matrice

chapitre 1
Les Matrices.
I Définition
Une matrice est un tableau de nombres, présenté sous une forme légèrement
différente.
2
5
6
2 5 6
1
9
4
matrice M = 1 9 4
chapitre 1
Les Matrices.
I Définition
Une matrice est un tableau de nombres, présenté sous une forme légèrement
différente.
2
5
6
2 5 6
1
9
4
matrice M = 1 9 4
Les matrices ont comme caractéristiques leurs nombres de lignes et de
colonnes.
chapitre 1
Les Matrices.
I Définition
Une matrice est un tableau de nombres, présenté sous une forme légèrement
différente.
2
5
6
2 5 6
1
9
4
matrice M = 1 9 4
Les matrices ont comme caractéristiques leurs nombres de lignes et de
colonnes.
On peut noter : M2×3 ( toujours lignes puis colonnes )
chapitre 1
Les Matrices.
I Définition
Une matrice est un tableau de nombres, présenté sous une forme légèrement
différente.
2
5
6
2 5 6
1
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4
matrice M = 1 9 4
Les matrices ont comme caractéristiques leurs nombres de lignes et de
colonnes.
On peut noter : M2×3 ( toujours lignes puis colonnes )
lignes-colonnes comme le président américain
chapitre 1
Les Matrices.
I Définition
Une matrice est un tableau de nombres, présenté sous une forme légèrement
différente.
2
5
6
2 5 6
1
9
4
matrice M = 1 9 4
Les matrices ont comme caractéristiques leurs nombres de lignes et de
colonnes.
On peut noter : M2×3 ( toujours lignes puis colonnes )
Mn×p et si n = p : « matrice …
chapitre 1
Les Matrices.
I Définition
Une matrice est un tableau de nombres, présenté sous une forme légèrement
différente.
2
5
6
2 5 6
1
9
4
matrice M = 1 9 4
Les matrices ont comme caractéristiques leurs nombres de lignes et de
colonnes.
On peut noter : M2×3 ( toujours lignes puis colonnes )
Mn×p et si n = p : « matrice carrée », n = 1 « matrice …
chapitre 1
Les Matrices.
I Définition
Une matrice est un tableau de nombres, présenté sous une forme légèrement
différente.
2
5
6
2 5 6
1
9
4
matrice M = 1 9 4
Les matrices ont comme caractéristiques leurs nombres de lignes et de
colonnes.
On peut noter : M2×3 ( toujours lignes puis colonnes )
Mn×p et si n = p : « matrice carrée », n = 1 « matrice colonne »,
p = 1 « matrice …
chapitre 1
Les Matrices.
I Définition
Une matrice est un tableau de nombres, présenté sous une forme légèrement
différente.
2
5
6
2 5 6
1
9
4
matrice M = 1 9 4
Les matrices ont comme caractéristiques leurs nombres de lignes et de
colonnes.
On peut noter : M2×3 ( toujours lignes puis colonnes )
Mn×p et si n = p : « matrice carrée », n = 1 « matrice colonne »,
p = 1 « matrice ligne ».
La matrice M comporte tous les éléments mi j
( par exemple m2 1 = … ; m1 3 = …. )
chapitre 1
Les Matrices.
I Définition
Une matrice est un tableau de nombres, présenté sous une forme légèrement
différente.
2
5
6
2 5 6
1
9
4
matrice M = 1 9 4
Les matrices ont comme caractéristiques leurs nombres de lignes et de
colonnes.
On peut noter : M2×3 ( toujours lignes puis colonnes )
Mn×p et si n = p : « matrice carrée », n = 1 « matrice colonne »,
p = 1 « matrice ligne ».
