TP 2 corrige

TP2: Statistique & Probabilité
Question 1
(cf. WONNACOTT et WONNACOTT, 4e éd., chapitre 2)
Une station balnéaire décide de réaliser une étude de son climat. Pour
cela, le nombre de jours de soleil par mois d’été a été retenu comme
mesure du climat. La distribution du nombre de jours de soleil par
mois d’été durant les cinq dernières années est la suivante :
Année
Juin
Juillet
Août
1
10
15
20
2
10
15
7
3
14
14
20
4
14
14
5
10
15
20
avec fi fréquence absolue
7
Question 1
Quel est le mois que vous choisiriez pour vos vacances ? Explicitez
votre réponse en vous aidant de la moyenne et de l’écart-type.
Calculons la moyenne et l’écart-type du nombre de jours
d’ensoleillement pour les trois mois d’été. Nous considérons les
données comme provenant d’un échantillon.
Moyenne = 1/N ΣxiFi avec
Fi fréquence absolue
1
2
s 
Fi (X i  X)

n 1
2
avec fi fréquence absolue
Question 1
Calcul par mois
1°) Juin:
Moyenne non pondérée
__
X = (10 + 10 + 14 + 14 + 10) / 5 = 58 / 5 = 11.60
Ecart-type
X = Nbre de
jours de soleil
10
10
14
14
10
(X-X)
(X- X)2
-1.60
-1.60
2.40
2.40
-1.60
=0
2.56
2.56
5.76
5.76
2.56
=19.20
s2 = 19.20 / 4 = 4.80 et s = 2.19
Question 1
Calcul par mois
2°) Juillet:
Moyenne non pondérée
__
X = (15 + 15 + 14 + 14 + 15) / 5 = 73 / 5 = 14.60
Ecart-type
X = Nbre de
jours de soleil
15
15
14
14
15
(X- X)
0.40
0.40
-0.60
-0.60
0.40
=0
s2 = 1.20 / 4 = 0.30 et s = 0.55
(X-X )2
0.16
0.16
0.36
0.36
0.16
=1.20
Question 1
Calcul par mois
3°) Août:
Moyenne non pondérée
__
X = (20 + 7 + 20 + 20 + 7) / 5 = 74 / 5 = 14.80
Ecart-type
X = Nbre de
jours de soleil
20
7
20
20
7
(X-X)
5.20
-7.80
5.20
5.20
-7.80
=0
s2 = 202.80 / 4 = 50.70 et s = 7.12
(X- X)2
27.04
60.84
27.04
27.04
60.84
= 202.80
Question 1
Conclusion : Malgré le fait que le mois d’août est le
mois d’été pour lequel le nombre de jours
d’ensoleillement est le plus élevé en moyenne, il
semble préférable de partir en vacances au mois de
juillet puisque la moyenne du nombre de jours
d’ensoleillement est légèrement plus faible (14.6 jours
contre 14.8) mais l’écart-type pour ce mois est
nettement plus bas que pour le mois d’août (0.55
contre 7.12).
Question 2
Un joueur lance simultanément 2 dés (6 faces
numérotées de 1 à 6). Les dés sont parfaitement
équilibrés.
a) Quelle est la probabilité d’obtenir une somme
supérieure ou égale à 9 ?
b) Quelle est la moyenne de la somme ?
Il faut construire une nouvelle variable aléatoire =
somme des faces.
Modalités? Fréquences?
Question 2
Soit X = somme des faces
Modalités: de 2 à 12 correspondant aux lancers suivants:
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
Question 2
Sur base des cas précédents, nous construisons un
tableau de fréquences :
Xi
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Fi
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
a) Prob(??)?
Données??
b) Moyenne de X?
avec fi fréquence absolue
Question 2
Sur base des cas précédents, nous construisons un
tableau de fréquences :
Xi
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Fi
XiFi
1
2
2
6
3
12
4
20
5
30
6
42
5
40
4
36
3
30
2
22
1
12
=36 =252
a) Prob(X  9) = ?
Valeurs de X : la somme des deux dés vaut
9, 10, 11 ou 12
Nombre de cas favorables : 10
Nombre de cas au total: 36
Prob(X  9) = 10 / 36 = 0.2778, soit 27.78%.
b) Moyenne de la somme = 252 / 36 = 7
avec fi fréquence absolue
Question 3
Si les deux dés étaient lancés successivement 4 fois, quelle est la
probabilité que la somme soit supérieure à 9 au moins 3 fois ?
(Remarque : si vous utilisez les tables, vous pouvez prendre la
valeur donnée la plus proche de celle calculée).
