Multidiffusion en milieu aléatoire

Multidiffusion en milieu aléatoire
Francine Luppé
LOMC-GOA
Jean-Marc Conoir
IJLRDA
Diffuseur
On traite de la propagation des ondes en régime
linéaire
1
Régime de localisation forte (localisation d’Anderson)
1958, Anderson prédit qu’un désordre suffisamment fort peut bloquer la propagation
des électrons dans un métal et transformer un conducteur en un isolant électrique.
Régime diffusif (cône de rétro-diffusion cohérente)
r
kinc
r
k s (q)
q
Régime propagatif
Onde cohérente
Direction de
propagation
2
Formalisme basé sur les fonctions de Green
(équation de DYSON & diagrammes de Feynman)
Bourret (1962), Furutsu (1963), Tatarsky (1964),
Frish (1965), …
Formalisme basé sur les équations de la diffusion
multiple (diffuseurs localisés)
Foldy (1945), Lax (1951), Waterman & Truell (1961),
Twersky (1962), Fikioris & Waterman (1964), Lloyd &
Berry (1967),…
3
Plan
Milieu hôte = fluide
Les équations de la diffusion multiple
Le champ moyen se propage
Le nombre d ’onde de l ’onde cohérente = nombre d ’onde effectif
? Milieu hôte = solide élastique / poro-élastique ?
Le milieu effectif = milieu équivalent du point de vue
de l ’ acoustique et du champ cohérent
4
Les équations de la diffusion multiple
r
r
y (r ) = y inc (r ) +
N
r r
y S ( r ; rj )
å
r r
r
y (r ; rj ) = y inc (r ) +
j
r
r
j= 1
E
y inc
diffuseur
rj
r
N
å
r r
y S (r ; rk )
j
k¹ j
k¹ j
r r
r E r r
y S ( r ; rj ) = T ( r j ) y ( r ; r j )
Relation de
fermeture
5
r
r
y (r ) = y inc (r ) +
N
r E r r
T ( rj ) y ( r ; rj )
å
j= 1
r
E r r
y (r ; rj ) = y inc (r ) +
N
å
r E r r
T (rk )y (r ; rk )
k¹ j
Ne sachant pas résoudre les équations qui gouvernent le
champ, on cherche l’équation qui gouverne le champ
moyen
(en espérant que ce soit plus simple)
r
r r
r
r
r
y (r ) = ò y (r , r1 ,..., rN ) p(r1,..., rN )dr1...drN
r r
y (r rj ) =
r r
r
r
r r
ò y (r , r1,..., rN ) p (r1,..'.., rN rj )dr1..'..drN
6
r
r
y (r ) = y inc (r ) +
N
å
r E r r
T ( rj ) y ( r ; rj )
j= 1
r
r
r
r r
r
p (r1 ,..., rN ) = p (r1 ,..'.., rN rj ) p(rj )
r
r
y (r ) = y inc (r ) +
r
r
Np(rj ) = n(rj )
r
r
E r r
ò T (rj ) y (r rj ) n(rj )drj
r
E r r
y (r ; rj ) = y inc (r ) +
N
å
r E r r
T (rk )y (r ; rk )
k¹ j
r
r r
r
r r r
r r
p (r1 ,..'.., rN rj ) = p (r1 ,..''.., rN rj , rk ) p(rj rk )
r r
r
y (r rj ) = y inc (r ) +
E
r
r r
E r r r
ò T (rk ) y (r rj , rk ) n(rj rk )drk
7
APPROXIMATION DE FOLDY
r r
y (r rj ) ;
r
y (rj )
E
r
r
y (r ) = y inc (r ) +
r
r
r
ò T (rj ) y (rj ) n(rj )drj
APPROXIMATION QUASI
CRISTALLINE (QCA)
E r r r
E r r
y (r rj , rk ) ; y (r rk )
r r
r
y (r rj ) = y inc (r ) +
E
r
r
y (r ) = y inc (r ) +
r
r r
E r r
ò T (rk ) y (r rk ) n(rj rk )drk
r
r
E r r
ò T (rj ) y (r rj ) n(rj )drj
8
Formule de Foldy (1945)
r
r
y (r ) = y inc (r ) +
r
r
r
ò T (rj ) y (rj ) n(rj )drj
r
r
r
r r
T (rj ) y (rj ) = g (k ) y (rj ) G0 (r - rs )
r
n(rj ) = n0
r
éÑ 2 + k 2 ùG (rr - rr ) = - d(rr - rr )
s
s
êë
ú
û 0
r2
r2
r
r
2
éÑ + k ù y (r ) = n g (k ) y (r ) éÑ + k 2 ùG (rr - rr )dr
0
j
j
ò j êë
êë
ú
ú
û
û
r
éÑ 2 + k 2 )ù y (rr ) = - n g (k ) y (rr )
0
êë
ú
û
k
2
eff
2
= k + n0 g (k )
r
éÑ 2 + k 2 ù y (rr ) = 0
eff ú
êë
û
9
Hypothèse de champ lointain
kr ® ¥
C’est une hypothèse qui revient implicitement à supposer
que la concentration des diffuseurs est « faible »
fS=
å
i nTn H n(1) (kr )einq
n
;
2 i ( kr- p 4)
inq
¥
e
T
e
=
G
å
n
0 ( kr ) f ( k , q)
p kr
n
Fonction de
forme en champ
lointain
10
Les formules célèbres
f (0)
f (p )
ISA: Independent
Scattering Approximation
2
ækeff
çç
ççè k
ö
n0
÷
÷
= 1- 4i 2 f (0)
÷
÷
k
ø
Waterman & Truell (1961)
ækeff
çç
çè k
2
2
ö æ 2n0
ö
÷
çç1 + 2 f (0)÷
=
÷
÷
÷
÷
ç
ø
ø è ik
2
æ2n0
ö
çç 2 f (p )÷
÷
çè ik
ø÷
Fikioris & Waterman (1964) : hole correction
a
r r
n(rj rk ) = n0
r r
n(rj rk ) = 0
D(keff)=0
r
rj r
rj -
r
rk > b
b

