2. La racine carrée d`un nombre

Pythagore, philosophe et mathématicien grec, a
établi la relation suivante dans les
triangles rectangles.
Pythagore de Samos est né a Samos en 580 avant JésusChrist et est décède en Italie en 500 avant Jésus-Christ.
C‘était un philosophe grec qui a beaucoup contribue a
faire avancer les mathématiques, l'astronomie et la
musique.
Connaissances antérieures
1. Aire d’un carré
(ou le carré d’un nombre)
La formule de l'aire d'un carre ayant
une base de C unités et une hauteur
de C unités sera C × C qui donnera :
Aire = C × C
A = C2
2. La racine carrée d’un nombre :
La relation de Pythagore
Triangle rectangle : Un triangle est rectangle lorsque
l’un des angles du triangle
mesure 90°.
Rappel : La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle
est toujours de 180°.
Il est important de noter que le théorème de Pythagore
fonctionne uniquement dans un triangle rectangle.
B
Hypoténuse
c
a
C
Cathètes
A
b
Remarque : L’hypoténuse est toujours en face de
l’angle de 900.
Cathètes : Ce sont les deux côtés du triangle
formant l’angle droit.
Hypoténuse : C’est le côté opposé à l’angle droit.
L’hypoténuse est le plus long des trois
côtés du triangle.
* La valeur de l'hypotenuse est toujours plus grande que
la valeur des cathetes.
Avec un triangle rectangle dont les côtés
mesurent 3, 4 et 5 unités,
on construit des carrés avec
chacun des côtés.
25
On calcule l’aire de chacun.
On constate que la somme des
aires des deux carrés formés
avec les cathètes est égale à
l’aire du carré formé avec
l’hypoténuse.
9 + 16 = 25
soit
32 + 4 2 = 5 2
93
5
4
16
En remplaçant par des lettres
c2
a2 a
c
b
b2
Relation de Pythagore :
Le carré de la mesure de l’hypoténuse est égal à la
somme des carrés des mesures des cathètes.
2
c
=
2
a
+
2
b
Si on cherche la mesure de
l’hypoténuse ( le plus long côté ) :
2
c
=
2
a
+
c
a
2
b
b
Si on cherche la mesure d’une cathète :
a 2 = c2 - b 2
2
b
=
2
c
-
2
a
Attention: Une fois le calcul terminé, il faut
extraire la racine carrée de la réponse.
Exemples d’application :
Trouve les mesures manquantes dans les triangles
suivants:
Ici, on cherche l’hypoténuse.
1)
c2 = a2 + b2
3
a
c
b
4
?
c2 = 32 + 4 2
c2 = 9 + 16
c2 =
25
c=5
Réponse: La mesure manquante est de 5 unités ou 5u.
A
2)
?
Ici, on cherche une cathète.
b
C
a
c
18,42
cm
33,15 cm
b2 = c 2 - a 2
b2 = 33,152 - 18,422
B
b2 = 1098,9225 - 339,2964
b2 =
759,6261
b ≈ 27,5613
Réponse: m AC ≈ 27,56 cm
Comment vérifier si un triangle est rectangle en
connaissant uniquement la mesure des trois côtés?
Par la relation de Pythagore.
Exemple : À partir des mesures données, vérifie si les
triangles forment un triangle rectangle.
Hypoténuse
1) 11cm, 61cm, 60cm
2) 63dm, 33dm, 56dm
c2 = a2 + b2
612 = 112 + 602
3721 = 121 + 3600
3721 = 3721
c2 = a2 + b2
632 = 332 + 562
3969 = 1089 + 3136
3969 ≠ 4225
Réponse : Le triangle 1) est un triangle rectangle.
B
Remarque :
La relation de Pythagore peut
s’écrire
soit
soit
c2
=
2
a2
+
c
a
b2
2
(m AB) = (m BC) + (m AC)
Cette écriture est un peu plus
longue, mais plus précise pour
une figure complexe.
C
A
b
2
D
B
600
E
C
300
A
Remarques :
Un triangle est rectangle seulement si le problème
le mentionne ou si tu es capable de le prouver.
La relation de Pythagore n’est vraie que dans
les triangles rectangles.
Distance entre deux points dans le plan cartésien
1. Pour trouver la distance entre deux points dans un plan
cartésien, il faut regarder la graduation des axes.
2. Par la suite, il faut former un triangle rectangle à partir des 2
points.
3. Il suffit d’appliquer la formule de Pythagore pour trouver la
distance entre les deux points. Cette distance sera l’hypoténuse
5
3