Chapitre 16 : Parallélogrammes particuliers

Chapitre 16 : Parallélogrammes particuliers
Propriété: un rectangle a ses diagonales de même longueur.
Conséquence : comme un rectangle est un parallélogramme particulier, on peut affirmer
que les diagonales du rectangle se coupent en leur milieu et sont de même longueur.
I LE RECTANGLE
Exemple :
Définition : un rectangle est un quadrilatère qui a 4 angles droits.
Remarque : si un quadrilatère a seulement 3 angles droits, c'est un rectangle.
Propriété : le rectangle est un parallélogramme particulier, il possède donc toutes les
propriétés du parallélogramme.
1.
Quelle est la nature du quadrilatère VERT ? Justifier.
Le quadrilatère VERT a 3 angles droites donc c'est un rectangle.
Exemple :
2.
Quelle est la longueur du segment [TE] ? Justifier.
Les diagonales d'un rectangle se coupent en leur milieu et sont de même longueur, donc
VR = 4,2 + 4,2 = 8,4 cm
TE = VR = 8,4 cm
1.
Quelle est la nature du quadrilatère BLEU ? Justifier.
Propriété: si un parallélogramme a un angle droit, alors c'est un rectangle.
Le quadrilatère BLEU a 4 angles droits donc c'est un rectangle.
Exemple :
2.
Quelle est la longueur du côté [BL] ? Justifier.
Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Les côtés opposés d'un rectangle sont de même longueur donc
BL = UE = 4,4 cm.
Démontrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle.
Dans un triangle la somme des mesures des 3 angles est
égale à 180°, donc ̂
ABC =180−(40+50)=90 °
Or, si un parallélogramme a un angle droit, alors c'est un rectangle.
Donc ABCD est un rectangle.
Propriété : si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c'est un
rectangle.
Propriété: un losange a ses diagonales perpendiculaires.
Exemple :
Conséquence : comme un losange est un parallélogramme particulier, on peut affirmer
que les diagonales du losange se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
Le quadrilatère IJKL est un parallélogramme.
Exemple :
Est-ce que le quadrilatère IJKL est un rectangle ?
Expliquer.
1.
Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? Justifier.
IK = 8 cm et L = 7 cm.
Non ce quadrilatère n'est pas un rectangle car ses
diagonales n'ont pas la même longueur.
Le quadrilatère ABCD a 4 côté de même longueur donc c'est un
losange.
II LE LOSANGE
Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires donc
̂
BOC =90 ° .
Dans un triangle la somme des mesures des 3 angles est égale à
180° donc
Définition : un losange est un quadrilatère qui a 4 côtés de même longueur.
Propriété : le losange est un parallélogramme particulier, il possède donc toutes les
propriétés du parallélogramme.
Exemple :
2. Calculer la mesure de l'angle ̂
BCO . Justifier.
̂
BCO=180−(90+ 30)=60 °
Propriété: si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c'est
un losange.
Exemple :
Le quadrilatère EFGH est un parallélogramme.
Démontrer que le quadrilatère EFGH est un
losange.
1.
Quelle est la nature du quadrilatère ROSE? Justifier.
Le quadrilatère ROSE a 4 côtés de même longueur donc c'est un losange.
2.
Quelle est la longueur du segment [TS] ? Justifier.
Les diagonales d'un losange se coupent en leur milieu donc
TS = RT = 2,8 cm.
Les côtés consécutifs HE et EF ont la même longueur.
Or, si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c'est un
losange.
Donc EFGH est un losange.
Propriété : si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c'est un
losange.
III LE CARRE
Exemple :
Définition : un carré est un quadrilatère qui a 4 angles droits et 4 côtés de même longueur.
Le quadrilatère RSTU est un parallélogramme.
Propriété : le carré possède toutes les propriétés du parallélogramme, du rectangle et du
losange.
Exemple :
ABCD est un carré de centre O tel que OA = 3 cm.
Faire un schéma à main levée puis construire ce carré en vraie grandeur.
Est-ce que le quadrilatère RSTU est un losange ? Expliquer.
Dans un triangle la somme des mesures des 3 angles est égale à 180° donc
̂
SOT =180−( 60+30)=90 ° donc les diagonales (SU) et (RT) sont
perpendiculaires.
Or, si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c'est un losange.
Donc RSTU est un losange.