Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor Plan • • • • • Introduction : incertitudes sur les données Probabilités Distributions de probabilités Incertitudes, propagation des incertitudes Ajustement de courbes Mesure et incertitude • Toutes les quantités mesurées le sont à une précision finie • La science de la mesure consiste à – mesurer à la meilleure précision possible – d’évaluer l’incertitude sur la mesure Erreur vs incertitude • Erreur : écart entre la mesure et la valeur vraie (en général inconnue) • Incertitude : écart probable • Les barres d’incertitude contiennent probablement la valeur vraie • Attention de ne pas sous-évaluer l’incertitude • Mieux vaut une mesure présentant une grande incertitude mais qui contienne la valeur vraie que l’inverse Mesure et incertitude • Chiffres significatifs et mesure • Quelle est la signification de : – – – – – Albert a 22 ans J’ai parcouru 100 kilomètres à vélo Le LEP mesure 26,66 km de circonférence Ce pointeur laser éclaire à 50 m This laser pointer shines to 54,68 yards Mesure et incertitude • Quelle est la signification de: – G = (6,67428 ± 0,00067) × 10-11 m3 kg-1s-2 – me = (9,10938215 × 10-31 kg) ± 50 ppb – www.physics.nist.gov/constants Chiffres significatifs a = 7,35678 ± 0,345 (utilisation incorrecte) a = 7,3 ± 0,3 a = 7,356 ± 0,04 a = 7,3568 ± 0,005 a = 7,35678 ± 0,0007 On arrondit l’incertitude à 1 chiffre significatif On arrondit la valeur au dernier chiffre significatif Chiffres significatifs (exemple) • Soit a = 3 m et b = 7 m • a/b = 0,428571 ... ? • a/b = 0,4 Incertitude • • • • • • Erreur de mesure Erreur systématique Incertitude aléatoire Incertitude sur une quantité dérivée Propagation des incertitudes Distribution de probabilité Erreur de mesure • Mesure de distance avec une règle graduée en millimètres: – La précision ~ ½ mm • Mesure de tension avec un multimètre: – La précision dépend de l’appareil – L’appareil est très précis mais la tension varie Erreur systématique • Vous avez mesuré une longueur à ± ½ mm – Mais la règle est fausse de 10% ! • Vous avez mesuré une tension à 0,01% – Mais l’appareil est décalibré de 5% • Vous avez fait une mesure avec grand soin – Mais un des appareils était débranché Incertitude aléatoire (statistique) • Vous répétez une mesure 100 fois • Les résultats se ressemblent mais ... Incertitude • L’ensemble des valeurs possibles sont décrites par une distribution de probabilité • L’incertitude représente un intervalle à l’intérieur duquel la vraie valeur se trouve probablement • L’incertitude = 1 déviation standard Incertitude Quelle est la signification de: – G = (6,67428 ± 0,00067) × 10-11 m3 kg-1s-2 – me = (9,10938215 × 10-31 kg) ± 50 ppb – L’incertitude = une déviation standard – La probabilité que la vraie valeur soit dans cet intervalle est de 68% Exemple de mesures • Fréquence d’un pendule (~ 1 s) • Chronomètre très précis (~ 1s par an) • À quelle précision puis-je mesurer la période ? – quelques dixièmes de seconde • L’histogramme présente une fluctuation • Je peux moyenner sur plusieurs périodes Exemple de mesures • Fréquence de ma respiration • Même précision de mesure que précédemment • L’histogramme est plus large • Le phénomène présente plus de variabilité que la précision de la mesure • Je peux moyenner Incertitude relative ou fractionnaire – – – – G = (6,67428 ± 0,00067) × 10-11 m3 kg-1s-2 G = 6,67428 × 10-11 m3 kg-1s-2 dG = 0,00067 × 10-11 m3 kg-1s-2 dG/G = 0,00067/ 6,67428 = 10-4 = 0,01 % – me = (9,10938215 × 10-31 kg) ± 50 ppb – d me / me = 5 × 10-8 – d me = 4,6 × 10-38 kg Propagation des incertitudes Additions et soustractions • a=9±3 • b=7±2 a entre 6 et 12 b entre 5 et 9 • s = a + b = 16 ± 5 car s entre 11 et 21 • d = a - b = 2 ± 5 car d entre -3 et 7 Propagation des incertitudes Produits et quotients • a = 29 ± 3 • b = 37 ± 2 a entre 26 et 32 b entre 35 et 39 • ab = 1073 et est entre 910 et 1248 Probabilités et Statistiques Probabilité • Probabilité qu’un événement X se produise lim nombre de succès P N N Où N = nombre