Généralités sur l`algèbre locale

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
P IERRE S AMUEL
Généralités sur l’algèbre locale
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 5-6 (1951-1953), exp. no 1,
p. 1-9
<http://www.numdam.org/item?id=SD_1951-1953__5-6__A1_0>
© Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres
(Secrétariat mathématique, Paris), 1951-1953, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la collection « Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres »
implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php).
Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction
pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
1-01
Faculté des Sciences de Paris
..;..;..;..
Séminaire A.
CHATELET
et P. DUBREIL
ot THEORIE DES NOMBRES)
THEORIE DES IDÉAUX
Anné es 1951-1953
I. GÉNÉRALITÉS SUR L’ ALGÈBRE LOCALE
par Pierre SAMUEL
L’algèbre locale s’ occupe des problèmes du type suivant :
"étude d’une courbe (ou d’une variété) au voisinage d’un point"* Comme chacun
sait, l’outil principal d’une telle étude ost le développement de Taylor. Plus
précisément. on considère les fonctions (rationnelles ou méromorphes) sur la
INTRODUCTION. -
courbe
un
C
qui
anneau ~~1
sont pas infinies
ne
(par exemple
point considéré P ;
au
forment
telles
l’anneau des fractions rationnelles
cet anneau A est
b(0) ~ 0 , s’il s’agit de l’origine sur la droite
un anneau local c’est-à-dire que ses éléments non inversibles (ici les fonctions nulles en P) forment un idéal ~ ~ qui est alors le plus grand des idéaux
que
non
triviaux de
des éléments de
A. D’autre
A
en
part,
on
considère les développements de Taylor
fonction d’un certain nombre de
paramètres
(ti)
entières
(indépendants ou non) ; ceux-ci appartiennent
en les
(t.) qui sont convergentes au voisinage de P ; or il se trouve que
les (t.) forment un système de générateurs de 1 t idéal maximal M de A J donc,
si l’onmunit A de la topologie pour laquelle les idéaux 1~ forment un
tème fondamental de voisinages de 0 ~ et ::y’ de la topologie analogie définie
l’anneau A est partout dense dans
par les idéaux
L’avantage
de A’ sur A est que diverses opérations. qui feraient sortir de A , ne
à l’anneau
il’ .
font pas sortir de
A’
des séries
.
C ~ qui n’étaient
par exemple,
algébrique plane,
A’ possède des diviseurs
D’autre part diverses particularités du voisinage de P sur
le deviennent dans l’ anneau
pas visibles dans l’anneau
lorsque
P
l’anneau A
de zéro
nulles
est
est
un
point double
un anneau
ordinaire d’une courbe
d’intégrité,
(les fonctions holomorphes
sur l’autre)*
Dans tout ceci la
convergentes
au
propriété
voisinage.
singulièrement heureux,
car
il
nulles
sur
que les séries
P
de
mais l’anneau
entières: éléments
de
C
et
non
sont
d’importance secondaire. Ce fait est
nous permettre d’opérer sur un corps de base
est
va
l’une des branches de
où les notions de voisinage et de convergence n’auront plus de sens.
P sur une
on pourra toujours définir l’anneau local d’un point
quelconque,
Dans
ce cas
M
variété
sur une
pour la
anneau
de séries formelles
tient
A’
(en
l’analogie
analytiquement réductible (ou
A
a
maux
avec
le
on
irréductible)
au
voisinage
au
on
de
la
introduit le
non),
ou
c’est
un
et il
con-
propriétés
voisinage
classique,
cas
on
dira que les
V
de
A
idéal maximal.
indépendantes
des variables
propriétés analytiques
sont les
et pour suivre
exemple,
son
convergentes en les (ti) ,
topologie définie pe.r les idéaux
existe. Par définition
lorsque A’
l’anneau Â
M
cet anneau,
des séries
At
A
de
complété A
A
V . Soient
de l’anneau
place
l’anneau local d’une sous-variété
algébrique C ~ et, plus généralement,
courbe
de
de
par
dira que V est
W lorsque l’anneau
(ou
n’ a
mini-
de
A
seront
appelés
les
pas) de diviseurs de zéro ; dans ce cas les idéaux premiers
(qui décrivent la répartition des diviseurs de zéro dans A)
nappes (ou branches) analytiques de V au voisinage de
Mais la situation que
plété A)
nombre
nous venons
rencontre pas seulement
ne se
et l’anneau
premier p ~
(a ~ b entiers,
b
maximal est
son
non
A
multiple
(un anneau local
géométrie algébrique.
de décrire
en
A
et
son
Considérons
a/b
des nombres rationnels de la forme
p) ;
de
c’est
un anneau
complété
un
local dont l’idéal
n’est autre que l’anneau
des entiers p-adiques.