La matrice M comporte tous les éléments mi j
( par exemple m2 1 = 1 ; m1 3 = 6 )
II Opération sur les matrices
1°) Multiplication d’une matrice M par un réel k :
On la note N = k M
Exemple :
M=
2 5 6
1 9 4
et k = 2
N=2M=
II Opération sur les matrices
1°) Multiplication d’une matrice M par un réel k :
On la note N = k M
Exemple :
M=
2 5 6
1 9 4
et k = 2
4 10 12
N = 2 M = 2 18 8
II Opération sur les matrices
1°) Multiplication d’une matrice M par un réel k :
On la note N = k M
Exemple :
M=
2 5 6
1 9 4
et k = 2
4 10 12
N = 2 M = 2 18 8
La matrice N = k M est définie par : ni j = …
La matrice k M existe …
et M et k M ont comme dimensions …
II Opération sur les matrices
1°) Multiplication d’une matrice M par un réel k :
On la note N = k M
Exemple :
M=
2 5 6
1 9 4
et k = 2
4 10 12
N = 2 M = 2 18 8
La matrice N = k M est définie par : ni j = k mi j
La matrice k M existe toujours,
et M et k M ont mêmes dimensions : k M2×3 = N2×3
II Opération sur les matrices
2°) Addition de deux matrices M et N :
On la note P = M + N
Exemple :
M=
2 5 6
1 9 4
-1 3 -8
et N = 3 -9 2
P=M+N=
II Opération sur les matrices
2°) Addition de deux matrices M et N :
On la note P = M + N
Exemple :
M=
2 5 6
1 9 4
-1 3 -8
et N = 3 -9 2
P=M+N=
1 8 -2
4 0 6
II Opération sur les matrices
2°) Addition de deux matrices M et N :
On la note P = M + N
Exemple :
M=
2 5 6
1 9 4
-1 3 -8
et N = 3 -9 2
P=M+N=
La matrice P = M + N est définie par : pi j = …
La matrice M + N existe …
M, N et M + N ont comme dimensions …
1 8 -2
4 0 6
II Opération sur les matrices
2°) Addition de deux matrices M et N :
On la note P = M + N
Exemple :
M=
2 5 6
1 9 4
-1 3 -8
et N = 3 -9 2
P=M+N=
1 8 -2
4 0 6
La matrice P = M + N est définie par : pi j = mi j + ni j
La matrice M + N n’existe que si M et N ont même dimensions,
alors M, N et M + N ont mêmes dimensions : M2×3 + N2×3 = P2×3
3°) Multiplication de deux matrices M et N :
Notons-la C = A × B
La matrice C = A × B est définie par : ci j = ligne i de A × colonne j de B
qui signifie que chaque nombre du 1er au dernier de la ligne i de M,
est multiplié respectivement par le 1er au dernier de la colonne j de
N, et que l’on additionne ces produits.
2
Exemple : ligne i de A = ( 1 5 6 )
colonne j de B = 3
-1
3°) Multiplication de deux matrices M et N :
Notons-la C = A × B
La matrice C = A × B est définie par : ci j = ligne i de A × colonne j de B
qui signifie que chaque nombre du 1er au dernier de la ligne i de M,
est multiplié respectivement par le 1er au dernier de la colonne j de
N, et que l’on additionne ces produits.
2
Exemple : ligne i de A = ( 1 5 6 )
colonne j de B = 3
-1
3°) Multiplication de deux matrices M et N :
Notons-la C = A × B
La matrice C = A × B est définie par : ci j = ligne i de A × colonne j de B
qui signifie que chaque nombre du 1er au dernier de la ligne i de M,
est multiplié respectivement par le 1er au dernier de la colonne j de
N, et que l’on additionne ces produits.
2
Exemple : ligne i de A = ( 1 5 6 )
colonne j de B = 3
-1
3°) Multiplication de deux matrices M et N :
Notons-la C = A × B
La matrice C = A × B est définie par : ci j = ligne i de A × colonne j de B
qui signifie que chaque nombre du 1er au dernier de la ligne i de M,
est multiplié respectivement par le 1er au dernier de la colonne j de
N, et que l’on additionne ces produits.
2
Exemple : ligne i de A = ( 1 5 6 )
colonne j de B = 3
-1
1×2
5×3 6×(-1)
3°) Multiplication de deux matrices M et N :
Notons-la C = A × B
La matrice C = A × B est définie par : ci j = ligne i de A × colonne j de B
qui signifie que chaque nombre du 1er au dernier de la ligne i de M,
est multiplié respectivement par le 1er au dernier de la colonne j de
N, et que l’on additionne ces produits.
