DEMONSTRATIONS – QUADRILATERES Les données utiles Le

DEMONSTRATIONS – QUADRILATERES
I – COMMENT ECRIRE UNE DEMONSTRATION
* Une démonstration doit contenir ces 3 étapes :
Les données utiles
Le théorème
La conclusion
* LES DONNEES UTILES :
Une donnée est quelque chose dont on est sûr ( pas dont on a l’impression )
On trouve les données soit dans l’énoncé, soit grâce au codage d’une figure.
Il arrive de ne pas utiliser toutes les données pour une démonstration.
Il faut donc repérer les données utiles.
On peut écrire les données en commençant par « On sait que ».
* LA CONCLUSION :
C’est, en général, ce qu’il est demandé de démontrer dans l’énoncé.
On peut l’écrire en commençant par « Donc ».
Remarque : Une conclusion devient alors quelque chose dont on est sûr.
On peut donc la considérer comme une donnée pour la suite.
* LE THEOREME :
C’est le lien entre les données et la conclusion : il sert à expliquer, connaissant les
données, comment on obtient la conclusion.
Son écriture est composée des données ( après « Si » ) et de la conclusion ( après
« alors » ).
Il ne comporte jamais les lettres de la figure.
Exemples de théorèmes en lien avec les quadrilatères particuliers
-- Voici un PARALLELOGRAMME avec les codages qui lui correspondent :
En s’aidant des codages, on obtient les théorèmes suivants :
- Diagonales :
Si un quadrilatère est un parallélogramme,
alors ses diagonales se coupent en leur milieu.
Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu
alors c’est un parallélogramme.
-
Côtés opposés :
Si un quadrilatère est un parallélogramme,
alors ses côtés opposés sont parallèles.
Si un quadrilatère est un parallélogramme,
alors ses côtés opposés sont de même longueur.
Si les côtés opposés d’un quadrilatère sont parallèles
alors c’est un parallélogramme.
Si les côtés opposés d’un quadrilatère sont de même longueur
alors c’est un parallélogramme.
-- Voici un LOSANGE avec les codages qui lui correspondent :
Un losange a toutes les propriétés d’un parallélogramme mais pas seulement…
En s’aidant des codages, on obtient les théorèmes suivants :
- Diagonales :
Si un parallélogramme est un losange,
alors ses diagonales sont perpendiculaires.
Si les diagonales d’un parallélogramme sont perpendiculaires,
alors c’est un losange.
- Côtés :
Si un parallélogramme est un losange,
alors ses côtés sont tous de même longueur.
Si les côtés d’un parallélogramme sont tous de même longueur,
alors c’est un losange.
-- Voici un RECTANGLE avec les codages qui lui correspondent :
Un rectangle a toutes les propriétés d’un parallélogramme mais pas seulement…
En s’aidant des codages, on obtient les théorèmes suivants :
- Diagonales :
Si un parallélogramme est un rectangle,
alors ses diagonales sont de même longueur.
Si les diagonales d’un parallélogramme sont de même longueur,
alors c’est un rectangle.
- Angles :
Si un parallélogramme est un rectangle,
alors il a quatre angle droits
Si un parallélogramme a au moins un angle droit,
alors c’est un rectangle.
Exemples de démonstrations
1°) On sait que A est le milieu du segment [ CD ] et que A est le milieu du segment [ BE ].
Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu,
alors c’est un parallélogramme
Donc BCED est un parallélogramme.
2°) On sait que ABC est isocèle en A.
Si un triangle est isocèle, alors il a deux angles de même mesure
Donc les angles de sommet B et C ont la même mesure
3°) On sait que AB = BC = CD = DA.
Si un quadrilatère a ses côtés de même longueur, alors c’est un losange
Donc ABCD est un losange.
4°) On sait que ABCD est un parallélogramme.
Si un quadrilatère est un parallélogramme,
alors ses côtés opposés sont parallèles
Donc ( AB ) et ( CD ) sont parallèles, ainsi que ( AD ) et ( BC ).
5°) On sait que AB = AC.
Si un triangle a deux côtés de même longueur, alors il est isocèle
Donc ABC est isocèle en A.
6°) On sait que ABCD est un parallélogramme et que ( AC ) et ( BD ) sont perpendiculaires.
Si les diagonales d’un parallélogramme sont perpendiculaires,
alors c’est un losange
Donc ABCD est un losange
7°) On sait que ABCD est un losange.
Si un quadrilatère est un losange, alors tous ses côtés sont de même longueur
( alors ses diagonales sont perpendiculaires )
Donc AB = BC = CD = DA
( ou ( AC ) et ( BD ) sont perpendiculaires )
II – EXEMPLE DE DEMONSTRATION
ENONCE : ( d1 ) et ( d2 ) sont deux droites parallèles.
A et B sont deux points de ( d1 ) distants de 4 cm.
C et D sont deux points de ( d2 ) distants de 8 cm.
Le point E est le milieu de [ CD ].
Démontrer que ABEC est un parallélogramme
FIGURE :
A
4
B
E
C
Au brouillon :
D
8
D
(AB) // (CE)
AB = 4
CD = 8
CE = 4
E mil. de [CD]
P
2 côtés
// et
même
longueur
C
para.
ABEC para.
REPONSE :
On sait que E est le milieu de [ CD ] et que CD = 8 cm donc CE = 4 cm.
On sait aussi que AB = 4 cm et ( AB ) et ( CE ) sont parallèles.
Si un quadrilatère a deux côtés parallèles et de même longueur,
alors c’est un parallélogramme.
Donc ABEC est un parallélogramme.