On peut ainsi dire que l’étude des entiers p-adiques est "l’étude analytique de
l’ensemble des nombres premiers au voisinage du nombre premier p" .
Zp
part l’anneau local complété A peut qu61quefois S’obt6nir directement,
soit à partir de l’anneau R des fonctions polynômes sur V ~ soit à partir de
l’anneau Z des entiers, par conplétion par rapport à la topologie définie par les
idéaux In (I : idéal des fonctions de R nulles au point P 1 ou idéal engendré
par p) ; par exemple l’anneau des séries formelles à n variables sur un corps K
D’autre
s’obtient par
complétion
de l’anneau des
amène à la situation plus
A
f)
tel que
Mn
=
polynômes
générale suivante ;
(0) .
Les idéaux
Mn
à
n
variables
on a un anneau
définissent alors
A
une
K . Ceci
sur
et
nous
idéal M de
un
topologie séparée
n==l
sur
A ;
on
M-adique ;
dit que
on
M-adiques
vantes :
on a un
polynômes
sur
V
V
muni de l’idéal
alors former l’anneau
peut
anneaux
veut étudier
A~
M
et de
complété
est
cette topologie,
A
un
anneau
M-adique A . Les
de l’anneau
ont été introduits par Zariski pour étudier les situtations sui-
nombre fini
au
voisinage
et pour
M
(Pi)
de
points
de chacun des
d’une variété
P i (on
algébrique V ~ et
prend alors pour
l’idéal des polynômes nuls
en
l’un
au
A
l’on
l’anneau des
moins des
Pi) ;
sous-variété W d’ une variété
on a une
sur
pas
de
chaque point
1 t anneau
complété A
complété
de
1.J
V ; l’anneau
sur
Dans le reste de cet
points
de
1. Les
anneaux
qui
vue
A
Soit
exposant
sens
de
exposée
et
s
est l’anneau des fonctions
Zariski)
nous
Modique. Pour
un
seul tel q ue
appelée
est
allons passer rapidement
initiales,
tout
a ~
élément
MS,
o,
nul
MS+1 ;
~
la forme initiale de
la forme initiale de
non
on
dit que
est l’
anneau
Lorsque
1
filtré ;
est
obtient
anneau
sur
xy
et
les divers
locaux et
de
cf.
un
F(M)
une
il existe
A,
Z
la classe
y
A
de
de
ayant x
dans
a
et
ne
M (La.
étendant
en
directe
structure d’anneau
de formes de l’idéal
procédé général
rentre dans le
d’ un
qui
Etant donnés des éléments
a.
x
a
que
F(M) = Mn/Mn+1 ,
F(M)
en revue
anneaux
de x et 00FF . Ceci définit le produit de x
linéarité cette multiplication aux éléments de la somme
dépend
V
sur
chaque point de W).
en
et des éléments
pour formes
on
A
distinct de l’anneau local
est
de formes.
x E
par
A
M-adique
sont montrés féconds dans l’étude des
93
un anneau
dans
-
V
~~I
de
de l’anneau
"holomorphes" (au
Sont
un
et l’on veut étudier
(on prend pour A l’anneau des polynômes
V i et pour M i’ idéal des polynômes nuls sur ~~~ ~ alors, lorsque M n’est
un point (c’est-à-dire lorsque l’idéal premier M n’est pas
voisinage
au
algébrique V ~
commutatif :
construction de
de formation d’un anneau
gradué
à partir
LERAY, CARTAN).
idéal fermé de
l~ ~
est
un
anneau ( (M
+
dont l’anneau de formes est le
(idéal engendré
Les
propriétés
par
quotient de F(M) par l’idéal "directeur" de
les formes initiales d’éléments de I).
suivantes font partie de la théorie élémentaire des
anneaux
I
de
formes :
F(M) est un anneau d’intégrité, il
fausse). En particulier, si I est un idéal
teur soit premier, I est premier.
a.
