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Vecteurs
algébriques
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Introduction
L’étude des combinaisons linéaires de vecteurs géométriques nous a
permis de voir qu’il est possible, dans un repère donné, de caractériser
un vecteur par ses composantes.
Lorsque le repère est celui d’une droite, il suffit d’une composante
pour caractériser un vecteur de cette droite. Dans un plan de repère
connu, un vecteur du plan peut être caractérisé par un couple de
composantes. Pour caractériser un vecteur de l’espace, il faut trois
composantes.
La description d’un vecteur par ses composantes dans un repère est
appelé vecteur algébrique et c’est sur cette représentation des vecteurs
que nous porterons maintenant notre attention. Dans cette étude, nous
considérerons des repères particuliers du plan cartésien et de l’espace
cartésien.
Repère orthonormé
DÉFINITION
Repère orthonormé d’un plan
Un repère orthonormé d’un plan est un ensemble contenant un point
du plan et deux vecteurs de ce plan, unitaires et perpendiculaires
entre eux (orthogonaux).
On utilise un repère orthonormé dans la construction du plan
cartésien ou plan réel que l’on désigne également par R2. En fait, il y a
plusieurs repères orthonormés possibles, nous allons en privilégier
un.
Plan cartésien
DÉFINITION
Plan cartésien
Le plan cartésien (ou plan réel) est un plan
de repère orthonormé {O, i , j }, où i est
horizontal et orienté vers la droite et j
est vertical et orienté vers le haut.
Tout vecteur du plan peut alors s’écrire
sous la forme :
v = v1 i + v2 j ou sous la forme : v = (v1; v2).
En particulier :
i = 1 i + 0 j = (1; 0) et j = 0 i + 1 j = (0; 1)
DÉFINITION
Vecteur algébrique
Vecteur algébrique dans R2
2 est
2 possède
Un
un couple
Le vecteur
vecteur algébrique
algébriquededeRR
les
(v
caractéristiques
suivantes : dans le plan
1; v2). Il est représenté
cartésien
par un
vecteur
dontnotée
l’origine
• une longueur
appelée
module,
v
coïncide avec l’origine du système d’axes
2+v 2
v
=
v
et
définie
par
1
et dont l’extrémité est le point (v21; v2).
• une direction définie par l’angle a entre
la droite support du vecteur et la partie
positive de l’axe horizontal, où :
v2
a = arctan
v1
• un sens défini par l’angle q mesuré dans
le sens antihoraire à partir de la direction positive de l’axe horizontal.
S
Égalité
Nous avons défini de nouveaux objets d’études, les vecteurs
algébriques. Il nous faut maintenant définir l’égalité de tels objets.
DÉFINITION
Égalité de vecteurs algébriques dans R2
Deux vecteurs u = (u1; u2) et v = (v1; v2) sont égaux (ou équipollents) si et seulement si leurs composantes respectives sont égales.
Symboliquement :
u = v  u1 = v1 et u2 = v2
On peut maintenant avoir recours à l’égalité pour définir les
opérations sur les vecteurs algébriques.
DÉFINITIONS
Opérations
Addition de vecteurs algébriques dans R2
Soit u = (u1; u2) et v = (v1; v2) , deux vecteurs algébriques dans R2.
Le vecteur somme est défini par l’égalité
suivante :
u + v = (u1; u2) + (v1; v2) = (u1+ v1; u2+ v2)
Multiplication d’un vecteur algébrique par un scalaire dans R2
Soit u = (u1; u2), un vecteur algébrique
dans R2 et k un scalaire.
