Séries de Fourier - Université de Rennes 1

Position du problème
Identités approchées
Convergence des sommes partielles symétriques
Séries de Fourier
Dans le cadre des fonctions L1
Dimitri Petritis
UFR de mathématiques
Université de Rennes 1 et CNRS (UMR 6625)
Rennes, avril-mai 2009
Rennes, avril-mai 2009
Séries de Fourier
Position du problème
Identités approchées
Convergence des sommes partielles symétriques
Fonctions périodiques
Coefficients de Fourier
Convolution
K = R ou C.
Définition
f : R → K est périodique s’il ∃T ∈ R+ t.q.
∀x ∈ R : f (x + T ) = f (x).
T est une période de f , f est dite T -périodique.
Exemple
x 7→ cos x, sin x, cos nx, sin nx, exp(inx),
périodiques.
P
|k|≤N ck
exp(ikx) sont
Notation
Per(T ) ≡ Per(T ; K) := {f : R → K : f est T − périodique}.
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Identités approchées
Convergence des sommes partielles symétriques
Fonctions périodiques
Coefficients de Fourier
Convolution
Lemme
Toute f ∈ Per(T ; K) est totalement déterminée par sa restriction à
un intervalle de la forme [x0 , x0 + T [ avec x0 arbitraire.
Démonstration : Soit
∀x, k0 ≡ k0 (x, x0 ) := inf{k ∈ Z : x + kT − x0 ≥ 0}.
f ∈ Per(T ) ⇒ ∀x : f (x) = f (x + k0 T ).
Or x0 ≤ x + k0 T < x0 + T .
Conséquence : Toute f ∈ Per(T ) est définie par sa restriction
[x0 , x0 + T [, avec x0 arbitraire. Donc identifiée à une fonction sur
T = R/T Z.
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Convergence des sommes partielles symétriques
Fonctions périodiques
Coefficients de Fourier
Convolution
Lemme
Soit f˜ : [0, T [→ K arbitraire. On définit f : R → K par
f (x) = f˜(x + nx T ), nx = inf{k ∈ Z : x + kT ≥ 0}.
Alors f ∈ Per(T ).
Démonstration : Par définition de nx : 0 ≤ x + nx T < T . Soient
y = x + T et ny = inf{k ∈ Z : x + T + kT ≥ 0} = nx − 1.
f (x + T ) = f (y )
= f˜(y + ny T )
= f˜(x + T + (nx − 1)T )
= f˜(x + nx T )
= f (x).
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Convergence des sommes partielles symétriques
Fonctions périodiques
Coefficients de Fourier
Convolution
Définition
La fonction f définie par lemme précédent s’appelle prolongement
par périodicité de f˜.
Définition
Soit φ : R → K. Fixons T > 0 arbitraire. La série
X
f (x) :=
φ(x + kT )
k∈Z
qui est formellement périodique s’appelle périodisée par
enroulement.
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Fonctions périodiques
Coefficients de Fourier
Convolution
Définition
Soit f : R → K. On appelle groupe de périodes de f l’ensemble
Pf = {T ∈ R : ∀x ∈ R, f (x + T ) = f (x)}.
Lemme
Pf est un sous-groupe additif de (R, +).
Démonstration :
0 ∈ Pf .
T1 , T2 ∈ Pf ⇒ T1 + T2 ∈ Pf car
∀x : f (x) = f (x + T1 ) = f (x + T1 + T2 ).
T ∈ Pf ⇒ −T ∈ Pf car ∀x : f (x) = f (x + T ) peut être
appliquée à y = x + T .
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Convergence des sommes partielles symétriques
Fonctions périodiques
Coefficients de Fourier
Convolution
Remarque:
Pf = {0} ⇒ f n’est pas périodique.
Pf 6= {0} ⇒ f est périodique.
Pf = R ⇒ f est constante.
Lemme
Soit f périodique. Alors Pf est soit dense dans R soit il existe
T0 > 0 tel que Pf = T0 Z. Dans ce cas, T0 est la période
fondamentale de f .
Démonstration : Exercice 3.1.4.
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Fonctions périodiques
Coefficients de Fourier
Convolution
Lemme
Soit f ∈ Per(T , K) et a > 0. Alors
x 7→ g (x) := f (ax) ∈ Per(
Démonstration : g (x +
T
a)
T
, K).
a
= f (ax + T ) = f (ax) = g (x).
Conséquence : On peut se limiter à l’étude de fonctions
1-périodiques ou 2π-périodiques.
Ici, on se limite aux fonctions 2π-périodiques.
Donc des f définies sur T = R/2πZ, identifiées avec des
f ∈ Per(2π).
λ
ρ = 2π
mesure normalisée sur T :
Z
Z 2π
1
ρ(dt) =
dx = 1.