Pr (X > 9, au moins 3 fois) = ?
X = somme des dés (2 faces)
Probabilité de l’événement « somme des dés est strictement
supérieure à 9 ».
Modalités de X?
Autres infos?
=> Quelle distribution?
Question 3
Pr (X > 9, au moins 3 fois) = ?
En consultant le tableau des résultats de l’exercice précédent:
somme des deux dés soit 10, 11 ou 12
nombre des cas : 6 cas sur 36.
Pr (X > 9) = 6 / 36 = 0.1667, soit 16.67%.
Répétition du même événement => loi binomiale
Question 3
Pr (X > 9, au moins 3 fois) = ?
Infos pour lire la table de la binomiale?
n = nombre de répétitions,
 = probabilité de succès de l’événement, à savoir somme > 9,
s = nombre de cas avec succès.
On utilise la table des probabilités binomiales individuelles,
avec n = 4,  = 0.20 (approximation de 0.1667), et s = 3 ou 4.
D’après la table (p. 870),
Pr (X > 9, au moins 3 fois) = 0.026 + 0.002 = 0.028, soit 2.8%.
Question 3
Pr (X > 9, au moins 3 fois) = ?
Calcul de cette probabilité en appliquant la formule générale
suivante (avec n = nombre d’expériences, s = nombre de succès
et p = la probabilité de succès) :
Pr (X = s) =
n!
p s (1  p) n  s
s!(n  s)!
Dans le cas présent, nous devons ainsi calculé la somme de deux
probabilités Pr(s = 3) + Pr(s = 4). Soit,
4!
4!
3
(0,1667) (1  0,1667) 
(0,1667) 4 (1  0,1667) 0
3!1!
4!0!
= 0,01544 + 0,00077 = 0,01621.
La différence (non négligeable) entre le résultat calculé et celui
fourni par les tables provient d’une part, de l’approximation de la
probabilité de succès (0,20 dans les tables au lieu de 0,1667) et
d’autre part, de l’arrondi à la troisième décimale réalisé dans les
tables.
Question 4
Un boulanger achète des œufs pour la réalisation de ses pâtisseries.
Afin de s’assurer de la fraîcheur de tous les œufs contenus dans une
boîte, il effectue le test suivant : de chaque boîte (une boîte
contient 100 œufs), il retire 5 œufs et les casse afin de constater leur
fraîcheur (il fait confiance à son odorat qui est fiable à 100%). Si les 5
œufs sont déclarés frais, il accepte la boîte car il considère que tous
les œufs de la boîte sont frais. Si un œuf ou plus sont déclarés
pourris, il rejette impitoyablement la boîte.
a) Quelle est la probabilité qu’il accepte une boîte qui contient 20
œufs pourris ?
b) Combien d’œufs devrait-il casser pour s’assurer que la
probabilité d’accepter une boîte qui contient 20 œufs pourris est
inférieure à 10% ?
Les épreuves ne sont pas indépendantes l’une de l’autre. On peut
cependant donner une approximation du résultat en utilisant les
tables de la Loi Binomiale.
(cf. WONNACOTT et WONNACOTT, 4e éd., pp. 130-136 pour la
théorie et pp. 869-871 pour les tables).
Question 4
a) 3 informations pour la loi binomiale:
- la probabilité du succès (c-à-d de tomber sur un œuf pourri)
=  = 20 / 100 = 0,2 ;
- le nombre d’épreuves = 5 et
- le nombre total de succès en n épreuves = s.
On cherche la probabilité que le boulanger accepte la boite
(autrement dit, il n’a trouvé aucun œuf pourri parmi les 5 œufs qu’il a
cassés), soit
n s
Pr(s = 0) =   (1   ) n  s
s
 
=
n!
5!
s
n s
 (1   ) 
0,20 (1  0,2)5  0,3276
s!(n  s)!
0!5!
La table portant sur les probabilités binomiales individuelles donne
également directement la valeur trouvée par calculs ci-dessus :
n = 5, s = 0 et π = 0,2  Pr(s = 0) = 0,328.
Question 4
b) Il s’agit, en augmentant le nombre d’épreuves n,
de faire tomber la Pr(s = 0) en dessous de 10%.
En consultant la table pour s = 0 et π = 0,2, nous
trouvons que le nombre d’épreuves nécessaires pour
que la probabilité soit inférieure à 10% est de 11 (= n).
Dans ce cas, Pr(s = 0) = 0,086, soit 8,6%.