La multiplication du vecteur par le scalaire
k donne le vecteur défini par l’égalité
suivante :
k u = k(u1; u2) = (ku1; ku2)
S
Propriétés des opérations
Pour tout vecteur u, v et w  R2, l’ensemble des vecteurs algébriques, et
pour tout scalaire p et q  R, les propriétés suivantes s’appliquent :
1. Fermeture de l’addition sur l’ensemble des vecteurs
u + v  R2
2. Commutativité de l’addition des vecteurs
u +v = v +u
3. Associativité de l’addition des vecteurs
( u + v ) + w = u + (v + w)
4. Existence d’un élément neutre pour l’addition des vecteurs
Il existe, dans R2, un vecteur nul, noté 0 , tel que :
u +0 = u + 0 = u
5. Existence d’un élément opposé ( symétrique) pour l’addition des
vecteurs
Pour tout vecteur u  R2, il existe, dans R2, un vecteur opposé,
noté
– que :
u tel
u + (– u ) = (– u ) + u = 0
Propriétés des opérations
Pour tout vecteur u, v et w  R2, l’ensemble des vecteurs algébriques, et
pour tout scalaire p et q  R, les propriétés suivantes s’appliquent :
6. Fermeture de la multiplication par un scalaire sur l’ensemble des
vecteurs
p u  R2
7. Distributivité de la multiplication d’un vecteur sur une somme de
scalaires
(p + q) u = p u + q u
8. Distributivité de la multiplication par un scalaire sur une somme de
vecteurs
p( u + v ) = p u + p v
9. Associativité de la multiplication d’un vecteur avec le produit de
scalaires
(pq)u = p (q u )
10. Élément neutre pour la multiplication d’un vecteur par un scalaire
1u = u
Exemple 8.1.2
Représenter graphiquement les vecteurs
u = (6; 4) et v = (1; –2)
Déterminer les composantes, le module et le sens
du vecteur :
S
1
u +3 v
w =
2
En effectuant les opérations de multiplication par un scalaire et
d’addition des vecteurs, on obtient :
1
1
(6; 4) + 3(1; –2) = (3; 2) + (3; –6) = (6; –4)
u +3 v =
w =
2
2
Les composantes sont 6 et –4.
Le module est :
w =
62 + (–4)2 = 7,211… ≈ 7,2
–4
L’angle a est : a = arctan
6
= –33,69°
Puisque le vecteur est dans le quatrième quadrant, on a :
q = 360° – 33,69° = 326,31°
Exercice
Représenter graphiquement les vecteurs
u = (2; 3) et v = (2; 1)
Déterminer les composantes, le module et
le sens du vecteur :
S
w =2 u –3v
En effectuant les opérations, on obtient :
w = 2 u – 3 v = 2(2; 3) – 3(2; 1) = (4; 6) + (–6; –3) = (–2; 3)
Les composantes sont –2 et 3.
Le module est :
w =
(–2)2 + 32 = 3,60555… ≈ 3,61
3
L’angle a est : a = arctan
–2
= –56,31°
Puisque le vecteur est dans le deuxième quadrant, on a :
q = a + 180° = – 56,31° + 180° = 123,69°
Localisation d’un vecteur géométrique
Pour définir un vecteur géométrique de R2, il suffit
de donner son origine et son extrémité. Ainsi, le
vecteur dont l’origine est le point (5; 3) et l’extrémité
le point (–2; 9) est entièrement défini.
On remarque que, à chaque vecteur géométrique dont l’origine est au
point (0; 0), on associe un vecteur algébrique qui est défini en ne
donnant que les coordonnées du point à son extrémité.
Ainsi, au vecteur géométrique OA , on associe le vecteur algébrique
OA = (5; 3). On dit que ce vecteur algébrique est le vecteur position du
point A.
Translation d’un vecteur
DÉFINITION
Translation d’un vecteur
La translation d’un vecteur géométrique libre dans un repère est un
déplacement qui conserve les caractéristiques du vecteur (module,
direction et sens).
Tout vecteur géométrique de R2 peut être translaté de telle sorte que
son origine coïncide avec l’origine du système d’axes; on peut alors
associer un vecteur algébrique au vecteur géométrique translaté. Pour
translater un vecteur à l’origine, on peut utiliser la relation de
Chasles. Rappelons ce théorème.
THÉORÈME
Relation de Chasles
Pour tout point A, B et X du plan ou de l’espace, l’égalité :
est vérifiée.
AX + XB = AB
Translation d’un vecteur
Considérons le vecteur dont l’origine est le
point A(a1; a2) et dont l’extrémité est le point
B(b1; b2).
Considérons de plus le point O(0; 0). Par la
relation de Chasles, on peut écrire que :
AB = AO + OB
D’où : AB = – OA + OB = OB – OA
Le vecteur géométrique translaté à l’origine est alors :
AB = OB – OA
En considérant les vecteurs positions OB = (b1; b2) et OA = (a1; a2),
on a alors : AB = (b1; b2) – (a1; a2) = (b1 – a1; b2 – a2).
