1/10 2. Représentation spatiale du tenseur de Green

Séminaire tenseur de Green
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Michaël Lobet
Séminaire sur
Le rôle clé du tenseur de Green dans les problèmes de
diffusion et sa version stratifiée
Michaël Lobet
1. Introduction: le sens physique
du tenseur de Green
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E(r)
r
G(r,r’)
r'
G(r,r’) = Champ électrique E radié à la position r dû à
3 dipôles unitaires orthogonaux placés en r’
Gxu
Composantes du champ E
Eu= Gyu
radié par un dipôle unité
Gzu
// à l’axe u =(x,y ou z)
Le tenseur de Green fait le lien entre une source
de courant et le champ électrique
2. Représentation spatiale du
2. Représentation
spatiale du
tenseur de Green
tenseur de Green
*Système et équation de départ
Soit un milieu homogène, isotrope.
Le champ vérifie l’équation d’Helmoltz avec source:
Si on suppose une source ponctuelle, la solution est le tenseur
de Green répondant à l’équation:
Ce qui donne un champ électrique s’écrivant:
où
est la fonction de Green scalaire
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2. Représentation spatiale du
tenseur de Green
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*Représentation spatiale
Cette relation peut s’écrire de façon plus compacte via l’utilisation de la représentation
spatiale du tenseur de Green:
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2. Représentation spatiale du
tenseur de Green
* Difficultés
Si r est dans V et en particulier si r=r’
Convergence non uniforme de l’intégrale et donc du champ… PROBLEME
Utilisation d’un volume d’exclusion Vδ & intégration dans le plan complexe :
Méthode du volume principal
et
avec L dépendant de la forme du volume d’exclusion Vδ
et
définis de manière unique
2. Représentation spatiale du
tenseur de Green
Séminaire tenseur de Green
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* Justification physique
Placement de r dans un cavité insérée dans V
Accumulation de charges en surface de la cavité (courant discontinu à la surface)
 Champ électrostatique créé (fonction de la forme de la cavité)
 Champ NON PHYSIQUE!!!
 Compensation par le 2e terme qui retire ces charges de surface autour du volume d’exclusion
3. Représentation spectrale du
tenseur de Green
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Reprenons l’équation constitutive du tenseur de Green:
dont on prend la transformée de Fourier par rapport à la variable r:
avec
En inversant, on obtient
Fonction de Green dans le domaine spectral = Fonction de Green de ligne de transmission
(Line Transmission Green’s Fonction)
3. Représentation spectrale du
tenseur de Green
Séminaire tenseur de Green
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Il est possible de réobtenir la représentation spatiale en prenant la transformée de
Fourier inverse:
De nouveau, intégrale non convergente MAIS plus besoin de définir Vδ
Après calculs …
Tenseur de Green pour milieu
homogène isotrope
où
Représentation spectrale de P.V. G(r,r’)
Effet des charges sur
Avec Vδ en forme de disque
le disque d’exclusion
2. Représentation spatiale du
tenseur de Green
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2. Représentation spatiale du
tenseur de Green
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