Pavage du plan - MATh.en.JEANS

Pavage du
plan
Lycée Louis
Lapicque
EPINAL
BOULAY Florian
REMY Quentin
ETIENNE Maxime
NESTI Valentin
celui qui lit cette phrase appelle le numéro 06-80-56-27-59!!!
Sommaire
Introduction.......................................................................................................3
I Définition.........................................................................................................4
A - Définition du pavage..............................................................................4
B - Pavages de parallélogrammes...............................................................4
C - Travail sur les polygones réguliers.....................................................5
II Présentation de figures.............................................................................8
A - Quadrilatères.........................................................................................8
1 Quadrilatères concaves........................................................................9
2 Quadrilatères convexes.....................................................................10
3 Quadrilatères croisés.........................................................................11
B - Hexagones..............................................................................................12
C - Pentagones..............................................................................................14
1 Pentagones réguliers...........................................................................14
2 Pentagones avec lesquels il est possible de paver.......................15
Conclusion..........................................................................................................17
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Introduction
Le projet MATh EN JEANS nous fut présenté par Stéphane
Gaussent et nos travaux ont été dirigés par Stéphane Passerat.
Nous avons choisi le pavage du plan car c'est un problème concret
auquel on peut trouver des applications au quotidien, par exemple
lorsque l'on tente de carreler une pièce. Nous avons travaillé une
heure par semaine jusqu'en Mai.
De plus ce problème ne nécessite pas de grandes connaissances mais
plutôt une logique surhumaine =). Seules les bases géométriques et
mathématiques sont nécessaires.
Le voyage à Paris nous a également motivé pour rencontrer d'autres
« chercheurs » comme nous et voir leurs travaux. Nous avons fait
deux animations à Paris devant une trentaine de personnes à chaque
fois.
Nous avons tout d’abord trouvé une relation permettant de paver
avec des polygones réguliers. Puis, nous avons démontré que l’on
pouvait paver avec n’importe quel quadrilatère (convexe et concave).
Ensuite, nos recherches se sont portées sur quelques hexagones et
pentagones. Enfin, nous avons remarqué qu’un pavage de
parallélogrammes peut-être pris comme un repère.
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I Définition
A - Définition du pavage
Un pavage est une façon de remplir un espace à l’aide d’un motif
répétitif sans trou ni débordement.
B - Pavages de parallélogrammes
À partir d’un parallélogramme ABCD, on crée un repère (A; 
AB ; 
AD ).
Les autres parallélogrammes pavant le plan s’obtiennent par des
translations de vecteurs X 
AB et Y 
AD avec X et Y des valeurs
entières.
Soit P x ; y  dont les coordonnées sont données dans le repère
(A; 
AB ; 
AD ) (voir figure page suivante). Nous allons essayer de
déterminer les translations nécessaires pour obtenir le
parallélogramme recouvrant P.
La partie entière de x correspond à la valeur de X .
La partie entière de y correspond à la valeur de Y .
Dans le cas particulier où x et/ou y sont entiers, la valeur de X
et/ou de Y auront deux valeurs possibles : soit la valeur de x et/ou
de y, soit x-1 et/ou y-1.
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C - Travail sur les polygones réguliers
Théorème :
1- Autour d’un point au centre d’un polygone on obtient une addition
de triangle isocèle. Avec p le nombre de triangles isocèles et n le
nombre de côtés du polygone, on a la relation :

p −
2
n

=2 équivaut à
1 1 1
 =
p n 2
2- Avec x l’angle entre les côtés qui se touchent et n le nombre de
côtés des polygones :
2
−
=x
n
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Démonstrations :
Tout polygone régulier s’inscrit dans un cercle et peut se diviser en
plusieurs triangles isocèles ; on obtient :
x=
2
n
y =y 1
2yx = (d’après la relation qui dit que la somme des angles d’un
triangle est égale à π)
6
2y=−
2
n
Pour pouvoir paver avec un polygone régulier on doit avoir la relation :
2y× p =2  , donc :

−
2

×p =2
n
2
1− × p =2
n
2 2
1− =
n p
2 2
1= 
p n
1 1 1
= 
2 p n
 
---------------Avec n le nombre de côtés d’un polygone : n est forcément
supérieur ou égal à 3. Donc la valeur minimale de n est 3 et la valeur
1
1
maximale de
est .
3
n
Pour trouver p le nombre de polygones réguliers qui puisse faire un
angle de 2  lorsqu’on les accole, on a l’équation suivante :
1 1 1
 =
p n 2
n ≥ 3 donc d’après la décroissance de la fonction inverse :
1 1
≤
n 3
Et on résout l’inéquation suivante permettant de déterminer la valeur
de p maximale :
7
1 1 1 1
 ≤ 
n p 3 p
1 1 1
≤ 
2 3 p
1 1 1
− ≤
2 3 p
1 1
≤
6 p
D’après la décroissance de la fonction inverse :
6≥ p
Il peut seulement y avoir 6 polygones au maximum de placer autour
d’un point pour former un angle de 2π.
p / n
3
4
5
6
3
4
5
6
0,6666 0,5833 0,5333
6667
3333
3333
0,5
0,5833
0,41666
3333
0,5
0,45
667
0,5333
0,3666
3333
0,45
0,4
6667
0,41666 0,3666 0,3333
0,5
667
6667
3333
II Présentation de figures
A - Quadrilatères
8
1 Quadrilatères concaves
Pour tracer une frise avec des quadrilatères concaves :
● Tracer un quadrilatère ABCD concave et quelconque.
● Effectuer des symétries centrales de centre les milieux de
chaque cotés du quadrilatère pour paver le plan.
---------------Lorsqu’on fait une symétrie centrale de 180° pour chaque côté on
peut reconnaître la forme de la frise. Puisque la figure initiale 0 ne
bouge pas suivant n’importe quelle symétrie, la figure obtenue par
symétrie (quel que soit le centre, milieu d'un des quatre côtés) n’est
pas transformée. De plus la symétrie centrale ne déforme ni les
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angles, ni les longueurs et donc à chaque fois la figure initiale est
juste déplacée.
2 Quadrilatères convexes
Pour paver le plan avec des quadrilatères convexes :
● tracer un quadrilatère ABCD convexe et quelconque.
● tracer par symétrie centrale de centre le milieu de [ AB ] , puis
celle de centre le milieu de [ BC ] , puis celle de centre le milieu
de [ BD ' '
]
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Démontrons que EFGH est un parallélogramme :
Soit G le milieu de [ AD ] , H le milieu de [ AB ] , E le milieu de [ BC ] et
F celui de [ CD ] :