Le vecteur géométrique obtenu est un vecteur dont l’origine est le
point O(0; 0) et l’extrémité le point (b1 – a1; b2 – a2). On peut donc lui
associer un vecteur algébrique. Nous le noterons :
AB = (b1 – a1; b2 – a2)
Composantes d’un vecteur dans R2
DÉFINITION
Composantes d’un vecteur dans R2
Considérons dans un système d’axes un
vecteur géométrique AB dont l’origine est
le point A(a1; a2) et l’extrémité le point
B(b1; b2).
On appelle projections orthogonales du
vecteur AB les vecteurs obtenus en projetant le vecteur perpendiculairement sur les
axes.
La longueur dirigée de la projection horizontale, ABx , est b1 – a1,
celle de la projection verticale, ABy , est b2 – a2.
Ces longueurs dirigées sont les composantes algébriques du vecteur.
Exemple 8.1.3
Trouver les composantes du vecteur AB ,
où A(5; 3) et B(–2; 9). À l’aide des composantes, déterminer les caractéristiques
du vecteur.
Par la relation de Chasles, on a :
AB = OB – OA
Puisque OB = (–2; 9) et OA = (5; 3), on a :
AB = OB – OA = (–2; 9) – (5; 3) = (–7; 6) = (a; b)
Les composantes sont –7 et 6.
Le module est : AB
=
(–7)2 + 62 =
6
L’angle a est : a = arctan
–7
85 = 9,219… ≈ 9,22
= –40,6°
Puisque le vecteur est dans le deuxième quadrant, on a :
q = a + 180° = –40,6° + 180° = 139,4°
S
Exercice
Trouver les composantes du vecteur AB ,
où A(4; 7) et B(–3; 2). À l’aide des composantes, déterminer les caractéristiques
du vecteur.
Par la relation de Chasles, on a :
AB = OB – OA
Puisque OB = (–3; 2) et OA = (4; 7), on a :
AB = OB – OA = (–3; 2) – (4; 7) = (–7; –5) = (a; b)
Les composantes sont –7 et –5.
Le module est : AB
=
(–7)2 + (–5)2 =
–5
L’angle a est : a = arctan
–7
74 = 8,6023… ≈ 8,60
= 35,54°
Puisque le vecteur est dans le troisième quadrant, on a :
q = a + 180° = 35,54° + 180° = 215,54°
S
Espace cartésien
DÉFINITION
Espace cartésien
L’espace cartésien est un espace de repère
orthonormé {O, i , j , k }.
Les vecteurs du repère sont orientés
comme dans l’illustration ci-contre.
Tout vecteur de l’espace peut alors
s’écrire sous l’une des formes suivantes :
u = u1 i + u2 j + u3 k ou u = (u1; u2 ; u3).
En particulier :
i = 1 i + 0 j + 0 k = (1; 0; 0)
j = 0 i + 1 j + 0 k = (0; 1; 0)
et k = 0 i + 0 j + 1 k = (0; 0; 1)
Espace R3
On désigne par R3 l’espace tridimensionnel dans lequel chaque point est
caractérisé par trois coordonnées qui
forment un triplet. Les axes sont
désignés par x, y et z et représentés
comme dans l’illustration ci-contre. Pour
représenter un triplet dans cet espace, on
procède comme dans R2, en reportant
perpendiculairement les coordonnées sur
les axes.
Représentons les triplets (3; –4; 4) et (–4; 3; 4).
On peut, tout comme dans R2, considérer un vecteur dont l’origine est
un point A et l’extrémité un point B, et déterminer un vecteur
algébrique égal dont l’origine est au point (0; 0; 0).
Dans R3, un vecteur algébrique est un triplet de la forme :
u = (u1; u2; u3)
Il est caractérisé par les coordonnées du point à son extrémité.
Vecteur algébrique dans R3
DÉFINITION
Vecteur algébrique dans R3
Un vecteur algébrique de R3 est un triplet (u1; u2; u3), où les composantes sont toutes des nombres réels, ce que l’on note ui  R pour
tout i.
Le vecteur algébrique de R3 est
représenté par une flèche dont
l’origine coïncide avec l’origine du
système d’axes et dont l’extrémité
est le point (u1; u2 ; u3).
Remarque
Pour définir la direction, il n’est
pas suffisant de préciser l’angle
que le vecteur fait avec l’axe des x;
il faut donner les angles que le
vecteur fait avec chacun des axes.
