Chapitre 1
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MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Premier cours ACT2025 - Cours 1 CHAPITRE I Intérêt et escompte ACT2025 - Cours 1 L’intérêt et sa mesure • L'intérêt est ce qu'un emprunteur d'un capital versera à un prêteur pour l'utilisation de cette somme pendant un certain temps. ACT2025 - Cours 1 L’intérêt et sa mesure • L'intérêt est ce qu'un emprunteur d'un capital versera à un prêteur pour l'utilisation de cette somme pendant un certain temps. • C'est aussi ce que le prêteur demande à l'emprunteur à titre de compensation pour ne pas pouvoir utiliser le montant prêté pendant la durée du prêt. ACT2025 - Cours 1 L’intérêt et sa mesure • L'intérêt est ce qu'un emprunteur d'un capital versera à un prêteur pour l'utilisation de cette somme pendant un certain temps. • C'est aussi ce que le prêteur demande à l'emprunteur à titre de compensation pour ne pas pouvoir utiliser le montant prêté pendant la durée du prêt. • Les deux parties doivent se mettre d'accord sur ce montant. ACT2025 - Cours 1 Quelques facteurs agissant sur le montant d'intérêt demandé: • Le marché, c'est-à-dire les taux d'intérêt en vigueur ACT2025 - Cours 1 Quelques facteurs agissant sur le montant d'intérêt demandé: • Le marché, c'est-à-dire les taux d'intérêt en vigueur • Le risque de défaut de paiement de la part de l'emprunteur ACT2025 - Cours 1 Quelques facteurs agissant sur le montant d'intérêt demandé: • Le marché, c'est-à-dire les taux d'intérêt en vigueur • Le risque de défaut de paiement de la part de l'emprunteur • L'inflation ACT2025 - Cours 1 Quelques facteurs agissant sur le montant d'intérêt demandé: • Le marché, c'est-à-dire les taux d'intérêt en vigueur • Le risque de défaut de paiement de la part de l'emprunteur • L'inflation • Autres conditions afférentes: disposition permettant à l'emprunteur de régler son prêt plus tôt, … ACT2025 - Cours 1 Exemple 1: Alexandre emprunte 20 000$ à la banque pour l’achat d’une automobile. Il rembourse ce prêt en faisant 48 paiements mensuels de 450$ à la fin de chaque mois. L’intérêt payé par Alex à la banque sera 48 X 450$ - 20 000$ = 1 600$. (Montant remboursé) - (montant emprunté) ACT2025 - Cours 1 Exemple 2: Bobby emprunte 5 000$ à Cléo. Il rembourse ce prêt en faisant deux paiements: 2 000$ après deux ans et 5 000$ après six ans. L’intérêt payé par Bobby à Cléo sera (2000$ + 5000$) - 5000$ = 2000$. (Montant remboursé) - (montant emprunté) ACT2025 - Cours 1 Une transaction financière banale est l'investissement d'une somme d'argent à intérêt. Il suffit de penser à un dépôt dans un compte d’épargne à la banque. Dans une telle situation, le montant initial est appelé le principal ou le capital, le montant total reçu après une période de temps est appelé la valeur accumulée et la différence entre les deux: l'intérêt. ACT2025 - Cours 1 CONVENTION: • Nous désignerons par t: le temps écoulé depuis la date de l'investissement avec comme convention que t = 1 signifie qu'une année s'est écoulée depuis l'investissement initial. Cette unité de temps est appelée la période (de capitalisation) et comme nous l'avons indiqué, celleci sera pour l’instant d'une année à moins d'avis contraire. ACT2025 - Cours 1 CONVENTION: • Nous désignerons par t: le temps écoulé depuis la date de l'investissement avec comme convention que t = 1 signifie qu'une année s'est écoulée depuis l'investissement initial. Cette unité de temps est appelée la période (de capitalisation) et comme nous l'avons indiqué, celleci sera pour l’instant d'une année à moins d'avis contraire. • Nous