GH=
GA
AH

FE=
FC
CE
1
1

GH= 
DA 
AB
2
2
1
1

FE= 
DC 
CB
2
2
1

GH= 
DA
AB 
2
1

FE= 
DC
CB 
2
1

GH= 
DB
2
1

FE= 
DB
2
Les vecteurs 
GH et 
FE sont égaux, donc le quadrilatère EFGH est
un parallélogramme.
----------------Cette démonstration est aussi valable pour les quadrilatères
concaves : ainsi du pavage du plan à l'aide de quadrilatères concaves
ou convexes, on se ramène toujours au pavage du plan à l'aide de
parallélogrammes.
3 Quadrilatères croisés
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Après quelques essais, je me suis rendu compte qu’on peut paver un
plan avec des quadrilatères croisés.
Explications : on aligne ces parallélogrammes en accolant leurs côtés
de même longueur. On se rend compte à un certain moment que l’on
obtient des hexagones à côtés opposés parallèles, comme le montre le
dessin.
En effet pour pouvoir paver un plan avec ces parallélogrammes, il faut
avoir des côtés de même longueur ; j’ai essayé avec des côtés de
longueurs différentes… ce fut un échec.
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B - Hexagones
On peut paver le plan avec ces deux différents types d'hexagones :
●
●
Hexagone avec 4 cotés opposés égaux et parallèles deux à deux.
Hexagone avec les cotés égaux deux à deux avec un angle de
120° entre.
Démonstration :
Soit un hexagone ABCDEF avec 4 cotés opposés parallèles et égaux
deux à deux. Effectuer des symétries centrales ayant pour centre
les milieux de chaque coté de l’hexagone pour paver le plan.
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Soit un hexagone ABCDEF avec des cotés égaux deux à deux avec un
angle de 120° entre. Donc l’angle A=120°.
Pour obtenir un pavage du plan avec de tels hexagones, il faut faire
des symétries centrales de 120° à chaque point ayant un angle de
120° dans l’hexagone.
Comme les côtés autour de l’angle de 120° sont égaux, les côtés et les
angles correspondent et le pavage du plan est possible.
On retrouve dans ce pavage un parallélogramme.
On a trouvé d’autre type d’hexagones pouvant paver le plan mais sans
trouver toutes les conditions requises à ce pavage :
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●
●
Hexagones avec 2 cotés opposés égaux et parallèles.
Hexagones à 2 angles droits opposés.
C - Pentagones
1 Pentagones réguliers
Selon la formule précédemment établie :
2x = 180 –
360
5
15
= 108
360
≈3,33 , le résultat n’est pas entier, on en déduit qu’on
108
ne peut pas paver le plan avec des pentagones réguliers.
Et comme
2 Pentagones avec lesquels il est possible de paver
Il est possible de paver avec des pentagones si la somme de deux
angles adjacents est égale à 180°. Ceci est valable dans le cas de
pentagones concaves mais aussi de pentagones convexes, car
lorsqu’on accole deux de ces pentagones au niveau de chaque côté
dont la somme des deux angles adjacents est égale à 180°, on obtient
un hexagone dont les côtés opposés sont égaux parallèles (on a déjà
étudier le pavage à l'aide de ce type d’hexagones).
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Si un pentagone a quatre cotés égaux, deux angles droits et que
chacun de ces cotés touche un angle droit, on peut paver en

effectuant des rotations de
depuis un point où il y a un angle
2
droit.
On peut paver avec des pentagones issus d’un hexagone régulier,
sachant qu’il est possible de paver avec ces derniers : il faut tracer
trois segments partant du centre du cercle dans lequel est inscrit
l’hexagone, qui ne passeront pas par l’un des sommets de l’hexagone
et dont les angles les séparant les uns des autres sont tout trois
égaux à 120°.
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Conclusion
L'atelier MATh EN JEANS nous a apporté beaucoup en méthode et
en rigueur de travail. De plus nous avons travaillé depuis le début
dans la détente ce qui a permis d'avancer tranquillement dans nos
recherches. Les relations avec les professeurs ne sont pas les mêmes
qu'en cours ce qui est plus agréable pour travailler. Une magnifique
expérience que nous allons réitérer l'année prochaine, si les
professeurs nous acceptent.
Merci aux professeurs =)
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