()
Si
Pour les démonstrations des résultats
des Sciences
en
est de
fermé de
mentionnés,
même de A
A
(réciproque
dont l’idéal direc-
voir :
Algèbre locale. - Paris, Gauthier-Villars 1953 (Mémorial
mathématiques n° 123).
b. Si tout idéal
tégrité
est
fermée
et si
F(M)
est
(si y/x
on montre que
y E- Ax par approximations successives). Ceci
l’anneau local d’un point simple est intégralement clos.
est
un anneau
d’intégrité intégralement
a un
A
Si
est
système
générateurs,
fini de
est noethérien
puis
M-adique complet,
un anneau
en
A
alors
archimédiens,
clos
est entier
A
c.
si
est
d’in-
un anneau
intersection d’anneaux de valuations à groupes des ordres
A
alors
A
de
principal
sur
montre que
noethérien,
II
et si
(on remarque que
de polynômes sur A/M ;
des éléments (b.) d’un
est noethérien
tant que quotient d’un
anneau
montre par
approximations successives que, si
idéal B de l’anneau complet A sont tels que l’idéal directeur de
B
soit
engendré
en
parti-
on
culier
par les
qu’un
anneau
il semble que
(b.) engendrent B) .
alors les
de séries formelles
sur un anneau
soit là la démonstration la
ce
La théorie fine des
anneaux
Ceci montre
noethérien est
plus naturelle de
noethérien ;
théorème.
ce
de formes comprend essentiellement l’étude des
polynômes caractéristiques. On suppose ici que A/M est un anneau de longueur
finie (au sens Jordan-Hölder). Alors la longueur de A/lvf (c’ est-à-dire aussi
celle de
est un polynôme en n pour n assez grande soit
Si M et ~1’ définissent la même topologie sur A ~ les polynômes
P M et
ont
même
degré d ~ appelé la dimens ion de A . Le terme de plus haut degré
~
de
est de la forme
e(M) est un entier, appelé la
~ où
multiplicité
passage des
choisi;
égale au
de l’idéal
anneaux
quotients de la forme
et l’on montre que,
nombre minimum de
(CHEVALLEY)
mal
=M’ . On étudie les dimensions et
emboités de
A
lorsque
générateurs
A
x
est
un anneau
multiplicités
par
étant convenablement
local,
sa
dimension est
d’un idéal
primaire pour son idéal maxiet aussi à la longueur d’une chaîne maximum d’idéaux premiers
on obtient aussi une caractérisation de certaines
multiplicités ;
cité de
M
enfin l’on constate que, dans certains cas
simples, la multi
est égale à la longueur de A/M. Tout ceci peut servir dans la
théorie des multiplicités d’intersection des variétés
algébriques
et
p li-
algébroides.
2. Les idéaux fermés.
On
se
borne ici
au cas
où
A
est
théorème suivant de Krull : soient
A,
ne
pour
que Mn =
(0) ,
soit diviseur de zéro dans
un anneau
-.
noethérien
noethérien et
un anneau
il faut et il suffit
~~ .
et l’on utilise le
M
qu’aucun élément
un
de
idéal de
1
+
M
On
déduit que, pour
en
qu’un
idéal
P. 1 + M ~ A
il faut et il suffit que l’ on ait
1 . Plus
santes
En
l’adhérence de
généralement
que tout idéal
particulier,pour
soit inversible. On dit
Un
ment
1 -
qu’un
tel
M-adique noethérien
anneau
1
de
m
+
~I
I
A
M-adique
fermé,
soit
et
1
admet
M-adique
complet
est
+
+ m +
est
pour
+
?.1
de Zarisld .
un anneau
un anneau
...
1
que tout élément de
ou encore
anneau
exemple dt anneau de Zariski
Un autre
satisfait à
premier associé
de l’ anneau
A~ ~
est-àoooodire le radical de
de
de
P. 1
soit contenu dans l’intersection des idéaux maximaux
M
il faut et il suffit que
pour
est l’intersection de celles des compo-
I
dont 1‘ idéal
I
de
Qi
primaires
fermé,
M-adique A soit
tout idéal premier
de l’anneau
I
l’ élé-
(car
de Zariski
inverse) .