2π 0
T
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Fonctions périodiques
Coefficients de Fourier
Convolution
Définition
f˜ : T → K est Lebesgue intégrable si la fonction f ∈ Per(2π) qui
la prolonge par périodicité est localement intégrable sur [0, 2π[ (ou
tout autre intervalle de longueur 2π). On aura alors
Z
f˜(t)ρ(dt) ≡
Z
2π
f (x)
0
T
dx
.
2π
Notation
On écrira alors par abus de notation :
Z
Z
Z 2π
Z 2π
dx
˜
f (t)ρ(dt) ≡
≡
f (t)ρ(dt) ≡
f (x)
f (x)ρ(dx).
2π
T
0
0
Exercice
Z
∀t0 ∈ T :
Z
f (t − t0 )ρ(dt) =
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f (t)ρ(dt).
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Fonctions périodiques
Coefficients de Fourier
Convolution
Définition
Polynôme trigonométrique sur T :
P(t) :=
N
X
ck exp(ikt), t ∈ T; N ∈ N.
k=−N
Degré de P :
deg(P) := max{n : |n| ≤ N, |cn | + |c−n | =
6 0}.
Proposition
Z
cn =
P(t) exp(−int)ρ(dt).
Démonstration :
Z
exp(ilt)ρ(dt) =
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1 si l = 0
0 sinon.
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Fonctions périodiques
Coefficients de Fourier
Convolution
Remarque: Bijection entre P de degré N et (ck )k=−N,...,N .
Définition
Pour t ∈ T et (cn )n∈Z suite dans C, série trigonométrique
formelle :
X
cn exp(int).
n∈Z
Définition
Pour f ∈ L1 (T), n ∈ Z, n-e coefficient de Fourier de f :
Z
ˆ
f (n) :=
f (t) exp(−int)ρ(dt)
T
et série formelle de Fourier de f :
X
S[f ](t) :=
fˆ(n) exp(int).
n∈Z
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Fonctions périodiques
Coefficients de Fourier
Convolution
Remarques :
Suite (fˆ(n))n∈Z bien définie pour tout f ∈ L1 (T), car
t 7→ f (t) exp(−int) mesurable et |f (t) exp(−int)| = |f (t)|.
Contrairement à ce que prétendait Fourier, S[f ] n’est pas
toujours bien définie (comme fonction de t).
Objet de cette partie du cours :
1
2
Quand S[f ] a-t-elle un sens fonctionnel ?
Quand S[f ] = f ?
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Fonctions périodiques
Coefficients de Fourier
Convolution
Proposition (Propriétés élémentaires des coefficients de Fourier)
f , g ∈ L1 (T), n ∈ Z :
\
1 (f
+ g )(n) = fˆ(n) + ĝ (n).
2
3
4
5
c(n) = afˆ(n).
∀a ∈ C : af
fˆ(n) = fˆ(−n).
Si τ ∈ T et fτ (t) = f (t − τ ) (qui a toujours un sens par
périodisation), fbτ (n) = fˆ(n) exp(−inτ ).
|fˆ(n)| ≤ kf k1 .
Démonstration : Exercice.
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Fonctions périodiques
Coefficients de Fourier
Convolution
Corollaire
Soient f et (fj )j∈N de fonctions de L1 (T) et supposons :
kfj − f k1 → 0.
Alors, uniformémement en n, limj fbj (n) = fˆ(n). Plus précisément :
∀ > 0, ∃j0 : ∀j > j0 , ∀n : |fbj (n) − fˆ(n)| < .
Démonstration : (Indications)
b
ˆ
(1, 2) ⇒ ∀n : (f\
j − f )(n) = fj (n) − f (n)
⇒ ∀n : |fbj (n) − fˆ(n)| ≤ |(f\
j − f )(n)| ≤ kfj − f k1 .
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Convergence des sommes partielles symétriques
Fonctions périodiques
Coefficients de Fourier
Convolution
Théorème
Soit f ∈ L1 (T) t.q. fˆ(0) = 0. Définir ∀x ∈ R,
Z x
F (x) :=
f (t)ρ(dt).
0
Alors,
F ∈ Per(2π).
F est continue.
F̂ (n) = in1 fˆ(n), pour tout n ∈ Z∗ .
Démonstration : Au tableau.
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Fonctions périodiques
Coefficients de Fourier
Convolution
Théorème
Soient f , g ∈ L1 (T). Pour presque tout t ∈ T :
T 3 τ 7→ f (t − τ )g (τ )
est intégrable. Si
Z
h(t) :=
f (t − τ )g (τ )ρ(d τ ),
alors
h ∈ L1 (T),
khk1 ≤ kf k1 kg k1 et
∀n ∈ N : ĥ(n) = fˆ(n)ĝ (n).
Démonstration : Au tableau.
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Convergence des sommes partielles symétriques
Fonctions périodiques
Coefficients de Fourier
Convolution
Définition
Si f , g ∈ L1 (T), on appelle convolution de f et g la fonction
Z
T 3 t 7→ h(t) := f (t − τ )g (τ )ρ(d τ ),
notée h = f ? g .