Module d’un vecteur algébrique de R3
Le module du vecteur est obtenu par
une généralisation du théorème de
Pythagore. En effet, d’après la
figure ci-contre, on a :
OP2 = OR2 + u32
= (u12 + u22) + u32
On a donc :
OP =
u12 + u22 + u32
Cela donne le théorème suivant :
THÉORÈME
Module d’un vecteur algébrique dans R3
Soit u = (u1; u2; u3) , un vecteur algébrique de R3. Son module (ou sa
norme) est :
S
u =
u12 + u22 + u32
Angles directeurs
Les angles directeurs d’un vecteur
algébrique de R3 sont les angles notés
a (alpha), b (bêta) et g (gamma), que
le vecteur fait avec les axes orientés x,
y et z respectivement :
On a alors :
cos a =
u1
,
cos b =
u
et
cos g =
u2
u
u3
u
où
u
est le module du vecteur.
Les cosinus directeurs satisfont donc à la relation suivante :
cos2 a + cos2 b + cos2 g = 1
Égalité de vecteurs algébriques de R3
La définition de l’égalité sur les vecteurs algébriques de R3 est une
simple généralisation de l’égalité dans R2. Il en est de même pour
l’addition et la multiplication par un scalaire. Ces opérations ont les
mêmes propriétés que les opérations dans R2.
DÉFINITION
Égalité de vecteurs algébriques dans R3
Deux vecteurs de R3, u = (u1; u2; u3) et v = (v1; v2; v3) sont égaux (ou
équipollents) si et seulement si leurs composantes respectives sont
égales. Symboliquement :
u = v  u1 = v1, u2 = v2 et u3 = v3
DÉFINITION
Opérations dans R3
Addition de vecteurs algébriques dans R3
Soit u = (u1; u2; u3) et v = (v1; v2; v3), deux vecteurs
dans R3.
Le vecteur somme est défini par l’égalité suivante :
algébriques
u + v = (u1; u2; u3) + (v1; v2; v3) = (u1+ v1; u2+ v2; u3+ v3)
DÉFINITION
Multiplication d’un vecteur algébrique par un scalaire dans R3
Soit u = (u1; u2; u3) un vecteur algébrique dans R3 et k un scalaire.
La multiplication du vecteur par le scalaire k donne le vecteur défini
par l’égalité suivante :
S
k u = k(u1; u2; u3) = (ku1; ku2; ku3)
Vecteurs colinéaires
Rappelons la définition de vecteurs colinéaires avant de voir un
critère algébrique pour déterminer si deux vecteurs de R3 le sont.
DÉFINITION
Vecteurs colinéaires
On dit que des vecteurs sont colinéaires si et seulement si, ramenés
à une origine commune, ils ont la même droite support.
Deux vecteurs algébriques sont colinéaires si et seulement si il existe
un scalaire k tel que : (u1; u2; u3) = k (v1; v2; v3), d’où l’on tire :
THÉORÈME
Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs algébriques dans R3, u = (u1; u2; u3) et v = (v1; v2; v3),
sont colinéaires si et seulement si :
u1
u2 u3
=
=
=k
v1
v2
v3
Exemple 8.1.6
Soit u = (2; –4; 6) et v = (–1; 2; 0).
a) Déterminer w, la somme des vecteurs.
b) Calculer le cosinus des angles que le
vecteur somme fait avec les axes et
vérifier que : cos2 a + cos2 b + cos2 g = 1.
c) Calculer ces angles.
a) u + v = (2; –4; 6) + (–1; 2; 0) = (1; –2; 6)
12 + (–2)2 + 62 = 41
b) On trouve : w =
1
6
–2
, cos b =
et cos a =
, cos g =
41
41
41
1
4
36
2
2
2
1
–2
+
+
Cela
donne
: cos a + cos b + cos g
=1
a
=
arccos
b = arccos
41
41
41
c)
=
81,02°,
= 108,20°
=
41
41
–2
et g = arccos
= 20,44°
41
SS
Exercice
Soit u = (3; 5; –3) et v = (5; 2; 4).
a) Déterminer w, la somme des vecteurs.
b) Calculer le cosinus des angles que le vecteur somme fait avec les axes
et vérifier que :
cos2 a + cos2 b + cos2 g = 1
c) Calculer ces angles.
a) u + v = (3; 5; –3) + (5; 2; 4) = (8; 7; 1)
82 + 72 + 12 = 114
w =
8
1
7
, cos b =
et cos a =
, cos g =
114
114
114
64
497
1
2
2
2
8
+
Cela
donne
: cos a + cos b + cos bg ==arccos+
=1
a
=
arccos
c)
114 114
= 41,47°,
=114
49,03°
114
114
1
et g = arccos
= 84,63°
114
b) On trouve :
SS
Exemple 8.1.7
Trouver les caractéristiques de AB ,
où A(2; –3; 5) et B(–3; 4; 2).
