Sommes Le symbole Soit n un entier naturel et In la somme des entiers impairs 1, 3, 5, …,2n – 1. In = 1 + 3 + 5 + …+ (2n – 1) Pour n = 5 : I5 = 1 + 3 + 5 + 7+ 9 Pour n = 4 : I4 = 1 + 3 + 5 + ?+ 7 Pour n = 3 : I3 = 1 + 3 + 5 + ?+ 5 ??? Le symbole n On introduit la notation : I n (2k 1) k 1 •Plus concis •Ecriture compréhensible même si n = 1, n = 2… •Permet de savoir combien il y a de termes. La somme n’est pas fonction de k. n On peut tout aussi bien écrire : I n (2 j 1) j 1 (k et j sont des variables muettes) Le symbole Quelques exemples 5 j ( j 1) j 1 n 1 n k 1 n a an k 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 Le symbole Propriété 1 Pour tout entier naturel n et pour toutes suites de nombres (un) et (vn) : n u k 0 k n n k 0 k 0 vk uk vk Propriété 2 Pour tout entier naturel n, pour toute suite de nombres (un) n et pour tout nombre réel a : au k 0 n k a uk k 0 Propriété 3 Pour tous entiers naturel n (n > 1) et p tels que p < n, et pour toute p n suite de nombres (un) : u u k 0 k k 0 k n u k p 1 k Calcul de sommes d’entiers Soit n un entier naturel non nul. On se propose de calculer les sommes : n S1 ( n) k k 1 n S 2 (n) k 2 k 1 n S3 ( n) k 3 k 1 n Calcul de S1 (n) k k 1 Un exemple historique S1 (100) 1 2 3 ... 98 99 100 S1 (100) 100 99 98 ... 3 2 1 2S1 (100) 101 101 101 ... 101 101 101 1 00 S1 (100) k k 1 100 100 k 1 k 1 d'où 2S1 (100) k 101 k 100 S1 (100) 101 k k 1 100 2S1 (100) k 101 k 100 101 S1 (100) 2 k 1 somme S1 n Calcul de S1 (n) k k 1 Première méthode : Un changement de variable n n k 1 d'où 2S1 (n) k n 1 k n k 1 k 1 S1 (n) n 1 k k 1 n S1 (n) k n n k 1 k 1 2S1 (n) k n 1 k n 1 n(n 1) S1 (n) 2 n Calcul de S1 (n) k k 1 Deuxième méthode : Une somme « télescopique » 2 Pour tout nombre k : k 2 k 1 2k 1 n n Donc : k k 1 2k 1 k 1 k 1 2 2 nn nn nn nn kk11 k 1 k 1 kk11 22kk 11 kk k k11 22 kk 11 n2 n(n 1) S1 (n) 2 22 2S1 (n) n n et : 2k 1 n 2 k 1 n Calcul de S2 (n) k 2 k 1 Une somme télescopique Pour tout nombre k : k 3 k 1 3k 2 3k 1 3 Donc : k k 1 3k 2 3k 1 k 1 k 1 n 3 3 nn nn kk11 kk11 n nn n n nn kk11 kk 11 kk11 33 22 3 k k 1 3 k k k 1 3 k 3 kk 11 33 3S 2 (n) 3S1 (n) n3 n(n 1) 3S2 (n) n 3 n 2 3 n n 3S2 (n) 2n2 3(n 1) 2 2 n(n 1)(2n 1) S2 (n) 6 n Calcul de S3 (n) k 3 k 1 Pour tout entier naturel k non nul : kk22(k 1)22 kk22((kk1)1)2 2 S1 (k ) S1 (k 1) 44 4 k3 2 2 La différence des carrés de nombres triangulaires successifs est un cube. n S3 ( n ) k k 1 n 3 Donc S3 (n) S1 (k ) S1 (k 1) S1 (n) k 1 n(n 1) S3 ( n) 2 2 2 2 2 Somme des termes d’une suite géométrique Soit q un réel non nul. n On pose, pour tout entier naturel n : Sn q k k 0 n alors qSn Sn q k 0 k 1 n qk k 0 q n 1 1 q n 1 1 Si q 1, Sn q 1 Si q 1, S n n 1 Du bon usage des pointillés Quel sens donner aux écritures : 1 1 1 1 1 ... n ... 2 4 8 2 0,33333… 0,99999… Du bon usage des pointillés Soit n un entier naturel quelconque. n(n 1) 1 2 3 ... n (1) 2 n(n 1) 1 2 3 ... (n 1) (2) 2 n(n 1) Donc: 1 2 3 ... (n 1) 1 +1 2 n n(n 1) Donc: 1 2 3 ... n +1 2 n(n 1) n(n 1) Donc : +1 = d'où n(n 1) 2 n(n 1) 2 2 n 2 n d'où n 1 Où est l’erreur ? Du bon usage des pointillés On pose : S = 1 – 1 + 1 – 1 +…+ 1 – 1 +… Alors : S =1 – (1 – 1 + 1 – … – 1 + 1 – …) S=1–S S = 0,5 Où est l’erreur ? Aire sous la parabole La parabole ci-contre représente la fonction f définie par : f (x) = x2 + 4 . L’objectif est de calculer l’aire sous l’arche de parabole hachurée ci-contre Aire sous la parabole A = Aire (ASA’) = 8 4 2 2ème étape On ajoute les aires des 4 triangles A’I’m’, I’m’S, SIm, ImA . Ces 4 triangles ont une hauteur commune égale à 1 (AA’/4), une même base Im = OS/4 Leur aire cumulée est donc A /4 = 2 Aire sous la parabole 3e étape : on ajoute des triangles dont l’aire cumulée équivaut à celle d’un triangle de hauteur AA’ et de base OS/16. elle est donc égale à A /16. A chaque étape, on rajoute ainsi des triangles dont l’aire totale est le quart de l’aire totale des triangles rajoutés à l’étape précédente. Aire sous la parabole Pourquoi la base est-elle ainsi à chaque fois divisée par 4 ? A la première étape, la base vaut OS. A l’étape suivante, en posant a=0 et b=2, la base vaut : ab f 2 1 2 a b f (a) f (b) 1 f a b OS 2 4 4 2 Et ainsi de suite … ab 2 L’aire totale de l’arche de la parabole vaut donc :