Lemme
f , g , h ∈ L1 (T). L’opération ? est
commutative : f ? g = g ? f ,
associative : (f ? g ) ? h = f ? (g ? h),
distributive par rapport à + : f ? (g + h) = f ? g + f ? h.
Démonstration : Exercice 3.4.1.
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Identités approchées
Convergence des sommes partielles symétriques
Fonctions périodiques
Coefficients de Fourier
Convolution
Corollaire
(L1 (T), +, •, ?) est une algèbre de Banach, i.e.
(L1 (T), +, •) espace vectoriel normé par k · k1 , complet,
muni d’une opération interne ? vérifiant kf ? g k1 ≤ kf k1 kg k1 .
Démonstration : Exercice 3.1.4
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Identités approchées
Convergence des sommes partielles symétriques
Fonctions périodiques
Coefficients de Fourier
Convolution
Lemme
f ∈ L1 (T) et φ(t) = exp(int) pour un entier n fixé. Alors
φ ? f (t) = fˆ(n) exp(int).
Démonstration :
Z
φ(t − τ )f (τ )ρ(d τ )
φ ? f (t) =
Z
=
e int e −inτ f (τ )ρ(d τ ) = fˆ(n) exp(int).
Corollaire
f ∈ L1 (T) et k(t) :=
PN
n=−N cn
k ? f (t) =
exp(int) :
N
X
cn fˆ(n) exp(int).
n=−N
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Convergence des sommes partielles symétriques
Sommabilité en norme
Convergence ponctuelle des sommes de Cesàro
Pour f ∈ L1 (T), sous certaines conditions série converge :
X
S[f ](t) =
fˆ(n) exp(int).
n∈Z
Quand S[f ](t) = f (t) ?
Proposition (Invariance aux translations)
Si f ∈ L1 (T) et τ ∈ T, alors fτ : t 7→ fτ (t) := f (t − τ ) ∈ L1 (T) et
kfτ k1 = kf k1 .
Démonstration : Immédiate.
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Position du problème
Identités approchées
Convergence des sommes partielles symétriques
Sommabilité en norme
Convergence ponctuelle des sommes de Cesàro
Proposition (Continuité)
Si f ∈ L1 (T) et τ ∈ T, alors φ(τ ) := fτ est continue sur T, i.e.
∀τ0 ∈ T : lim kφ(τ ) − φ(τ0 )k1 = lim kfτ − fτ0 k1 = 0.
τ →τ0
τ →τ0
Démonstration : Par densité.
Supposer (pour commencer) f ∈ C (T) ⊆ L1 (T). Alors f
uniformément continue (exer. 3.4.2), i.e. :
∀ > 0, ∃δ > 0 : ∀s, t, |s − t| < δ ⇒ |f (s) − f (t)| < .
Choisir τ, τ0 ∈ T : |τ − τ0 | < δ. Alors
∀t : |(t − τ ) − (t − τ0 )| < δ ⇒ sup |f (t − τ0 ) − f (t − τ )| < .
t∈T
limτ →τ0 kfτ − fτ0 k1 ≤ limτ →τ0 supt∈T |f (t − τ0 ) − f (t − τ )| = 0,
car arbitraire.
Par densité de C (T) dans L1 (T) :
∀ > 0, ∃g ∈ C (T) : kf − g k1 < /2.
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Convergence des sommes partielles symétriques
Sommabilité en norme
Convergence ponctuelle des sommes de Cesàro
Définition
Une identité approchée (noyau de sommabilité) est une suite
(kn )n∈N de fonctions continues kn : T → C :
R
1 ∀n :
kn (t)ρ(dt) = 1,
R
2 ∀n :
|kn (t)|ρ(dt) ≤ C et
R 2π−δ
3 ∀δ ∈]0, π[, lim
|kn (t)|ρ(dt) = 0.
n→∞ δ
Remarque: Pour kn ≥ 0, condition 2 redondante.
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Convergence des sommes partielles symétriques
Sommabilité en norme
Convergence ponctuelle des sommes de Cesàro
Lemme
Soient (B, k · kB ) espace de Banach, φ : T → B continue et (kn )
identité approchée. Alors
Z
lim k kn (t)φ(t)ρ(dt) − φ(0)kB = 0.
n→∞
Démonstration :
Z
Z
Z
kn (t)φ(t)ρ(dt)−φ(0) = kn (t) (φ(t) − φ(0)) ρ(dt) =
δ
−δ
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Z
+
2π−δ
.
δ
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Convergence des sommes partielles symétriques
k
k
Sommabilité en norme
Convergence ponctuelle des sommes de Cesàro
Z
Rδ
−δ kB ≤ max|t|≤δ kφ(t) − φ(0)kB ×
R 2π−δ
δ
kB ≤ max kφ(t) − φ(0)kB ×
t∈T
|
{z
}
δ
|
|kn (t)|ρ(dt) .
