Application des nombres complexes à l’éléctricité Soit un courant alternatif sinusoïdal dont l’expression en fonction du temps est : i = I 2 sin (t + ) I : valeur efficace (en A) : pulsation (en rad/s) : phase à l’origine (en rad) A cette grandeur sinusoïdale, nous associons un vecteur de Fresnel noté I . I O x Nous pouvons aussi associer à i un nombre complexe : I = [ I, ] ou I = I (cos + j sin ) Il en est de même pour la tension u : u = U sin (t) et U = [ U, 0 ] U : valeur efficace (en V) : pulsation (en rad/s) Le module correspond à la valeur efficace et l’argument au déphasage. Exemple : Un dipôle est parcouru par un courant i = 2 2 sin (314t + ) 6 quand il est soumis à une tension u = 220 sin (314t ). Valeurs réelles Valeurs complexes U = [ 220; 0 ] =220(cos 0 + j sin 0) = 220 I U = 220 V = [ 2 2 , ] = 2 2 (cos + j sin ) 6 6 6 I=2 2 A =2 2 ( = 314 rad/s = 6 3 2 +j 1 )= 2 6 +j 2 Impédance complexe d’un dipôle Soit un dipôle d’impédance Z, soumis à une tension alternative sinusoïdale u et parcouru par un courant d’intensité i, on appelle impédance complexe du dipôle, le nombre complexe : Z où U U I et I sont les grandeurs complexes associées à u et i. Exemple : Un dipôle est parcouru par un courant i = 2 2 sin (314t + ) 6 quand il est soumis à une tension u = 220 sin (314t ). Valeurs complexes U = 220 I = 6+ j 2 L’impédance complexe Z est donc : Z U 220 I 6j 2 220 6 j 220 2 6 j 2 2 2 220 6 j 2 6j 2 6j 2 220 6 j 220 2 27,5 6 j 27,5 2 67,4 j 38,9 62 Impédance complexe des récepteurs élémentaires Résistance pure : R Inductance pure : L Capacité pure : C Résistance pure : R Schéma du circuit i R u Représentation de Fresnel Z R i u Impédance complexe Déphasage ZR R 0 Inductance pure : L Schéma du circuit Représentation de Fresnel Impédance complexe Déphasage u L L i u 2 i ZL j L 2 Capacité pure : C Schéma du circuit Représentation de Fresnel C Déphasage i i u Impédance complexe 1 C u 2 1 ZC j C 2 Impédance dans un circuit en série Soient Z1 et Z2 deux récepteurs montés en série alors l’impédance du récepteur équivalent est Z avec Z Z1 Z 2 Impédance dans un circuit en dérivation Soient Z1 et Z2 deux récepteurs montés en parallèle alors l’impédance du récepteur équivalent est Z avec Z Z1 .Z 2 Z1 Z 2 Exemple On considère un circuit RLC alimenté sous une tension alternative sinusoïdale de fréquence 50 Hz. On donne R = 30 , L = 0,2 H et C = 100 F. 1- Calculer la pulsation . 2- Calculer l’impédance complexe du résistor. 3- Calculer l’impédance complexe de la bobine. 4- Calculer l’impédance complexe du condensateur. 5- En déduire l’impédance complexe du circuit RLC série. 1- Calculer la pulsation . 2 f 2 50 100 314 rad / s 2- Calculer l’impédance complexe du résistor. Z R R 30 3- Calculer l’impédance complexe de la bobine. ZL j L j 0,2 314 62,8 j 4- Calculer l’impédance complexe du condensateur. ZC j 1 j j 31,8 j 6 C 0,0314 100.10 314 5- En déduire l’impédance complexe du circuit RLC série. Z ZR Z L ZC 30 62,8 j 31,8 j 30 31j