2
Exemple : ligne i de A = ( 1 5 6 )
colonne j de B = 3
-1
1×2
5×3 6×(-1) puis 2 + 15 + (-6) donc 11
3°) Multiplication de deux matrices M et N :
Notons-la C = A × B
La matrice C = A × B est définie par : ci j = ligne i de A × colonne j de B
qui signifie que chaque nombre du 1er au dernier de la ligne i de M, est multiplié
respectivement par le 1er au dernier de la colonne j de N, et que l’on additionne ces
produits.
2
Exemple : ligne i de A = ( 1 5 6 )
colonne j de B = 3
1×2
5×3
6×(-1)
puis
2 + 15 + (-6)
-1
donc 11
Le « produit » ligne i de A × colonne j de B n’existe que si …
3°) Multiplication de deux matrices M et N :
Notons-la C = A × B
La matrice C = A × B est définie par : ci j = ligne i de A × colonne j de B
qui signifie que chaque nombre du 1er au dernier de la ligne i de M, est multiplié
respectivement par le 1er au dernier de la colonne j de N, et que l’on additionne ces
produits.
2
Exemple : ligne i de A = ( 1 5 6 )
colonne j de B = 3
1×2
5×3
6×(-1)
puis
2 + 15 + (-6)
-1
donc 11
Le « produit » ligne i de A × colonne j de B n’existe que si il y a
autant de nombres dans la ligne i de A que de nombres dans la
colonne j de B.
3°) Multiplication de deux matrices M et N :
Notons-la C = A × B
La matrice C = A × B est définie par : ci j = ligne i de A × colonne j de B
qui signifie que chaque nombre du 1er au dernier de la ligne i de M, est multiplié
respectivement par le 1er au dernier de la colonne j de N, et que l’on additionne ces
produits.
2
Exemple : ligne i de A = ( 1 5 6 )
colonne j de B = 3
-1
1×2
5×3 6×(-1)
puis 2 + 15 + (-6) donc 11
Le « produit » ligne i de A × colonne j de B n’existe que si il y a autant de nombres dans
la ligne i de A que de nombres dans la colonne j de B. Le nombre d’éléments
dans une ligne de A est …
3°) Multiplication de deux matrices M et N :
Notons-la C = A × B
La matrice C = A × B est définie par : ci j = ligne i de A × colonne j de B
qui signifie que chaque nombre du 1er au dernier de la ligne i de M, est multiplié
respectivement par le 1er au dernier de la colonne j de N, et que l’on additionne ces
produits.
2
Exemple : ligne i de A = ( 1 5 6 )
colonne j de B = 3
-1
1×2
5×3 6×(-1)
puis 2 + 15 + (-6) donc 11
Le « produit » ligne i de A × colonne j de B n’existe que si il y a autant de nombres dans
la ligne i de A que de nombres dans la colonne j de B. Le nombre d’éléments
dans une ligne de A est le nombre de colonnes de A.
3°) Multiplication de deux matrices M et N :
Notons-la C = A × B
La matrice C = A × B est définie par : ci j = ligne i de A × colonne j de B
qui signifie que chaque nombre du 1er au dernier de la ligne i de M, est multiplié
respectivement par le 1er au dernier de la colonne j de N, et que l’on additionne ces
produits.
2
Exemple : ligne i de A = ( 1 5 6 )
colonne j de B = 3
-1
1×2
5×3 6×(-1)
puis 2 + 15 + (-6) donc 11
Le « produit » ligne i de A × colonne j de B n’existe que si il y a autant de nombres dans
la ligne i de A que de nombres dans la colonne j de B. Le nombre d’éléments dans une
ligne de A est le nombre de colonnes de A. Le nombre d’éléments dans une
colonne de B est …
3°) Multiplication de deux matrices M et N :
Notons-la C = A × B
La matrice C = A × B est définie par : ci j = ligne i de A × colonne j de B
qui signifie que chaque nombre du 1er au dernier de la ligne i de M, est multiplié
respectivement par le 1er au dernier de la colonne j de N, et que l’on additionne ces
produits.