{z
}
R 2π−δ
|kn (t)|ρ(dt).
−δ
δ
≤C
≤K par continuité
φ continue, i.e.
∀ > 0, ∃δ > 0 : |t| < δ ⇒ kφ(t) − φ(0)kB ≤ .
R 2π−δ
Pour ce δ > 0 : limn→∞ δ
|kn (t)|ρ(dt) = 0.
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Position du problème
Identités approchées
Convergence des sommes partielles symétriques
Sommabilité en norme
Convergence ponctuelle des sommes de Cesàro
Théorème
f ∈ L1 (T) et (kn ) identité approchée. Alors
Z
kn (τ )fτ ρ(d τ ) dans L1 .
f = lim
n→∞
Remarque:
Z
0 =
=
lim kf
Z
lim
n→∞
n→∞
− kn (τ )fτ ρ(d τ )k1
Z
f (t) − kn (τ )fτ (t)ρ(d τ ) ρ(dt).
Démonstration : Pour φ(τ ) := fτ , lemme précédent (transparent
[??]) garantit :
Z
φ(0) = lim
kn (τ )fτ ρ(d τ ).
n→∞
Or φ(0) = f .
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Identités approchées
Convergence des sommes partielles symétriques
Sommabilité en norme
Convergence ponctuelle des sommes de Cesàro
R
Remarque: On peut interpréter kn (τ )fτ ρ(d τ ) = kn ? f . Le
théorème précédent devient : f = limn→∞ kn ? f , d’où terminologie
identité approchée. Noter qu’identité e : f = e ? f n’existe pas.
Définition
On appelle noyau de Fejér la suite (Fn )n∈N de fonctions
Fn : T → C définies par
Fn (t) =
n X
j=−n
|j|
1−
n+1
exp(ijt) ∈ PolyTrign , n ∈ N.
Lemme
1
Fn (t) =
n+1
sin( (n+1)t
2 )
sin( 2t )
!2
, n ∈ N, t ∈ T.
Démonstration : Exercice 3.4.3
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Convergence des sommes partielles symétriques
Sommabilité en norme
Convergence ponctuelle des sommes de Cesàro
Proposition
(Fn ) est une identité approchée.
Démonstration :
R
R
exp(ijt)ρ(dt) = δ0j , donc Fn (t)ρ(dt) = 1.
Fn ≥ 0 ⇒ kFn k1 = 1.
Pour δ ∈ 0, π[, t ∈ [δ, 2π − δ] : (sin 2t )2 ≥ (sin 2δ )2 > 0. Donc
Z
2π−δ
Z
2π−δ
|Fn (t)|ρ(dt) =
δ
Fn (t)ρ(dt) ≤
δ
1
1
→ 0.
n + 1 (sin 2δ )2
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Convergence des sommes partielles symétriques
Sommabilité en norme
Convergence ponctuelle des sommes de Cesàro
Notation
Pour f ∈ L1 (T), on note σn (f ) := Fn ? f , avec
σn (f ; t) =
n
X
ˆ
f (j) 1 −
j=1
|j|
n+1
exp(ijt)
car Fn ∈ PolyTrig.
Théorème
Les polynômes trigonométriques sont denses dans L1 (T).
Démonstration :
(Fn ) est une identité approchée, donc kFn ? f − f k1 → 0.
P ˆ
Fn ? f (t) = σn (f ; t) =
f (j)(1 − |j| ) exp(ijt) ∈ PolyTrig.
n+1
|j|≤n
Donc ∀ > 0, ∃n : kFn ? f − f k1 ≤ .
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Sommabilité en norme
Convergence ponctuelle des sommes de Cesàro
Théorème (d’uniciité)
Soit f ∈ L1 (T). Si pour tout n, fˆ(n) = 0 alors f = 0 (au sens L1 ).
Démonstration :
σn (f ; t) =
X
fˆ(j)(1 −
|j|≤n
L1
|j|
) exp(ijt) = 0, ∀n, ∀t.
n+1
L1
Donc σn (f ) → 0. Or σn (f ) → f .
Corollaire
Si f , g ∈ L1 (T) sont telles que fˆ(n) = ĝ (n), ∀n, alors f = g , ρ-p.s.
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Sommabilité en norme
Convergence ponctuelle des sommes de Cesàro
Théorème (de Riemann-Lebesgue)
Si f ∈ L1 (T) alors lim|n|→∞ fˆ(n) = 0.
Démonstration : ∀ > 0, soit P ∈ PolyTrig t.q. kf − Pk1 ≤ . Pour
|n| > deg(P) on a P̂(n) = 0. Par conséquent :
|fˆ(n)| = |(f\
− P)(n)| ≤ kf − Pk1 ≤ .
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Sommabilité en norme
Convergence ponctuelle des sommes de Cesàro
Remarque: On s’intéresse à
Sn (f , t) =
n
X
fˆ(j) exp(ijt).
j=−n
Quel rapport avec σn (f , t) ?
