Les formes de représentation d`un sous

Le système numérique
Mathématique 10e – 1.1
Les nombres réels
Irrationnels
p
2
10 =3,333333...
3
4,2567
Rationnels
Décimaux
Entiers Relatifs
1
 50
Entiers Naturels
10
 3 7  3
8s’écrire
* Nombres rationnels : Ils
peuvent
100 - 2
0 3
2
* Nombres
décimaux:
incluent
les nombres entiers
sous la forme
d ’uneils
fraction
d ’entiers
*Nombres
entiers naturels
* Nombres entiers relatifs : entiers positifs et négatifs
* Nombres réels : nombres rationnels (entiers,
décimaux et fractionnaires) et nombres irrationnels
(tels que p ou 2)
Les sous-ensembles des nombres réels
Fiche 9
Les nombres rationnels (Q)
• Ce sont toutes les fractions et tous les
nombres fractionnaires qui sont des nombres
rationnels.
– Exemple:
1 7
3 
2 2
Les nombres rationnels (Q)
• Tous les nombres décimaux et tous les nombres à
décimales périodiques sont des nombres
rationnels.
– Exemple:
Nombre décimal
0.5 =
Nombre à décimale périodique
1
2
3
0.272 727 272… =
11
Ici, les chiffres qui se répète se nomment la période et le nombre de chiffres
qui se répètent constitue la longueur de la période.
La période est donc 27 et la longueur est 2.
Changer un nombre périodique en
fraction
• Exemple 1:
0.23232323…
x  0.232323...  0.23
100 x  23.23
100 x  x  23
99 x 23

99 99
23
x
99
23
 0.232323...
99
Les nombres rationnels (Q)
• Les nombres entiers (Z) sont des nombres
rationnels.
• Les nombres naturels (N) sont des nombres
rationnels.
• Les nombres naturels non nuls (N*) sont des
nombres rationnels.
Les nombres entiers (Z)
• Un nombre entier est un nombre qui
n’appartient aucun reste fractionnaire (n’a pas
de décimaux). Ceux-ci peuvent être négatifs
ou positifs. Le 0 fait aussi partie des nombres
entiers.
– Exemple: Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
6
6
3
3
• Remarque: 1 peut aussi s’écrire comme
ou …
donc une fraction qui occupe le même nombre au
numérateur et au dénominateur est un nombre entier.
Les nombres naturels non nuls (N*)
• Un nombre naturel non nul est un nombre
entier supérieur à 0.
– Exemple:
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …}
Fiche 2
Les nombres naturels (N)
• Un nombre naturel est un nombre entier
supérieur ou égal à 0.
– Exemple:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}
Les nombres irrationnels (Q’)
• Un nombre est irrationnels si celui-ci a une
infinité de nombres décimaux sans répétition
périodique.
– Exemple:
– 2 = 1,414 213 562 373 095 048 801 688 72…
– 3 = 1,7320508075 6887729352 7446341…
– π = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279
50288 41971 69399 37510…
Les différentes représentations d’un
sous-ensemble de R
• Il y a quatre différentes formes de
représentation
Extention
Compréhension
Intervalle
Droite numérique
Représentation par
Extension
• Les éléments sont énumérés entre des
accolades et séparer par une virgule.
• La représentation par extension est utilisée
pour représenté un sous-ensemble fini de R
ou un sous-ensemble infinie qui représente
une régularité.
Exemples
Représentation par extension
Exemples
Ensemble Représenté

1, 2, 4, 8, 16
 Les facteurs de 16

0, 3, 6, 9, 12
 Les multiples de 3

...  2,  1, 0, 1, 2...
 Les nombres entiers
Représentation par
Compréhension
• Entre accolades, on définit premièrement
l’ensemble de référence et ensuite, on décrit les
éléments de l’ensemble.
• Cette notation peut être utilisée pour
représenter un sous-ensemble spécifique de R.
Exemples
Représentation par compréhension
Exemples

x  
|x4

x   | x est

x  R | 1  x  7
premier 
Ensemble Représenté
 Les nombres entiers inf érieurs ou
égaux à 4.
 Les nombres premiers
 Les nombres réels compris entre
 1 non inclus et 7 inclus
Représentation par
Intervalle
• On indique entre crochets et séparées par une
virgule, les bornes de l’intervalle. Si la borne
est incluse dans l’intervalle (  ou  ) alors le
crochet et tourné vers l’intérieur (  ou  ). Si
l’intervalle n’est pas incluse ( ou  ), les
crochets seront tournés vers l’extérieur (  ou  ).
Représentation par
Intervalle
• Représente tout les nombres de R compris
entre les bornes de l’intervalle. Les bornes
peuvent être comprises ou non.
Exemples
Représentation par Intervalle
Exemples
Ensemble Représenté

  5, 8 
 Les nombres réels de  5 inclus
à 8 non inclus .

1,   
 Les nombres réels de 1 non inclus
à plus l ' inf ini.

  , 12 
 Les nombres réels de moins l ' inf ini
à 12 inclus .
Représentation par
Droite numérique
• On représente le sous-ensemble par des
points s’il s’agit de valeurs discrètes ou par un
segment ou par un segment ou une demidroite s’il s’agit d’un intervalle.
Représentation par
Droite numérique
• Cette notation est utilisée plus fréquemment
pour représenter un intervalle de R, mais on
peut aussi l’utiliser pour représenter soit un
petit nombre d’éléments ou un sous-ensemble
de N, Z ou Q qui présente une régularité.
Rappel:
< ou >
 (point vide) – nombre n’est pas inclu
ou  
(point noirci) – nombre est inclu
Exemples
Représentation par droite numérique
Exemples
Ensemble Représenté
1
et 1
3

 Les nombres

 Les nombres entiers sup érieurs à 7

 Les nombres réels de 2 inclus à
5 non inclus
Exemple 1
Représentation par droite numérique
Représente ces inéquations sur la droite numérique (x  R ):

-3
-2
xR/ x  4
-1
0
]-∞, 4[
1
2

3
4
Exemples 2
Représentation par droite numérique
Représente ces inéquations sur la droite numérique :

-3
-2
xR/ x  3
-1
0
1
[ -3, + ∞ [
2

3
4
Exemples 3
Représentation par droite numérique
Représente ces inéquations sur la droite numérique (x  R ):
x  R
-3
-2
-1
4 x 3
0
1
] -4, 3 ]
2

3
4
Aide moi à compléter ce tableau
La notion du radical
2
x ou x
• C’est une racine carrée où 2 est l’indice et
x est le radicande.
Rappel:
- Les nombres carrés sont:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …
La notion du radical
3
x
• C’est une racine carrée où 3 est l’indice et
x est le radicande.
Rappel:
- Les nombres cubiques sont:
1, 8, 27, 64, 125, 216, …
La notion du radical
Exemples: calculatrice
a) 16  4
b) 3 27  3
c) 2  1.414213562373095048801688...
 1.414
d) 50  ?
e) 3 5  ?
La notion de valeur absolue
La valeur absolue d’un nombre réel est sa
distance par rapport à «0» (zéro) sur une
droite numérique des nombres réels.
Pour représenter la valeur absolue d’un nombre
réel x, on écrit x, ce qui désigne la valeur
positive de x.
La notion de valeur absolue
Exemple
a) | -5 | = 5
b) | 1 – 3 | = | -2 | = 2
c) | 3 | - | -2 | = 3 – 2 = 1
Exercice
Place les nombres suivants sur la droite numérique:
5
3
,  3 , | 3 |,
,
2
4
-3
-2
-1
0
1
3 , et p
2
3
4