d’essais Probabilité • On lance un dé • 6 résultats possibles • Chaque résultat a un pi = 1/6 0 pi 1 pi 1 Normalisation Complément • p = la probabilité que X se produise • 1 - p = la probabilité que X ne se produise pas • q = 1 - p est le complément de p Calcul de la probabilité • 1) Calculez le nombre total de combinaisons N, supposées équiprobables • 2) Calculez le nombre de ces combinaisons qui représentent un succès S • 3) p = S/N Calcul de probabilité • Probabilité de tirer 3 avec 1 dé • 1) N = 6 possibilités • 2) S = 1 seule bonne combinaison • 3) p = 1/6 Calcul de probabilité • Probabilité de tirer une somme de 4 avec 2 dés • 1) N = 6 x 6 = 36 possibilités • 2) S = 3 (1,3) (2,2) (3,1) • 3) p = 3/36 = 1/12 Calcul de probabilité • Probabilité de tirer une somme de 7 avec 2 dés • 1) N = 36 • 2) S = 6 (énumérez les) • 3) p = 6/36 = 1/6 Distribution de probabilité • Indique la probabilité de succès pour chaque type d’événement • Se présente sous forme graphique Distribution pour 1 dé Somme de 2 dés Distributions • Propriétés des distributions – Moyenne, mode, médiane – Valeur attendue – Moments • Distributions de probabilité particulières – Binôme, Gauss, Poisson, ... 2 types de distributions • Distributions discrètes • Distributions continues Distributions discrètes (comme on a déjà vu) – P(xi) > 0 pour des xi discrets – P(xi) = 0 partout ailleurs pi 1 Somme de 2 dés Distributions continues • Le nombre de résultats permis est • Chaque résultat a une probabilité = 0 • On définit la densité de probabilité f(x) dx = probabilité de trouver le résultat entre x et x + dx Normalisation: f ( x)dx 1 - Distribution continue Mode • Valeur la plus probable = 7 pour la somme de 2 dés Non défini pour un dé Non défini pour pile ou face Médiane • Point qui sépare la distribution en 2 moitiés égales • = 7 pour la somme de 2 dés • = 3,5 pour un dé (ou toute valeur entre 3 et 4) Moyenne • Ou valeur attendue • Discrète : xi p( xi ) • Continue : xp ( x)dx - Pour une distribution symétrique • Moyenne = Mode = Médiane Valeur estimée • Moyenne = xi p( xi ) ou xp( x)dx – est la valeur attendue (ou estimée) de x – Notée x • La moyenne de x est la valeur estimée de x • La valeur attendue de toute fonction f(x) est f f ( xi ) p( xi ) ou f ( x) p( x)dx Normalisation p( xi ) 1 p( xi ) 1 p( x)dx 1 p( x)dx 1 La normalisation représente la valeur attendue de 1 qui est bien sûr égale à 1 Propriétés de la valeur attendue af ( x) bg ( x) a f ( x) b g ( x) x n x n Ex: N lettres au hasard dans N enveloppes Combien y a-t-il de lettres dans la bonne enveloppe? Xi= 0 ou 1 selon que la lettre i est dans la bonne enveloppe ou non Ex: N lettres au hasard dans N enveloppes Combien y a-t-il de lettres dans la bonne enveloppe? Xi= 0 ou 1 selon que la lettre i est dans la bonne enveloppe ou non Xi 1 N X Xi X Xi X i 1 / N N *1 / N 1 Quel que soit N, il y a en moyenne 1 lettre dans la bonne enveloppe Moments • Différentes distributions peuvent avoir la même moyenne mais être différentes Moments • On peut représenter une distribution par l’ensemble de ses moments mi x i m0 1 Normalisation m1 µ Moyenne m2 x 2 ... Moments centrés • On soustrait la moyenne pour recentrer µi x - µ i µ0 1 Normalisation µ1 0 Moyenne recentrée = 0 µ2 x - µ ... 2 Variance = s Écart-type • Représente la largeur de la distribution s = Écart quadratique moyen = Déviation moyenne s ( x - µ) 2 x 2 - 2 µx µ2 x 2 - 2 µx µ2 x 2 - 2µ x µ2 x 2 - 2 µµ µ2 x 2 -µ x s s 2 x 2 2 - x - x 2 2 Mesure et incertitude • Je mesure une quantité 5 fois • x = 17, 16, 18, 17, 18 • Quelle est la valeur probable de x et son incertitude ? 1 µ x xi 17,2 5 x 17,2 0,7 1 2 2 s x µ 0,7 i 5 Probabilité de N événements • Obtenir 25 piles en 35 lancers • Obtenir 30 fois 6 en 100 lancers • Que 10 noyaux de radium se désintègrent en 5 minutes • Que la bactérie se divise 20 fois en 1 heure • Que 8 de vos 10 mesures soient dans un certain intervalle Distribution binômiale • On lance un dé 100 fois • La valeur attendue du nombre de 6 est ~17 • Quelle est la probabilité de tirer r fois 6 ? • Toutes les séries (a1, a2,..., a100) sont équiprobables • La probabilité de 6 à chaque case est p = 1/6 • Chaque combinaison de r succès et n- r échecs a une probabilité p r (1 - p) n-r •Il y a n n! r r!