σn (f , t) =
1
[S0 (f , t) + . . . + Sn (f , t)]
n+1
moyenne de Cesàro (exer. 3.4.4).
Sn (f , t) est un polynôme trigonométrique qui s’écrit Sn (f ) = Dn ? f
avec
X
sin[(n + 12 )t]
Dn (t) =
exp(ijt) =
.
sin 2t
|j|≤n
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Sommabilité en norme
Convergence ponctuelle des sommes de Cesàro
Définition
La suite (Dn ) s’appelle noyau de Dirichlet.
(Dn ) n’est pas une identité approchée car
kDn k1 n’est pas uniformément bornée et
R 2π−δ
|Dn (t)|ρ(dt) 6→ 0.
δ
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Sommabilité en norme
Convergence ponctuelle des sommes de Cesàro
Définition
Un espace de Banach homogène sur T est un sous-espace
vectoriel B de L1 (T), muni d’une norme k · kB ≥ k · k1 , avec
laquelle il est un espace de Banach, vérifiant :
f ∈ B, τ ∈ T ⇒ fτ ∈ B, kfτ kB = kf kB ;
∀f ∈ B, ∀τ, τ0 ∈ T : limτ →τ0 kfτ − fτ0 kB = 0.
Exemple (de Banach homogène)
1
2
3
C (T) avec kf k∞ = supt∈T |f (t)|.
P
1
(j) (t)|.
C m (T) avec kf kC m = m
j=0 j! supt∈T |f
R
Lp (T), 1 ≤ p < ∞ avec kf kp = ( |f (t)|p ρ(dt))1/p .
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Sommabilité en norme
Convergence ponctuelle des sommes de Cesàro
Théorème
Soient B un Banach homogène, f ∈ B et (kn ) une identité
approchée. Alors
kkn ? f − f kB → 0.
Démonstration : Application du lemme sur le Banach homogène :
Z
k kn (τ )φ(τ )ρ(d τ ) − φ(0)kB → 0
pour φ : T → B continue avec φ(τ ) = fτ .
Corollaire
Si B Banach homogène sur T, les polynômes trigonométriques sont
denses dans B.
Démonstration : Pour kn = Fn , on a kσn (f ) − f kB → 0.
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Sommabilité en norme
Convergence ponctuelle des sommes de Cesàro
Exemple
f ∈ C (T) ⇒ sup |σn (f , t) − f (t)| → 0.
t∈T
Corollaire (théorème d’approximation de Weierstraß)
Toute fonction 2π-périodique continue est uniformément
approximable par des polynômes trigonométriques.
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Sommabilité en norme
Convergence ponctuelle des sommes de Cesàro
B Banach homogène de L1 (T) et f ∈ B :
kσn (f ) − f kB → 0.
En particulier : si f ∈ C (T)
lim sup |σn (f , t) − f (t)| = 0.
n→∞ t∈T
(Convergence uniforme en t !)
Si f ∈ L1 (T) \ C (T), on a toujours kσn (f ) − f k1 → 0 mais on
ne peut pas affirmer convergence ponctuelle de σn (f ) à partir
de convergence en norme.
Même si limn σn (f , t0 ) existe pour un t0 , on ne peut pas relier
limite avec f (t0 ).
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Sommabilité en norme
Convergence ponctuelle des sommes de Cesàro
Théorème (Fejér)
Soit f ∈ L1 (T).
1
Supposons limh→0
∨
f (t0 +h)+f (t0 −h)
2
∨
= f (t0 ) existe dans R. Alors
σn (f , t0 ) → f (t0 ). En particulier si f continue en t0 , alors
σn (f , t0 ) → f (t0 ).
2
Si I intervalle fermé et f continue sur I , alors σn (f ) converge
uniformément sur I .
3
∀t : f (t) ≥ m ⇒ ∀n : σn (f , t) ≥ m
∀t : f (t) ≤ M ⇒ ∀n : σn (f , t) ≤ M.
Démonstration : Au tableau.
Rennes, avril-mai 2009
Séries de Fourier
Position du problème
Identités approchées
Convergence des sommes partielles symétriques
Sommabilité en norme
Convergence ponctuelle des sommes de Cesàro
Corollaire
Si t0 point de continuité de f est limn Sn (f , t0 ) = S∞ (f , t0 ) ∈ R,
alors S(f , t0 ) = f (t0 ).
Démonstration :
∨
Si t0 point de continuité, f (t0 ) = f (t0 ).
Si limn Sn (f , t0 ) existe, alors
∨
S∞ (f , t0 ) = σ∞ (f , t0 ) = f (t0 ) = f (t0 ).
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Séries de Fourier
Position du problème
Identités approchées
Convergence des sommes partielles symétriques
Sommabilité en norme
Convergence ponctuelle des sommes de Cesàro
Lemme
P
Si n∈Z |fˆ(n) < ∞, alors, Sn (f , t) converge uniformément sur T.