Question 5
Notre boulanger se demande quelle serait la probabilité
qu’il déclare « pourri » un œuf tiré au hasard dans une
boîte de 100 œufs contenant 20 œufs pourris si son
odorat était fiable à 80%.
Quelle est alors la probabilité qu’un œuf déclaré pourri
soit réellement pourri ?
Quelles sont les données de l’énoncé ?
Question 5
La boîte de 100 oeufs contient 20 oeufs pourris.
 probabilité qu’un oeuf contenu dans la boîte soit pourri
= Pr (pourri) = 0.20 et
 probabilité qu’un oeuf ne soit pas pourri
= Pr (non-pourri) = 1 - Pr (pourri) = 0.80.
On sait en outre que l’odorat du boulanger est fiable à
80%. Il détecte le véritable état de l’oeuf (pourri ou nonpourri) avec une fiabilité de 80%. Autrement dit, il se
trompe en moyenne dans 20% des cas.
=> probabilité qu’il déclare un oeuf comme étant pourri,
quand il est effectivement pourri, est égale à 80%, autre
Pr (déclaré pourri | pourri) = 0.80.
Question 5
On demande la probabilité qu’un oeuf « déclaré pourri »
soit effectivement pourri. Autrement dit,
Pr (pourri | déclaré pourri ) = ?
Si le test (l’odorat du boulanger) avait été fiable à 100%,
Pr (déclaré pourri | non-pourri) aurait été égale à 0% (le
boulanger ne se trompe jamais). Cependant le test n’est
fiable qu’à 80%. Il faut en tenir compte. Le boulanger peut
se tromper. Un oeuf peut être « déclaré pourri » alors qu’il
est effectivement non-pourri.
Il s’agit d’un problème qui demande l’application du
théorème de Bayes (cf. WONNACOTT et
WONNACOTT, 4e éd., pp. 104-108).
Question 5
Pr (pourri | déclaré pourri)
= ( Pr (déclaré pourri | pourri) * Pr (pourri) ) / Pr (déclaré pourri)
= (0,80 * 0,20) / Pr (déclaré pourri)
Pr (déclaré pourri)
= ( Pr (déclaré pourri | non-pourri) * Pr (non-pourri) )
+ ( Pr (déclaré pourri | pourri) * Pr (pourri) )
= 0.20 * 0.80 + 0.80 * 0.20 = 0,32
Pr (pourri | déclaré pourri)
= (0,80 * 0,20) / 0,32 = 0,50
Question 5
SOLUTION PAR LE DIAGRAMME EN ARBRE
En bleu, données de l’énoncé
P(Déclaré pourri/P)
= 0,8
et rouge, la théorie
DP
P
P(pourri) =
0,2
P(Non pourri)
1- P(pourri) =
1- 0,2 = 0,8
P(Déclaré Non pourri/P)
= 0,2
DNP
P(Déclaré pourri/NP) DP
= 0,2
NP
P(Déclaré Non pourri /NP)
DNP
= 0,8
Pr (pourri | déclaré pourri)
= ( Pr (déclaré pourri | pourri) * Pr (pourri) ) / Pr (déclaré pourri)
Pr (déclaré pourri)?
Question 6
La « durée de vie » alimentaire d’un yaourt est distribuée
normalement avec une moyenne de 20 jours et un écart
type de 2 jours.
Quel est le nombre de jours de conservation maximum si
vous voulez garantir la fraîcheur dans 99% des cas ?
(cf. WONNACOTT et WONNACOTT, 4e éd., pp. 142-147 ; et
table de la Loi Normale en annexe, p. 874)
Soit X = nombre de jours de conservation
X ~ N(20, 2²)
Z = (X-20)/2 ~ N(0, 1)
Pr (Z ≤ zo) = 0.99
Pr (Z  zo) = 0.01
Pr (Z  ((X’-20)/2)) = 0.01
Question 6
Il s’agit tout d’abord à partir de la table de la loi Normale de
trouver la valeur de zo telle que la probabilité soit égale à 1%.
On obtient une valeur de zo = 2,31.
Il est ensuite aisé de trouver la valeur de X’ tel que l’égalité
suivante soit vérifiée : (X’ - 20) /2 = zo = 2.31.
X’ = (2.31 * 2) + 20 = 24.62
Ainsi, 1% des yaourts ont une durée de vie alimentaire
supérieure à 24.62 jours.
Si l’on fixait le nombre de jours de conservation maximum à
24.62 jours, nous accepterions les yaourts ayant une durée de
vie inférieure à 24.62 jours (soit le cas de 99% des yaourts).