Par la relation de Chasles, on a :
AB = OB – OA
Puisque OB = (–3; 4; 2) et OA = (2; –3; 5),
AB = OB – OA = (–3; 4; 2)– (2; –3; 5)
= (–5; 7; –3) = (a; b; c)
Le module est : AB = (–5)2 + 72 + (–3)2 = 83 ≈ 9,11
–5
–3
7
, cos b =
et cos a =
, cos g =
83
83
83
–5
7
a = arccos
b = arccos
83 = 123,29°,
83 = 39,79°
–3
et g = arccos
83 = 109,23°
S
Exercice
Trouver les caractéristiques de AB ,
où A(7; –6; 2) et B(–1; 4; 3).
Par la relation de Chasles, on a :
AB = OB – OA
Puisque OB = (–1; 4; 3) et OA = (7; –6; 2),
AB = OB – OA = (–1; 4; 3) – (7; –6; 2)
= (–8; 10; 1) = (a; b; c)
Le module est : AB = (–8)2 + 102 + 12 = 165 ≈ 12,85
–8
1
10
, cos b =
et cos a =
, cos g =
165
165
165
–8
10
a = arccos
b = arccos
=
128,52°,
= 38,88°
165
165
1
et g = arccos
S
165 = 85,54°
Vecteur algébrique dans Rn
On ne peut donner de représentation géométrique d’un vecteur
algébrique de Rn. Cependant, tout phénomène comportant n
variables se traite avec des vecteurs de Rn.
DÉFINITION
Vecteur algébrique dans Rn
Un vecteur algébrique de Rn est une suite (u1; u2; …; un), où les
composantes sont toutes des nombres réels, ce que l’on note ui  R
pour tout i.
Le module ( ou la norme) du vecteur algébrique de Rn est :
u
=
u12 + u22 + … + un2
Égalité de vecteurs algébriques de Rn
La définition de l’égalité sur les vecteurs algébriques de Rn est une
simple généralisation de l’égalité dans R2 et dans R3. Il en est de
même pour l’addition et la multiplication par un scalaire. Ces
opérations ont les mêmes propriétés que les opérations dans R2 et
dans R3.
DÉFINITION
Égalité de vecteurs algébriques dans Rn
Deux vecteurs de Rn, u = (u1; u2 ; ….; un) et v = (v1; v2 ; …; vn) sont
égaux (ou équipollents) si et seulement si leurs composantes
respectives sont égales. Symboliquement :
u = v  u1 = v1, u2 = v2, … et un = vn
DÉFINITION
Opérations dans Rn
Addition de vecteurs algébriques dans Rn
Soit u = (u1; u2; …; un) et v = (v1; v2; …; vn), deux vecteurs algébriques dans Rn.
Le vecteur somme est défini par l’égalité suivante :
u + v = (u1; u2; …; un) + (v1; v2; …; vn)
= (u1+ v1; u2+ v2 ; …; un+ vn)
DÉFINITION
Multiplication d’un vecteur algébrique par un scalaire dans Rn
Soit u = (u1; u2;…; un) un vecteur algébrique dans Rn et k un
scalaire.
La multiplication du vecteur par le scalaire k donne le vecteur défini
par l’égalité suivante :
S
k u = k(u1; u2; …; un) = (ku1; ku2; …; kun)
Conclusion
Nous avons défini de nouveaux objets d’étude, les vecteurs
algébriques. Nous avons déterminé à quelles conditions deux
vecteurs algébriques sont égaux et défini deux opérations sur ces
vecteurs : l’addition et la multiplication par un scalaire.
Nous avons également présenté les propriétés des opérations dont
nous nous sommes servies pour manipuler des expressions
algébriques comportant des vecteurs.
On remarque que les propriétés de ces deux opérations sont les
mêmes que celles des opérations d’addition et de multiplication par
un scalaire dans l’ensemble des matrices et dans l’ensemble des
vecteurs géométriques.
Lecture
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en
sciences de la nature, Section 6.1, p. 147 à 157.
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en
sciences humaines, Section 6.1, p. 147 à 158
Exercices
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en
sciences de la nature, Section 6.2, p. 16, no 1 à 18.
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en
sciences humaines, Section 6.2, p. 159 et 160.