utiliserons le dollar comme unité monétaire dans ce cours. Mais nous aurions tout aussi bien pu utiliser l'euro, le yen,... Ceci n'a aucune incidence pour les concepts présentés. ACT2025 - Cours 1 Il existe plusieurs mesures de l’intérêt! ACT2025 - Cours 1 Par exemple, • Taux effectif d’intérêt ACT2025 - Cours 1 Par exemple, • Taux effectif d’intérêt • Taux nominal d’intérêt ACT2025 - Cours 1 Par exemple, • Taux effectif d’intérêt • Taux nominal d’intérêt • Taux effectif d’escompte ACT2025 - Cours 1 Par exemple, • Taux effectif d’intérêt • Taux nominal d’intérêt • Taux effectif d’escompte • Taux nominal d’escompte ACT2025 - Cours 1 Par exemple, • Taux effectif d’intérêt • Taux nominal d’intérêt • Taux effectif d’escompte • Taux nominal d’escompte • Taux instantané d’intérêt ou force de l’intérêt ACT2025 - Cours 1 L’intérêt peut aussi croître de plusieurs façons. ACT2025 - Cours 1 Exemples de formes de capitalisation communes de l’intérêt: • Intérêt simple ACT2025 - Cours 1 Exemples de formes de capitalisation communes de l’intérêt: • Intérêt simple • Intérêt composé ACT2025 - Cours 1 Exemples de formes de capitalisation communes de l’intérêt: • Intérêt simple • Intérêt composé • Escompte simple ACT2025 - Cours 1 Exemples de formes de capitalisation communes de l’intérêt: • • • • Intérêt simple Intérêt composé Escompte simple Escompte composé ACT2025 - Cours 1 Pour définir tous ces concepts, il nous faut premièrement parler de la fonction de capitalisation. ACT2025 - Cours 1 Considérons l'investissement de 1$ de principal et désignons alors par a(t) : le montant total accumulé au temps t. Alors a(t) est la fonction de capitalisation. ACT2025 - Cours 1 Exemple 3: (Intérêt simple) a(t) = (1 + it) ACT2025 - Cours 1 Exemple 4: (Intérêt composé) a(t) = (1 + i)t ACT2025 - Cours 1 Exemple 5: ACT2025 - Cours 1 Exemple 6: ACT2025 - Cours 1 Propriétés anticipées de la fonction de capitalisation: • a(0) = 1 ACT2025 - Cours 1 Propriétés anticipées de la fonction de capitalisation: • a(0) = 1 • a(t) est une fonction croissante ACT2025 - Cours 1 Propriétés anticipées de la fonction de capitalisation: • a(0) = 1 • a(t) est une fonction croissante • a(t) est une fonction continue si l'intérêt croit continûment ACT2025 - Cours 1 Considérons l'investissement de k dollars de principal au lieu de 1 dollar et désignons alors par A(t): le montant total accumulé au temps t. Alors A(t) est la fonction d’accumulation. ACT2025 - Cours 1 CONVENTION: Nous supposerons dans ce cours à moins d’avis contraire que A(t) = k a(t) avec k = A(0) ACT2025 - Cours 1 Taux effectif d’intérêt pour la 1e période: Ce taux est le rapport du montant d’intérêt gagné pendant la première période sur le montant investi au début. En formule, nous obtenons où I1 est l’intérêt gagné pendant la première période ACT2025 - Cours 1 Taux effectif d’intérêt pour la ne période: Ce taux est le rapport du montant d’intérêt gagné pendant la ne période sur le montant investi au début de la ne période. En formule, nous obtenons où In est l’intérêt gagné pendant la ne période ACT2025 - Cours 1 Si nous connaissons les taux effectifs d’intérêt pour toutes les périodes, de la 1e à la ne, et le capital initial A(0), alors nous pouvons calculer le montant accumulé à la fin de la ne période, i.e. A(n) ACT2025 - Cours 1 En effet, • A(1) = A(0) (1 + i1) ACT2025 - Cours 1 En effet, • A(1) = A(0) (1 + i1) • A(2) = A(1) (1 + i2) = A(0) (1 + i1) (1 + i2) ACT2025 - Cours 1 En effet, • A(1) = A(0) (1 + i1) • A(2) = A(1) (1 + i2) = A(0) (1 + i1) (1 + i2) et ainsi de suite pour obtenir finalement A(n) = A(0) (1 + i1) (1 + i2) ... (1 + in - 1) (1 + in) ACT2025 - Cours 1 Exemple 7: Dans un placement, le taux effectif d’intérêt est de 5,75% pour la 1e année, 6% pour la 2e année, 5,5% pour la 3e année et 5% pour la 4e année. Si le principal investi est 8 000$, alors ACT2025 - Cours 1 Exemple 7: Dans un placement, le taux effectif d’intérêt est de 5.75% pour la 1e année, 6% pour la 2e année, 5.5% pour la 3e année et 5% pour la 4e année. Si le principal investi est 8 000$, alors • le montant accumulé après 4 ans est 8000(1 + 0.0575)(1 + 0.06)(1 + 0.055)(1 + 0.05) = 9 933.86$ ACT2025 - Cours 1 Exemple 7: Dans un placement, le taux effectif d’intérêt est de 5,75% pour la 1e année, 6% pour la 2e année, 5,5% pour la 3e année et 5% pour la 4e année. Si le principal investi est 8 000$, alors • le montant accumulé après 4 ans est 8 000(1 + 0,0575)(1 + 0,06)(1 + 0,055)(1 + 0,05) = 9 933,86$ • le montant d’intérêt gagné pendant la 3e année est A(3) - A(2) = 8 000(1.0575)(1.06)(1.055) - 8000(1.0575)(1.06) = 493.22$ ACT2025 - Cours 1 Intérêt simple: (Description) Considérons l'investissement de 1$ pour lequel le montant d’intérêt gagné à chacune des périodes est constant, disons égal à i. ACT2025 - Cours 1 Intérêt simple: (Description) Considérons l’investissement de 1$ pour lequel le montant d’intérêt gagné à chacune des périodes est constant, disons égal à i. Noter que c’est le montant d’intérêt qui est constant et non le taux effectif d’intérêt! ACT2025 - Cours 1 Calculons la fonction de capitalisation: • a(1) = 1 + i • a(2) = 1 + i + i = 1 + 2i et ainsi de suite pour obtenir a(n) = 1 + i n ACT2025 - Cours 1 Donc la fonction de capitalisation est Si nous considérons plutôt la fonction d’accumulation, nous aurons ACT2025 - Cours 1 Dans ce qui précède, i désigne le taux d’intérêt simple. Nous avons ACT2025 - Cours 1 Calculons le taux effectif d’intérêt pour chaque période: Ainsi de suite, nous obtenons ACT2025 - Cours 1 Remarque 1: L’intérêt simple est surtout utilisé dans le court terme (semaine, mois) justement parce que le taux effectif d’intérêt décroit avec les périodes et ceci n’est pas intéressant comme investissement. ACT2025 - Cours 1 Intérêt composé: (Description) Considérons l'investissement de 1$ pour lequel nous versons de l’intérêt sur le principal, mais aussi sur l’intérêt accumulé. Nous parlons d’intérêt sur l’intérêt. ACT2025 - Cours 1 Calculons la fonction de capitalisation. et ainsi de suite pour obtenir ACT2025 - Cours 1 Donc la fonction de capitalisation est Si nous considérons plutôt la fonction d’accumulation, nous aurons ACT2025 - Cours 1 Calculons le taux effectif d’intérêt pour chaque période: Ainsi de suite, nous obtenons ACT2025 - Cours 1 Remarque 2: L’intérêt composé est surtout utilisé dans le long terme (années) justement parce que le taux effectif d’intérêt est constant tout au long de ces différentes périodes. ACT2025 - Cours 1 Remarque 2: L’intérêt composé est surtout utilisé dans le long terme (années) justement parce que le taux effectif d’intérêt est constant tout au long de ces différentes périodes. À moins d’avis contraire, nous allons toujours supposer que nous avons de l’intérêt composé! ACT2025 - Cours 1 Remarque 3: Les calculatrices sont programmées pour faire le calcul de l’intérêt composé. Il y a les touches: N: pour le nombre de périodes I/Y: le taux d’intérêt composé par période PV: la valeur actuelle (concept à venir dans les prochains cours) PMT: paiement d’annuité (concept à venir dans les prochaines semaines) FV: valeur accumulée Il est important de savoir assez tôt bien utilisé votre calculatrice financière! ACT2025 - Cours 1