Question 6
En fixant, la limite à 24.62 jours, nous écartons le 1% de
yaourts ayant une durée de vie la plus longue (les yaourts
ayant une fraîcheur parmi les plus durables). C’est
exactement l’inverse de ce que nous recherchons, à savoir
écarter le 1% de yaourts ayant la durée de vie la plus courte
(la fraîcheur la moins durable) !
Nous connaissons la propriété de symétrie de la distribution
selon la Loi Normale.
D’où,
(24.62 jours - moyenne) = 4.62 jours
Moyenne - 4.62 jours = 15.38 jours
En fixant le nombre de jours de conservation maximum à
15.38 jours, on écarte le 1% des yaourts ayant la durée de vie
la plus courte (c-à-d. les yaourts dont la durée de vie est
inférieure à 15.38 jours). On garantit la fraîcheur dans 99% des
cas.
Question 7
Un garagiste accorde une garantie d’un an sur les
véhicules d’occasion. La probabilité d’une panne dans la
période de garantie est de 25% et le coût moyen de la
réparation est de 500 euros. Le garagiste achète des
véhicules d’occasion au prix moyen de 2500 euros et il les
revend avec une marge de 20%.
a) Quelle est la marge espérée après déduction des frais
de garantie ?
Le garagiste a mis au point un test qui lui permet de vérifier
l’état de la voiture. Ce test lui permet d’affirmer, avec une
fiabilité de 90%, que la voiture n’aura pas de panne dans
la première année.
b) Que devient la probabilité de panne dans la période
de garantie pour les véhicules qu’il accepte ?
Question 7
a) Marge espérée après déduction des frais de
garantie : la marge brute s’élève à 20% du prix
d’achat de la voiture par le garagiste = 0,2 * 2500 =
500 euros, de laquelle il faut déduire les frais de
réparation en cas de panne = 0,25 * 500 = 125 euros
de sorte qu’au final, le garagiste fait une marge de
375 euros.
b) Suite au test, Pr (mauvaise)?
Pr (mauvaise) = 0.25
=> Pr (bonne) = 0.75.
Test de fiabilité : déclarée bonne ou mauvaise.
A 90%, le garagiste a raison => prob conditionnelle
Question 7
A 90%, le garagiste a raison => prob conditionnelle
Pr (déclarée bonne| bonne) = 0.90
Pr (déclarée bonne | mauvaise) = 0.10
Pr (déclarée mauvaise | mauvaise) = 0.90
Pr (déclarée mauvaise | bonne) = 0.10
Que devient la probabilité de panne dans la période
de garantie pour les véhicules qu’il accepte ?
Pr (mauvaise | déclarée bonne) = ?
La résolution du problème requiert l’application du
théorème de Bayes.
Question 7
Théorème de Bayes.
Pr (mauvaise | « bonne ») =
Pr (« bonne » | mauvaise) * Pr (mauvaise) ) / Pr (« bonne »)
= ( 0.10 * 0.25 ) / Pr (« bonne »)
Pr (« bonne ») = ?
Vous pouvez vous aider par la construction d’un arbre.
Pr (« bonne »)
= (Pr (« bonne » | bonne) * Pr (bonne))
+ (Pr (« bonne » | mauvaise) * Pr (mauvaise))
Pr (« bonne ») = (0.90 * 0.75) + (0.10 * 0.25) = 0.7
Pr (mauvaise | « bonne ») = ( 0.10 * 0.25 ) / 0.7
= 0.036, soit 3.6%
Question 8
Après une longue expérience, notre garagiste déduit que le prix
des réparations est distribué normalement avec une moyenne
de 500 euros et un écart type de 100 euros.
Quelle franchise devrait-il inclure dans la garantie afin de
diminuer de 25% le nombre de réparations effectuées sous
garantie ?
Soit X, le prix des réparations.
X ~ N(500, 100²)
On suppose que le client ne fera pas réparer lorsque la franchise
est plus élevée que le prix de la réparation.
Question 8
Soit a, le montant de la franchise.
On désire fixer la franchise de sorte
À diminuer les réparations de 25%;
Dans 25% de cas, la franchise doit être plus élevée que le prix
de la réparation.
le prix des réparations doit être supérieur à cette franchise
dans 75% des cas.
Soit Pr (X  a) = 0.75
On utilise la table de la Loi Normale mise en annexe (cf.
Wonnacott, p. 874).
Pr (X ≤ a) = 0.25
Nous connaissons la propriété de symétrie de la distribution selon
la Loi Normale.