Démonstration :
Sk,l (f , t) =
l
X
n=−k
fˆ(n) exp(int) .
|
{z
}
un (t)
Or supt∈T |un (t)| ≤ |fˆ(n)|. Série converge normalement donc
uniformément.
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Séries de Fourier
Position du problème
Identités approchées
Convergence des sommes partielles symétriques
Sommabilité en norme
Convergence ponctuelle des sommes de Cesàro
Théorème
Soit f ∈ L1 (T) k fois différentiable et f (k) ∈ L1 (T). Alors
|fˆ(n)| ≤
C
, n 6= 0.
|n|k
Démonstration :
Pour k = 0 : |fˆ(n)| ≤ kf k1 .
R
f (t) = 0t f 0 (τ )ρ(dτ ). Supposons fˆ0 (0) = 0. Alors pour n 6= 0 :
fˆ0 (n)
kf 0 k1
fˆ(n) =
⇒ |fˆ(n)| ≤
.
in
|n|
Si fˆ0 (0) 6= 0 écrire f (t) = t fˆ0 (0) +
Rt
0
f˜0 (τ )dτ , où f˜0 (τ ) = f 0 (τ ) − fˆ0 (0). Donc
b̃
1
f 0 (n)
C
fˆ0 (n) = fˆ0 (0) +
⇒ |fˆ0 (n)| ≤
.
n
in
|n|
On conlut en itérant.
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Séries de Fourier
Position du problème
Identités approchées
Convergence des sommes partielles symétriques
Sommabilité en norme
Convergence ponctuelle des sommes de Cesàro
Remarque: La théorie des séries de Fourier pour des fonctions 2
fois différentiables dont la 2e dérivée intégrable est élémentaire car
pour des telles fonctions
lim Sn (f , t) = f (t), uniformément en t.
n→∞
Remarque: Un autre cas beaucoup plus simple que le cas L1 (T)
est le cas L2 (T) ⊆ L1 (T) qui est un espace de Hilbert.
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Séries de Fourier
Position du problème
Identités approchées
Convergence des sommes partielles symétriques
Convergence en norme de la série de Fourier
Convergence ponctuelle
Définition
Soit B Banach homogène sur T. On dit que
P B admet une
convergence en norme pour Sn (f , t) = nj=−n fˆ(j) exp(ijt) si
pour tout f ∈ B :
lim kSn (f ) − f kB = 0.
n
Théorème
Un Banach homogène B admet un convergence en norme ssi il
existe K > 0 telle que, uniformément en f et en n :
kSn (f )kB ≤ K kf kB .
Remarque: Sn est l’opérateur linéaire B 3 f 7→ Sn (f ) ∈ B.
∀n, ∀f : kSn (f )kB ≤ K kf kB ⇔ ∀n, |||Sn |||B :=
sup
f ∈B
0<kf kB ≤1
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Séries de Fourier
kSn (f )kB
≤ 1.
kf kB
Position du problème
Identités approchées
Convergence des sommes partielles symétriques
Convergence en norme de la série de Fourier
Convergence ponctuelle
Théorème (de Banach-Steinhaus ou de la borne uniforme)
Soient (X, k · kX ) Banach et (Y, k · kY ) normé. Noter
H = {h : X → Y} une famille d’applications continues. Supposons
que suph∈H kh(x)kY < ∞, pour tout x ∈ X, i.e.
∀x ∈ X, ∃K (x) < ∞ : ∀h ∈ H, kh(x)kY ≤ K (x).
Alors, il existe boule fermée B ⊆ X, de rayon > 0 t.q.
sup sup kh(x)kY < ∞.
x∈B h∈H
Démonstration : Hors programme (niveau M1). Une démonstration
succincte est est donnée ici.
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Séries de Fourier
Position du problème
Identités approchées
Convergence des sommes partielles symétriques
Convergence en norme de la série de Fourier
Convergence ponctuelle
Démonstration du théorème :
[ ⇒] Supposons ∃K t.q. ∀f , ∀n : kSn (f )kB ≤ K kf kB .
B homogène ⇒ PolyTrig denses dans B, i.e.
∀ > 0, ∀f ∈ B, ∃P ∈ PolyTrig : kf − PkB ≤ /2K .
Pour n > deg(P) :
kSn (f ) − f kB = kSn (f ) − Sn (P) + P − f kB
≤ kSn (f − P)kB + kf − PkB
+
,
≤ K
2K
2K
uniformément en f car si f ∈ B, alors g = f − P ∈ B et
kSn (g )kB ≤ K kg kB .
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Séries de Fourier
Position du problème
Identités approchées
Convergence des sommes partielles symétriques
Convergence en norme de la série de Fourier
Convergence ponctuelle
[ ⇐ ] Supposons que limn kSn (f ) − f kB = 0.
Si kf kB = 0, alors limn kSn (f ) − f kB = 0 et rien à montrer.