(n - r )! combinaisons de r succès Probabilité pour r succès et n- r échecs = n! r n-r PB (r; n; p) p (1 - p) r!(n - r )! µ np 20 / 6 3,33 s np(1 - p) 1,67 µ np 100 / 6 16,66 s np(1 - p) 3,727 Désintégration radioactive • 1 g de radium = 2,7*1021 atomes = 1 Ci = 1,7*1010 désintégrations/s • Demi-vie = 5,26 *108 min ~ 1000 ans • Probabilité qu’un atome donné se désintègre dans les 5 minutes est faible p ~ 10-8 • µ = np = 5*1012 désintégrations en 5 minutes • Probabilité de r désintégrations = n! r n-r PB (r; n; p) p (1 - p) r!(n - r )! Mais n! est impossible à calculer n est très grand p est très petit np = µ est fini On remplace p par µ/n r n! µ µ n-r PB (r ; n; p ) (1 - ) r!(n - r )! n n µ n r (1 - ) n! µ n r!(n - r )! n r (1 - µ ) r n µ n µ (1 - ) n(n - 1)...( n - r 1) n µ r n r r! (1 - ) n r µ n µ (1 - ) n(n - 1)...(n - r 1) n PB (r ; n; p ) r µ r n r! (1 - ) n n lim µ -µ 1 - e n n r r lim µ 1 - 1 n n lim n(n - 1)...(n - r 1) 1 r n n Distribution de Poisson µ n µ (1 - ) n(n - 1)...(n - r 1) n PB (r; n; p) r µ r n r! (1 - ) n -µ r lim e µ PB (r; n; p) PP (r , µ) n r! r n = 10, p = 0,5 µ=5 n = 100, p = 0,05 µ=5 Propriétés de la distribution de Poisson • Normalisation e- µ µ x PP ( x, µ) x! x 0 x µ e - µ e - µe µ 1 x 0 x! • Écart-type s np(1 - p) np µ Rayons cosmiques • • • • 180 rayons cosmiques / (m2 min) Combien en passe-t-il en 10 secondes ? µ = 180*10/60 = 30 On peut prédire qu’il passera 30 30 rayons cosmiques en 10 secondes 10 secondes 30 s 30 5,5 1 seconde 3 s 3 1,7 Distributions de Poisson • • • • • Nombre de fautes de frappe dans une page Nombre d’individus vivant plus de 100 ans Nombre de a émis par une source Nombre d’incendies à Montréal par semaine Nombre de gens tirant le numéro gagnant Additivité • x obéit à PB ( x, m, p ) • y obéit à PB ( y, n, p) • Alors, z = x + y obéit à PB ( z , m n, p ) z x y sz sx s y 2 2 Additivité • x obéit à PP ( x, µ1 ) • y obéit à PP ( y, µ2 ) • Alors, z = x + y obéit à PP ( z , µ1 µ2 ) z x y sz sx s y 2 2 Distribution gaussienne • La distribution de Poisson est asymétrique • Mais devient plus symétrique pour µ grand • Pour µ>30, la distribution est symétrique 10 secondes 30 s 30 5,5 1 seconde 3 s 3 1,7 Distribution gaussienne • • • • • Abraham de Moivre 1733 Distribution continue de - à Maximum en x = µ Forme en cloche D’application très générale – Théorème de la limite centrale • Approximation de PP ( x, µ) pour µ grand Distribution gaussienne • • • • Taille des individus QI Incertitudes Vitesse des molécules x-µ - 2 1 PG ( x) e 2 s 2s 2 Distribution gaussienne • 2 paramètres : µ et s • Symétrique autour de µ Additivité • x obéit à PG ( x, µx , s x ) • y obéit à PG ( y, µy ,s y ) • Alors, z = x + y obéit à PG ( z, µz , s z ) z x y sz sx s y 2 2 Distribution normale • Distribution gaussienne • µ=0 s=1 PN ( x) Fonction tabulée Fonction standard 1 2 x2 2 e Distribution normale 1 PN ( x)dx 0,68269 68% -1 0, 68 PN ( x)dx 0,5 -0, 68 P.E. 0,68s Largeur à mi-hauteur 2,35s Distribution gaussienne s PG ( x)dx 0,68269 68% -s 0, 68s 1 PG ( x)dx 2 -0, 68s P.E. 0,68s 2,35s Fonction erreur erf(x) erf (a) a 1 a e -a - x2 dx a 1 PN ( x)dx -a -a 2 e 2 - x2 a dx erf 2 Fonction erreur erf (0) 0 erf () 1 erf (s 2 ) 0,68 erf (0,68s / 2 ) 0,5 Théorème de la limite centrale • Sans démonstration • Indique pourquoi tant de phénomènes obéissent à une distribution gaussienne Théorème de la limite centrale • Soit xi i = 1, ..., n n variables indépendantes • Les xi obéissent à des distributions caractérisées par des µ et des s i i n • Alors, xi est distribuée selon une i 1 • gaussienne avec n µ µi i 1 et n s s i 2 i 1 2 30 s 30 5,5 3 s 3 1,7 Lorentz • Pas de lien avec les autres distributions • Phénomènes de résonance • Circuits RLC Lorentz PL • s est infini • On utilise 1 2 x - µ 2 2 2 Lorentz