A
est le suivant :
est
un anneau
noethé-
ayant un nombre fini d’idéaux maximaux, et M est l’intersection de ceuxci. On dit alors que A est un anneau semi-local, un anneau local est semilocal. Pour qu’ un anneau M-adique de Zariski A soit semi-local, il faut et
il suffit que A/M soit un anneau de longueur finie.
rien
A la théorie des idéaux fermés
idéaux de
A
un anneau
M-adique,
et de
l’ adhérence de
A
de
I
idéal et
c
où
est l’idéal
M
dans
Â;
A
est
ÂM
engendré
lorsque A est
un élément d’un
particulier si
Fi
I
anneau
de Zariski. D’autre
anneau
de Zariski
As
on a
le
ce
dernier résultat
on se
propriété
de
compacité) :
A
si
est
dans
un anneau
décroissante dl idéaux de
s(n)
tend
qu’un
sous-anneau,
vers
l’infini
d’un
A
1
telle que
avec
anneau
n.
A~
=
est
et aussi
Conne tout idéal
est
A. _
donc
I
est
l’anneau de Zariski
l
et J
sert du résultat suivant
est l’intersection des idéaux maximaux de
A
semi-local et
et si
(0) ,
(I )
est
on a
~
A,
sont
(qui expricomplet, si
une
suite
où
Ce résultat est aussi utile pour montrer
M-adique
en
est
un
un
on a
complété
Lorsque
résultat plus précis suivant :
Pour démontrer
me une
M
A~
aux
Â,
part, lorsque
il n’est pas diviseur de zéro dans le
des idéaux de
dans
=
n’ est pas diviseur de zéro
c
M-adique,
un anneau
par
relatives
et Mn Mn~A .
de A (dans A)
Mn = A.Mn
on a
l’adhérence d’un idéal
fermé,
est
A.I
en
lvl
A. Si
complété
son
propriétés
rattachent les
se
sous-espace
torologique.
3. Extension finie d’anneaux
Soient
A
un anneau.
M-adique, B un anneau contenant A et qui soit un
(tout élément de B est alors entier sur A) ; nous
.~»module de type fini
dirons alors que B est
nécessairement
élément de I +
de
Zariski,
B . On peut
M
ne
A
en
complet,
quand .~~1
est ainsi
important est celui où
cas
qu’il
A
n’est diviseur de zéro dans
A
A
ou un anneau
est
un
lorsque
n’est pas
il
en
dans
qu’aucun
est
un anneau
même de
est de
sous-espace topologique de B
A est semi-local et complet. Un autre
aucun
élément
l’adhérence de
ce cas
A
non
nul de
B est
dans
~
n
complété : A , B est extension finie de A ,
disjoints sur A , et tout élément de A qui est
diviseur de zéro dans
A
semi-local,
le
déjà
B . Mais si
est semi-local et où
B;
B
le soit il faut et il suffit
soit diviseur de zéro dans
demander
il
A. L’anneau
extension finie de
une
pour
ou un anneau
se
M-adiques.
B
et
ii
sont linéairement
diviseur de zéro dans
B
est
A.
Lorsque A est un anneau M-adique complet, il est assez facile de montrer
qu’une extension B de A est finie. En effet, si L est un anneau
est extension finie
quelconque contenant A ? si MB ~ A = M , et si
de A%ï~I ~ alors B est extension finie de A ; et l’on peut prendre pour
système de générateurs du A-module B des représentante quelconques des
éléments d’un
système de générateurs du
(démonstration par
approximation successives). Ce résultat donne aussitôt l’important théorème
suivant ("Vorbereitungssatz formel") : soient R un anneau local complet. V
son idéal maximal,
B l’anneau de séries formelles 11 [[X]],
f(X) un élément
de B n’appartenant pas à VB , et b s Xs le terme de plus bas degré de f
tel que bs ~ V ; alors tout élément z de B s’écrit, d’ une manière et
d’ une seule
sous
la forme
z =
encore
valable
sur un
corps valué
Cet énoncé reste
en
... ,
Xn
séries convergentes
marche pas ,
en
uf
u E.