Supposons donc kf kB 6= 0. limn kSn (f ) − f kB = 0 s’écrit :
∀ > 0, ∃n0 : n ≥ n0 , f ∈ B ⇒ kSn (f ) − f kB ≤ kf kB .
kak − kbk ≤ ka − bk. Donc ∀f , ∀n :
kSn (f )|B ≤ kf kB + kSn (f ) − f kB
≤ kf kB + max(kf kB ; max kSn (f ) − f kB
| {z } k≤n0
{z
}
n≥n0 |
≤2(n0 +1)kf kB
≤ K1 kf kB (K1 = 1 + max(, 2(n0 + 1))).
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Séries de Fourier
Position du problème
Identités approchées
Convergence des sommes partielles symétriques
Convergence en norme de la série de Fourier
Convergence ponctuelle
∀f ∈ B : sup kSn (f )kB ≤ K1 kf kB .
n
Par conséquent, pour la famille H = {Sn : B → B, n ∈ N} on a :
suph∈H kh(f )kB := supn∈N kSn (f )kB < ∞.
Il existe donc boule fermée (r > 0) : B = {f ∈ B : kf kB ≤ r } t.q.
sup sup kSn (f )kB < ∞
f ∈B n∈N
⇒
sup sup kSn (g )kB < ∞ (g = f /r et linéarité de Sn )
g ∈B
n∈N
kg k=1
⇒
sup sup kSn (g )kB = K
g ∈B
n∈N
kg k=1
⇒ ∀f , ∀n : kSn (f )kB = K kf kB
(g = f /kf k).
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Séries de Fourier
Position du problème
Identités approchées
Convergence des sommes partielles symétriques
Convergence en norme de la série de Fourier
Convergence ponctuelle
Remarque:
kSn (f )kB = kDn ? f kB
Z
= k Dn (τ )fτ ρ(d τ )kB
Z
≤
|Dn (τ )|kf kB ρ(d τ )
|||Sn |||B
= kf kB kDn k1 .
kSn (f )kB
≤ kDn k1 .
=
sup
kf kB
f ∈B
0<kf k≤1
Définition
Les Ln = kDn k1 sont appelées constantes de Lebesgue.
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Séries de Fourier
Position du problème
Identités approchées
Convergence des sommes partielles symétriques
Convergence en norme de la série de Fourier
Convergence ponctuelle
Proposition
Si B = L1 (T), alors |||Sn |||B = kDn k1 .
Démonstration : On a toujours |||Sn ||| ≤ kDn k1 (rq précédente).
Pour noyau de Fejér (FN ), on a :
∀N : kFN k1 = 1 ⇒ |||Sn ||| ≥ kSn (FN )k1 .
Or, kSn (FN )k1 = kσN (Dn )k1 (execice !)
∀n, Dn continue sur T, donc limN kσN (Dn ) − Dn k1 = 0, i.e.
∀n, ∀ > 0, ∃N0 : N ≥ N0 ⇒ kDn k1 − kσN (Dn )k1 ≤
kσN (Dn ) − Dn k1 ≤ .
Donc : kσN (Dn )k1 ≥ kDn k1 − ; arbitraire : |||Sn ||| = kDn k1 .
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Séries de Fourier
Position du problème
Identités approchées
Convergence des sommes partielles symétriques
Convergence en norme de la série de Fourier
Convergence ponctuelle
Exercice
Montrer que pour n grand :
Ln =
4
log n + O(1).
n
Donc (Dn ) n’est pas une identité approchée.
Corollaire
L1 (T) n’admet pas de convergence en norme : kSn (f ) − f k1 6→ 0.
Démonstration : Les opérateurs Sn n’ont pas de norme |||Sn |||1
uniformément majorée.
Remarque: Si B = C (T), convergence en norme ⇔ convergence
uniforme ; en effet : kSn (f ) − f kC (T) = supt∈T |Sn (f , t) − f (t)|.
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Séries de Fourier
Position du problème
Identités approchées
Convergence des sommes partielles symétriques
Convergence en norme de la série de Fourier
Convergence ponctuelle
Proposition
C (T) n’admet pas de convergence en norme.
Démonstration : |||Sn |||C (T) ≥ Ln − (exercice !)
Théorème
Pour tout p ∈]1, ∞[, les espaces Lp (T) admettent une convergence
en norme.
Remarque: C (T) ⊆ Lp (T). Cependant, pas de contradiction.
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Séries de Fourier
Position du problème
Identités approchées
Convergence des sommes partielles symétriques
Convergence en norme de la série de Fourier
Convergence ponctuelle
Question : même si C (T) n’admet pas de convergence en norme,
est-il vrai que ∀f ∈ C (T), Sn (f , t) → f (t) ponctuellement ?
Réponse : Non !
Théorème
Il existe une fonction continue dont la série de Fourier diverge en un
point.
Démonstration : Longue et technique (hors programme).