Pr (Z  zo) = 0.25
Question 8
Pr (Z  zo) = 0.25
Ainsi, la probabilité est égale à 0.25 lorsque zo = 0.67 (valeur
trouvée dans la table).
Pr (Z  ((X’ - 500) / 100)) = 0.25
D’où, X’ = (0.67 * 100) + 500 = 567 euros.
On applique la propriété de symétrie de la distribution selon la
Loi Normale pour trouver la valeur de la franchise.
D’où, (567 - moyenne) = 67 euros
Moyenne – 67 euros = 433 euros.
La valeur de la franchise doit donc s’élever à 433 euros pour
réduire le nombre de réparations de 25%.
Question 9
Les returns mensuels des actions A et B durant les 4 derniers mois
ont été les suivants :
Mois
1
2
A
5%
10%
B
-2%
0%
3
4
-5%
-4%
4%
4%
a) Quel est le return moyen et l’écart type d’un portefeuille
contenant 40% de A et 60% de B ?
b) Quelle proportion de A doit-on détenir pour obtenir un
portefeuille d’écart type égal à 2% ?
Question 9
Etablissons un tableau reprenant les fréquences conditionnelles
et marginales des returns mensuels des deux actions A et B.
XA
-0.02
0
0.04
-0.05
0
0
1/4
1/4
-0.04
0
0
1/4
1/4
0.05
1/4
0
0
1/4
0.1
0
1/4
0
1/4
1/4
1/4
2/4
1
XB
Question 9
On considère les données comme celles d’un échantillon (n – 1).
a) Return moyen des deux actions :
_
XA = (5 + 10 – 5 - 4 / 4) = 6% / 4 = 1.5%
_
XB = (-2 + 0 + 4 + 4 / 4) = 6% / 4 = 1.5%
XA
-0.05
-0.04
0.05
0.1
_
(XA - XA)
-0.065
-0.055
0.035
0.085
=0.0
_
(XA - XA)2
0.004225
0.003025
0.001225
0.007225
=0.0157
XB
-0.02
0
0.04
0.04
_
(XB - XB)
-0.035
-0.015
0.025
0.025
=0.0
_
(XB - XB)2
0.001225
0.000225
0.000625
0.000625
=0.0027
Variance de l’action A : s2A = (0.0157 / 3) = 0.005233 => sA = 0.0723
Variance de l’action B : s2B = (0.0027 / 3) = 0.0009 => sB = 0.03
Question 9
Return moyen et écart-type d’un portefeuille contenant 40%
d’actions A et 60% d’actions B :
_
X (0.4 A + 0.6 B) = (0.4 * 0.015) + (0.6 * 0.015)
= 0.006 + 0.009 = 0.015
s2 (0.4 A + 0.6 B) = ?
CovA,B = (0.25 * (0.05 – 0.015) * (-0.02 – 0.015))
+ (0.25 * (0.1 – 0.015) * (0 – 0.015))
+ (0.25 * (-0.04 – 0.015) * (0.04 – 0.015))
+ (0.25 * (-0.05 – 0.015) * (0.04 – 0.015))
= (-000.30625) + (-0.00031875) + (-0.00034375) + (-0.00040625)
= -0.001375
s2 (0.4 A + 0.6 B)
= ((0.4)2 * 0.005233) + ((0.6)2 *0.0009) + (2 * 0.4 * 0.6 * (-0.001375))
= 0.00050128
s (0.4 A + 0.6 B) = 0.0224
Question 9
b) Quelle proportion de A doit-on détenir pour obtenir un
portefeuille d’écart type égal à 2% ?
Rappel:
a x2 + b x + c = 0
x=?
x1, x2 = (( - b + V b2 - 4 ac ) / 2 a)
Ce qui n’est pas détenu en A (x) est détenu en B (1-x).
On utilise la formule de la variance. Un écart type de 0.02 signifie
une variance (objectif) de 0.0004.
(x)2 * 0.005233 + (1-x)2 * 0.0009 + 2 * (x) * (1-x) * (-0.001375) = 0.0004
(x)2 * 0.005233 + (1-x) * (1-x) * 0.0009 + 2 * (x) * (1-x) * (-0.001375)
= 0.0004
0.005233 x2 + 0.0009 - 0.0018 x + 0.0009 x2 - 0.00275 (x-x2) = 0.0004
0.008883 x2 - 0.00455 x + 0.0005 = 0
x1 = 0.35 ; x2 = 0.16
Quand A vaut 0.35, B vaut 0.65.
Quand A vaut 0.16, B vaut 0.84.