complet, E$F pour que soit reflexif ou un espace de Schwartz, ou un espace (resp. du type nucléaire, ou uasiil faut et il suffit que F le soit. normable), (Pour la définition des espaces de Schwartz et des espaces quasi-normables voir Grothendieck. Sur les espaces du type (F) et (F) [2]). de E F (avec E nucléaire) est à peu près toujours E © F = E ® F ; (si E , F sont complets) espace des applications de E’ dans F , de F’ dans E . On peut souvent La détermination concrète immédiate, grâce à linéaires continues ou ~ ~ s’aider du LEMME. - Soit fonctions sur E un un espace localement ensemble T, convergence simple, et soit Alor s E0F que pour et que s’identifie à y’ E- F’ , tout f, parcourt une F avec un une convexe nucléaire et complet formé de espace localement l’espace des que la topologie plus fine applications convexe f topologie de la complet quelconque. de T dans f’(t) = f(t) , y’> sur partie bornée de E quand y’ parcourt T la fonction F telle s soit ~ E , une partie équicontinue de F’ . Cette dernière condition est vérifiée d’elleême si E est du type (3~) ou la limite inductive (au sens général) d’une suite d’espaces du type .(~ ) (et dans bien d’autres cas encore, grâce à une utilisation convenable du théorème du graphe fermé). Par (dual au E est l’un des espaces exemple, si fort de (~C )) , ~(V) , lecteur. (~ ) , ((~) , (~) ~ (6M) ’ (C~.) l’interprétation de E ~ F est immédiate! et laissée 5. Propriétés de décroissance rapide. - En composant un nombre suffisant d’opérateurs de Fredholm, i.e. d’opérateurs qui peuvent s’obtenir par des séries comme dans l’énoncé du théorème 1, on obtient un opérateur pour lequel on a une comme dans le théorème représentation 1, mais avec une suite majorée par où n est donné à l’avance. Cela donne, grâce au théorème 3, des précisions sur la structure des parties équicontinues du dual d’un espace nucléaire. On en déduit par exemple que dans la proposition 2, on peut supposer la suite et même à décroissance rapide si E et F sont du type majorée par ~) Oli) (~) . On en conclut aussi le THEOREME 6. dans E .. Alors son Soit E un espace nucléaire est un opérateur u "déterminant de Fredholm" det(1 quasi-complet, de Fredholm + zu) est En particulier, la suite des valeurs propres de u (théorème 3, une u un opérateur borné corollaire 2) et fonction entière d’ordre est à décroissance 0 . rapide. BIBLIOGRAPHIE [1] GROTHENDIECK (Alexandre). - Résumé des résultats essentiels dans la théorie des produits tensoriels topologiques et des espaces nucléaires, Ann. Inst. Fourier, t. 4, 1952, p. 73-112. [2] GROTHENDIECK Math., [3] t. GROTHENDIECK aires. - (Alexandre). 3, 1954, Sur les espaces p. 57-123. (F) et (DF) , Summa Brasil. (Alexandre). - Providence, Soc., n°16). Produits tensoriels topologiques et espaces nucléAmerican Mathematical Society, 1955 (Mem. Amer. math. [Juin 1957] 200