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Séries de Fourier
Position du problème
Identités approchées
Convergence des sommes partielles symétriques
Convergence en norme de la série de Fourier
Convergence ponctuelle
Théorème (de convergence ponctuelle)
1
). Alors Sn (f , t) et
Soit f ∈ L1 (T) et supposons que |fˆ(n)| = O( |n|
σn (f , t) convergent pour les mêmes valeurs de t vers la même
limite. En outre, si σn (f , ·) converge uniformément sur A ⊆ T, alors
Sn (f , ·) converge uniformément sur A ⊆ T.
Démonstration : Son esquisse est donnée au tableau.
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Position du problème
Identités approchées
Convergence des sommes partielles symétriques
Convergence en norme de la série de Fourier
Convergence ponctuelle
Définition
Soit f : [a, b] → R. Pour toute subdivision
π = (a ≡ t0 < t1 < . . . tn ≡ b) de [a, b], avec n ∈ N∗ , on définit la
variation de f associée à π, notée v (f ; π), par
v (f ; π) =
n−1
X
|f (tk+1 ) − f (tk )| ∈ [0, ∞].
k=0
Soit Π[a,b] l’ensemble de partitions de [a, b]. On définit la variation
de f sur [a, b], notée V (f ; a, b), par
V (f ; a, b) = sup v (f ; π).
π∈Π[a,b]
Si V (f ; a, b) < ∞, on dit que f est à variation bornée sur [a, b].
On note VB([a, b]) l’ensemble de fonctions à variation bornée.
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Position du problème
Identités approchées
Convergence des sommes partielles symétriques
Convergence en norme de la série de Fourier
Convergence ponctuelle
Exercice
1 f : [a, b] → R monotone ⇒ f ∈ VB([a, b]).
2
f : [a, b] → R monotone par morceaux ⇒ f ∈ VB([a, b]).
3
VB([a, b]) est un espace vectoriel.
Lemme
Si f ∈ VB([a, b]), alors les fonctions définies par les formules
[a, b] 3 x
7→ V (f ; a, x)
[a, b] 3 x
7→ V (f ; a, x) − f (x)
sont croissantes.
Démonstration : Au tableau.
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Position du problème
Identités approchées
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Convergence en norme de la série de Fourier
Convergence ponctuelle
Corollaire
f : [a, b] → R est à variation bornée ssi elle est la différence de 2
fonctions croissantes.
Proposition (de décroissance des coefficients)
f ∈ (L1 ∩ VB)(T) ⇒ sup |nfˆ(n)| < ∞
n
(i.e. |fˆ(n)| = O(1/|n|)).
Avant de démontrer cette proposition, nous avons besoin d’un
résultat intermédiaire.
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Position du problème
Identités approchées
Convergence des sommes partielles symétriques
Convergence en norme de la série de Fourier
Convergence ponctuelle
Lemme
Si f : [a, b] → R monotone, alors ∀α ∈ R :
Z n
|α
f (x) exp(iαx)dx| ≤ |f (a) − f (b)| + |f (a) − exp(iα)f (b)|.
a
Démonstration de la prop. ?? : Pour [a, b] = [0, 2π] et α = n :
Z 2n
dx |nfˆ(n)| = n
f (x) exp(inx) 2π
0
1
(|(f (2π) − f (0)| + |f (0) − exp(in)f (2π)|) = C .
≤
2π
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Convergence en norme de la série de Fourier
Convergence ponctuelle
Corollaire
Si f ∈ (L1 ∩ VB)(T), alors :
∨
1
Sn (f , t) → f (t) et en particulier vers f (t) à tout point de
continuité de f .
2
La continuité est uniforme sur les interalles fermés de
continuité de f .
Démonstration :
∨
1
Par le théorème (??) de Fejér : σn (f , t) → σ∞ (f , t) = f (t).
f ∈ VB ⇒ |fˆ(n)| = O(1/|n|).
Par le théorème (??) de convergence ponctuelle :
Sn (f , t) → σ∞ (f , t).
2
Si f continue sur intervalle fermé I ⊆ T, alors σn (f , t) → f (t),
uniformément sur I .
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Convergence des sommes partielles symétriques
Convergence en norme de la série de Fourier
Convergence ponctuelle
Lemme
Soit f ∈ L1 (T) et supposons que
Sn (f , 0) → 0.
R 1 f (t) −1 t dt < ∞. Alors
Théorème (de Dini)
Soit f ∈ L1 (T).
Z 1
f (t + t0 ) − f (t0 ) dt < ∞ ⇒ Sn (f , t0 ) → f (t0 ).
t
−1
Démonstration : Noter f (t0 ) = a. Alors
G (t) = f (t + t0 ) − f (t0 ) = f−t0 (t) − a ∈ L1 (T) et hypothèse entraîne
R 1 G (t) dt < ∞. Lemme précédent garantit Sn (G , 0) → 0. Or,
−1 t Sn (G , 0) = Sn (f−t0 , 0) − a = Sn (f , t0 ) − f (t0 ) → 0.
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