2
Exemple : ligne i de A = ( 1 5 6 )
colonne j de B = 3
-1
1×2
5×3 6×(-1)
puis 2 + 15 + (-6) donc 11
Le « produit » ligne i de A × colonne j de B n’existe que si il y a autant de nombres dans
la ligne i de A que de nombres dans la colonne j de B. Le nombre d’éléments dans une
ligne de A est le nombre de colonnes de A. Le nombre d’éléments dans une
colonne de B est le nombre de lignes de B : Am×n et Bp×q oblige à avoir …
3°) Multiplication de deux matrices M et N :
Notons-la C = A × B
La matrice C = A × B est définie par : ci j = ligne i de A × colonne j de B
qui signifie que chaque nombre du 1er au dernier de la ligne i de M, est multiplié
respectivement par le 1er au dernier de la colonne j de N, et que l’on additionne ces
produits.
2
Exemple : ligne i de A = ( 1 5 6 )
colonne j de B = 3
-1
1×2
5×3 6×(-1)
puis 2 + 15 + (-6) donc 11
Le « produit » ligne i de A × colonne j de B n’existe que si il y a autant de nombres dans
la ligne i de A que de nombres dans la colonne j de B. Le nombre d’éléments dans une
ligne de A est le nombre de colonnes de A. Le nombre d’éléments dans une
colonne de B est le nombre de lignes de B : Am×n et Bp×q oblige à avoir n = p
La matrice C = A × B est définie par :
ci j = ligne i de A × colonne j de B
Le « produit » ligne i de A × colonne j de B n’existe que si il y a autant de nombres dans
la ligne i de A que de nombres dans la colonne j de B. Le nombre d’éléments dans une
ligne de A est le nombre de colonnes de A. Le nombre d’éléments dans une colonne
de B est le nombre de lignes de B : Am×n et Bp×q oblige à avoir n = p
Combien y a-t-il de lignes dans la matrice C ?
ci j = ligne i de A × colonne j de B donc …
La matrice C = A × B est définie par :
ci j = ligne i de A × colonne j de B
Le « produit » ligne i de A × colonne j de B n’existe que si il y a autant de nombres dans
la ligne i de A que de nombres dans la colonne j de B. Le nombre d’éléments dans une
ligne de A est le nombre de colonnes de A. Le nombre d’éléments dans une colonne
de B est le nombre de lignes de B : Am×n et Bp×q oblige à avoir n = p
Combien y a-t-il de lignes dans la matrice C ?
ci j = ligne i de A × colonne j de B donc autant dans C que dans A.
Combien y a-t-il de colonnes dans la matrice C ?
ci j = ligne i de A × colonne j de B donc …
La matrice C = A × B est définie par :
ci j = ligne i de A × colonne j de B
Le « produit » ligne i de A × colonne j de B n’existe que si il y a autant de nombres dans
la ligne i de A que de nombres dans la colonne j de B. Le nombre d’éléments dans une
ligne de A est le nombre de colonnes de A. Le nombre d’éléments dans une colonne
de B est le nombre de lignes de B : Am×n et Bp×q oblige à avoir n = p
Combien y a-t-il de lignes dans la matrice C ?
ci j = ligne i de A × colonne j de B donc autant dans C que dans A.
Combien y a-t-il de colonnes dans la matrice C ?
ci j = ligne i de A × colonne j de B donc autant dans C que dans B.
On a donc : Am×n × Bp×q n’existe que si n = p et on a comme
dimensions …
La matrice C = A × B est définie par :
ci j = ligne i de A × colonne j de B
Le « produit » ligne i de A × colonne j de B n’existe que si il y a autant de
nombres dans la ligne i de A que de nombres dans la colonne j de B. Le
nombre d’éléments dans une ligne de A est le nombre de colonnes de A. Le
nombre d’éléments dans une colonne de B est le nombre de lignes de B :
Am×n et Bp×q oblige à avoir n = p
Combien y a-t-il de lignes dans la matrice C ?
ci j = ligne i de A × colonne j de B donc autant dans C que dans A.
Combien y a-t-il de colonnes dans la matrice C ?
ci j = ligne i de A × colonne j de B donc autant dans C que dans B.
On a donc : Am×n × Bp×q n’existe que si n = p
et on a comme dimensions : Am×n × Bn×q = Cm×q