+
lorsque
R
compl et,
Xl’ ... ! ~ n f ~ ~
B
r~
est l’anneau des séries
et
lorsque
mais la méthode
B
est l’
précédente
il faut des expressions explicites des séries
pouvoir appliquer la méthode des majorantes. Une conséquence du
car
est que l’anneau des séries formelles
un
que
corps valué
complet)
est
(resp. convergentes)
à
convergentes
u
et
des
ne
q
pour
Vorbereitungssatz
sur un
corps
(resp.
unique factorisation ; une autre est
des séries convergentes sur un corps valué complet est noethérien.
un anneau
4. Structure des
On
anneaux
des résultats
complets.
complets sur la structure de certains anneaux M-adiques
complets. On montre d’abord qu’un anneau semi-local et complet est composé direct
d’anneaux locaux complets. Ceci se déduit du résultat plus général suivant : si
A
a
est
assez
A/M
décompose en composé direct de
deux idéaux, alors cette décomposition "se prolonge" en une décomposition de A
(on obtient les idempotents de la décomposition de A à partir du représentants
des idempotents de celle de A/M par approximations successives). Ce théorème de
"prolongement des décompositions directes" est intimement lié à l’important lemme
M-adique complet,
un anneau
de Hensel : soient
nôme de
A/M
degré
de
ses
te alors des
f
=
A/M ,
dans
Y
A,
polynôme
soit le
g* = ~
il existe
pour classe
*g’
et
racine
une
simple
a
mod M . On trouve de nombreux
comme
1
a
la série formelle
Xs(X)
Revenons à l’étude des
neaux
semi-locaux
plet,
on
se
a
anneaux
sur un anneau
bornerons
au cas
un
K
corps
complets. Nous
s’efforce de montrer que c’est
de nature
une
racine
la racine donnée
du lemme de Hen-
de
anneaux
venons
entières ;
caractéristique / 2 ,
K[[X]] .
de voir que celle des
locaux. Pour
un anneau
local
a
A
contient
alors,
(c’est
un
corps
A
contient
le
cas
an-
com-
quotient d’un anneau de séries
simple. Pour simplifier l’exposé, nous nous
un anneau
"d’égales caractéristiques", c’est-à-dire celui où l’anneau
même caractéristique que son corps quotient A~M ~ autrement dit, celui
A
simple
et dans celle des séries
deux racines carrées dans
ramène à celle des
formelles
particulier, si f a
de f dans A ayant
exemples d’application
p-adiques,
deux racines carrées dans
1 +
se
complet, M son idéal maximal, f un polydes polynômes de degrés r et n-r sur
? obtenu à partir de f par réduction
et 0) soient premiers entre eux, il exisdegrés r et n -,r sur A tels que
=
sel dans la théorie des nombres
ainsi,
local
coefficients, et que 0
polynômes g et g’ de
et que
gg’ ,
un anneau
sur
que 03B303B3’
tels
mod M
n
A
et si
dans les
applications
géométriques).
On
local
où
montre,
mod M "
"corps complet
représentants
c’est-à-dire un sous-corps K , isomorphe à A/M, par l’homomorphisme canonique
de A sur A/M . Dans ce cas, si (x.) désigne une base de
M, A est un
de
l’anneau de séries formelles
quotient
et on a un théorèK[[X1 , ..
que
me
de structure pour
K
est
sur
facile,
les
des classes
A . La démonstration d’existence du corps de représentants
lorsque A et A/M sont de caractéristique 0 : On "zornifie"
sous-corps de
tra ti 0 n est
de
un
A ,
encore assez
et
applique
simple, lorsque
on
le lemme
A
et
de H e n s e 1. La
A/M
sont de
démons-
caractéristique
p :/
parfait (on utilise les "représentants multiplicatifs"
Hasse). ~~jais c’est effroyablement compliqué lorsque A/M est imparfait
de
0
et que
est
(N.B. - Depuis
par GEDDES).
