L`enseignement d`Automatique

Chapitre 3: Modélisation
des systèmes
3.1 Introduction
Deux approches de la modélisation
 Modèle de connaissance
– modèle « interne » obtenu à partir des lois de la
physique ou de la chimie
– modèle pouvant être complexe et non linéaire
 Modèle de conduite ou de comportement
– modèle « externe » obtenu expérimentalement
– modèle linéaire, valable autour d ’un point de
fonctionnement
Modèle de connaissance
 Modèle utilisé pour :
– Simuler une installation avant sa réalisation
• dimensionnement des éléments
• choix des points de fonctionnement - optimisation
• mise au point des stratégies de commande
 Exemples de simulateurs :
– Simulink, ACSL (Advanced Continuous Simulation Language)
3.2 Une approche analogique pour
l ’obtention d ’un modèle de
connaissance
Principe
– Les systèmes électriques, mécaniques, thermiques,
hydrauliques ont des points communs ; il est donc
possible de concevoir des analogies entre eux.
– Chaque type de système peut être caractérisé par :
• 2 variables, x et y ; par exemple i et u dans un circuit électrique
• 3 éléments, a1, a2 ou a3 ; par exemple R, L ou C
– Les relations élémentaires sont du type : y = f(x, ai)
Variables et éléments
– Les variables sont :
• des variables de flux x :
courant, force, couple, débit volumique, débit de calories
• des variables de potentiel y :
tension, vitesses linéaire et angulaire, température, pression
– Les éléments sont de 2 natures :
• dissipateurs d ’énergie : y = a1 x (éléments de type R)
• accumulateurs d ’énergie :
y = a2 dx/dt (éléments de type L)
x = a3 dy/dt (éléments de type C)
Analogies
Mécanique
Rotation
Thermique
Hydraulique
Courant
Force
Couple
Débit de
chaleur
Débit
Tension
Vitesse
linéaire
Vitesse
angulaire
Température
Pression
Inductance
Ressort
Ressort
Capacité
Masse
Inertie
Résistance
Amortisseur
Amortisseur Résistance
Inertie
Capacité
Il existe aussi une analogie Tension-Force
Capacité
Résistance
Eléments
Mécanique
Translation
Variables
Electrique
3.3 Les Elements de base
Dissipateurs d ’énergie - 1
 Electrique : résistance
– u : tension, i :courant
– R : résistance
u2
R
i
u1
Ex : amortisseur
(u 2  u1 )
i
R
 Mécanique (translation) : frottements visqueux
– f : force, v : vitesse
f  b(v2  v1 )
– b : coef. de frottement
 Mécanique (rotation) : frottements visqueux
– c : couple, w : vitesse
c  b(w2  w1 )
– b : coef. de frottement
Accumulateurs d ’énergie - 1
u2
L
i
 Electrique : inductance
– u : tension, i :courant
– L : inductance
di
u2  u1  L
dt
 Mécanique (translation) : ressort
– f : force, v : vitesse, x : position
– k : coef. de raideur
f  k ( x2  x1 )
 Mécanique (rotation) : ressort
– c : couple, w : vitesse, q : position
– k : coef. de raideur
c  k (q 2 q1 )
u1
Accumulateurs d ’énergie - 3
 Electrique : condensateur
– u : tension, i :courant
– C : capacité
u2
C
i
u1
d (u2  u1 )
iC
dt
 Mécanique (translation) : masse
– f : force, v : vitesse
– m : masse
dv
f m
dt
 Mécanique (rotation) : inertie
– c : couple, w : vitesse
– J : inertie
dw
cJ
dt
Eléments de couplage
 Les éléments précédents peuvent être couplés
via des « modulateurs », par ex :
– transformateur : u1 i1
– réducteur :
 u2 i2
c1 w1  c2 w2
C1, w1
C2, w2
3.4 Equations de base
 Pour relier ensemble les éléments constituant un
système, diverses équations sont utilisées :
– Electricité : lois des mailles et des nœuds
– Mécanique : lois de Newton :
dw
dv
c  J
 f m
dt
dt
– Thermique, Hydraulique : équations de conservation
de la matière ou de l ’énergie :
flux entrant  flux sortant  accumulati on
dh
q  S
dt
Exemple d ’un système mécanique
k
b
y0
y
m
f
• Ressort : raideur = k
• Amortisseur : coefficient de frottement = b
Y ( p)
?
F ( p)
Le poids est pris en compte dans le point de fonctionnement (f0 = mg, y0)
 forces  m  accélération
dy
d2y
f (t )  k y(t )  b  m 2
dt
dt
Y ( p)
1

2
F ( p) mp  bp  k