1 ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci Brevet de trigonométrie La trigonométrie étudie les relations entre les angles et les longueurs dans un triangle. Les fonctions cosinus, sinus et tangente y jouent un rôle fondamental. Beaucoup de formules sont à connaître, mais la plupart peuvent se retrouver, notamment en «lisant sur le cercle trigonométrique». 1 «Enroulement» de la droite R sur le cercle trigonométrique → → Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O, − u,− v ). Le cercle trigonométrique noté C est le cercle de centre O et de rayon 1. Si M est un point de C d’angle polaire θ (mesuré en radians), −−→ → c’est-à-dire (− u , OM ) = θ, les coordonnées du point M sont (cos θ, sin θ). On en déduit par le théorème que pour tout x ∈ R, on a cos2 + sin2 x = 1. Les relations suivantes se lisent sur le cercle trigonométrique : soit x ∈ R, – – – – – – cos(x + 2π) = cos(−x) = cos(x + π) = cos(x − π) = cos(x + π2 ) = cos( π2 − x) = x 0 cos x Il faut connaître les valeurs remarquables de cos, sin et tan : sin x tan x 2 π 6 π 4 π 3 π 2 Graphe des fonctions cosinus et sinus Lire les variations des fonctions cosinus et sinus sur le cercle et en déduire l’allure de leur graphe. 3 Formules d’addition La relation ei(a+b) = eia eib entre nombres complexes se retient facilement. En identifiant les parties réelles (resp. imaginaires), on retrouve alors les formules d’addition du cosinus (resp. de sinus). cos(a + b) = cos(a − b) sin(a + b) = = sin(a − b) = (1) cos(a + (−b)) = (2) (3) (4) 2 ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci On en déduit facilement les formules de duplication suivantes : cos(2x) sin(2x) 4 = = (5) (6) Formules de linéarisation : transformer un produit en une somme Comment calculer les intégrales suivantes : Z 0 π 2 cos x dx, Z π 2 2 cos x dx, 0 Z π 2 cos x sin x dx, 0 Z π 2 cos 3x cos 2x dx? 0 Pour la deuxième, la difficulté est qu’on ne connaît pas de primitive de cos2 . Comme il est plus simple d’intégrer une somme qu’un produit, l’idée est de transformer le produit cos2 en somme (on linéarise) : pour cela il suffit «d’inverser» la formule de duplication du cos. cos2 x = Pour la troisième, on peut au choix trouver une primitive ou «inverser» la formule de duplication du sin. Pour la quatrième, on linéarise cos a cos b en additionnant les formules d’addition (1) et (2) cos a cos b = (7) cos a sin b sin a sin b = = (8) (9) Ces formules de linéarisation peuvent s’«inverser», c’est à dire exprimer une somme de cos ou de sin comme un produit de cos ou de sin : cos p + cos q sin p + sin q cos p − cos q = = = (10) (11) (12) Il faut pour cela poser p = a + b et q = a − b dans les formules d’addition. 5 Équations trigonométriques Les relations suivantes se lisent sur le cercle et doivent donc vous paraître naturelles : cos a = cos b sin a = sin b ⇔ ⇔ (a = b (a = b mod 2π) mod 2π) ou ou (a = −b mod 2π) (a = π − b mod 2π) (13) (14) Et pour l’équation cos a = sin b ? Et bien on se ramène à l’un des cas précédents en utilisant π par exemple que sin b = cos( − b). 2 6 Plus tard, dans le chapitre «de nouvelles fonctions usuelles» Étude de la fonction tangente, sa formule d’addition et a cos t + b sin t = A cos(t − φ).