1952 la démonstration
Le théorème de structure
a
été notablement simplifiée par NARITA et
simplifie lorsque A
se
est
local
un anneau
régulier
c’est-à-dire lorsque M est engendré par d éléments, d étant la dimension
de A J alors ces éléments sont analytiquement indépendants sur K , et A est
un anneau
de séries formelles
d’une variété
est
donc
anneau
son
algébrique
complété est un
5. Anneaux à noyau et
La structure des
qui sont utiles
locaux
Les
Géométrie)
en
complets
est
beaucoup moins bien connue
complets. Jusqu’ici beaucoup de propriétés d’anneaux
pour les
applications géométriques n’ont pu être démontrées
(contenant d’ailleurs
tous les
dont la définition est constructive et
considérés sont
anneaux
spécial (les "noyaux")
et
simples,
géométriques.
non
que pour certaines classes d’anneaux
contrés
simple
de séries formelles.
locaux
que celle des anneaux locaux
locaux
par définition des sous-variétés
régulier
anneaux
anneaux
K . L’anneau local d’une sous-variété
sur
ceux
qui contiennent des
assez
sous-anneaux
anneaux ren-
artificielle.
de
type très
certain sens, sont assez proches de ces
à noyau, Le noyau c~’ un anneau à noyau n’ est
qui,
en un
noyaux ; on les appelle les anneaux
nullement déterminé de façon unique. D’autre
part,
dans les théorèmes utiles
démontrés pour les
qui
servi à la démonstration
n’appara1t,
anneaux
ni dans les
à noyau, le noyau
a
hypothèses,
ni dans la conclusion. Tout ceci montre que
cette partie de la théorie est encore dans un état fort
peu satisfaisant. Aussi
serons-nous assez
Soit
K
brefs.
corps d’ exposc.nts
un
On
appelle noyaux les
premier (xl’ ... ,
caractéristique
p
suivants : l’anneau des fractions de l’idéal
de l’anneau de polynômes
(c’est... ,
x)
K[x1 ,
a(x)/b(x)
S’ il existe
un
réguliers.
noyau
B
soit extension finie de
maximal de
A . Alors
C,
A
a
et
On dit
et
B~
qu’aucun
qu’un
un anneau
anneau
x]
telles que
K(x 1 a
locaux
soit fini.
anneaux
à-dire l’anneau des fractions rationnelles
l.’ anneau de séries formelles
... ,
anneaux
~K ;
tel que
Ce sont des
..., xn]].
local
intermédiaire
A
A
est
C(B ~~
b(0) ~ 0) J
à noyau
tels que C
un anneau
C
LA)
soit l’anneau des fractions d’un idéal
élément non nul do B ne soit diviseur de zéro dans
que
même dimension que le noyau B .
1-09
Les
opérations
complétion,
suivantes
font pas sortir de la classe des anneaux à noyeu,
ne
formation de l’anneau des fractions d’un idéal
l’anneau quotient par
un
idéal équidimensionnel. Les
application répétée
passage à
obtenus à partir des
premier,
anneaux
opérations de complétion, formation de
l’ anneau des fractions d’un idéal premier, passage au quotient par un idéal
premier forment une sous-classe de celle des anneaux à noyau, et sont appelés
les anneaux locaux géométriques.
noyaux par
Les principales
propriétés
des
des
ques sont des relations entre les
anneaux.
à noyau et des
algébriques
aux
variétés
algébroïdes),
de 11associativité des intersections
de théorème de transition montre
anneaux
géométri..
locaux
de certains idéaux de certains
multiplicités
Citons parmi elles le théorème de transition
des variétés
(source
anneaux
en
(qui
permet le passage
et la formule d’associativité
géométrie).
Un
cas
particulier
géométrique n’a pas d’éléments
nilpotents, en termes géométriques ceci signifie que la décomposition locale
d’une variété algébrique en variétés algébroïdes n’est pas plus compliquée au
sens
de la
6. Diverses
qu’un
théorie des idéaux qu’elle
propriétés
d’anneaux
anneau
ne
l’est
intégralement
local
au sens
ensembliste.
clos et à
unique factorisation
(ou "factoriels").
Le
complété d’un anneau d’intégrité à noyau et intégralement clos est
d’intégrité intégralement clos (ZARISKI). Géométriquement : une variété
lement normale est
analytiquement irréductible
variété
algébro ide.
Un
local
anneau
et localement normale
régulier
et
régulier
à noyan est factoriel.
complet est
factoriel (au
en
moins dans le
un anneau
tent que
cas
d’égales
caractéristiques).
Un
anneau
local
Il existe des
anneaux
locaux
géométriques
factoriels qui
ne
sont pas
réguliers*