2
a
r
rk £ b Rayon d ’exclusion
11
Linton & Martin (2005) // Lloyd & Berry (1967)
ækeff
çç
ççè k
2
2
ö
n
n
8
÷
0
0
÷
=
1
4
i
f
(
0
)
+
÷
2
4
÷
k
p
k
ø
p
æq ö d
2
÷
ç
c
ot
g
f
(
q
)
ò ççè2 ø÷÷d q[ ] d q
0
n0
 1
2
k
b0
n0 a 2  1
et dans un solide ?
dans un milieu poro-élastique ?
Chaque onde cohérente obéit-elle à sa propre équation de
dispersion ?
f LT (0) = fTL (p )
f LT (p ) = f LT (p )
L=1,2
f LT (q) ¹ 0 ,
f12 (q)¹ 0
fTL (q) ¹ 0 ,
f 21 (q)¹ 0
12
Yang et Mal 1994 (solide)
ækeff
çç
çè k
WT
2
2
ö æ 2n0
ö
÷
çç1 + 2 f (0)÷
=
÷
÷
÷
÷
ç
ø
ø è ik
2
æ2n0
ö
çç 2 f (p )÷
÷
èç ik
ø÷
Varadan, Ma, Varadan 1986 (solide)
FW
Couplage , sauf en basse fréquence
Luppé, Conoir, Robert 2008 (poro-élastique)
Tw=WT
Onde T : pas de couplage
Ondes rapide et lente couplées
Conoir, Norris 2009 (solide) , FW, b tend vers 0
LM
Couplage ondes L et T
13
Milieu effectif

en moyenne
keff complexe
? eff , ceff
keff
keff2
2


n
n
2
0
0
 k 1  4if  0  2  8J  0 4 
k
k 

Fluide visqueux
eff , eff ?
Mode acoustique
Mode rotationnel
2

1
2
Ka  2
eff
ceff
1 i
eff ce2ff
14
1-
Coefficient de réflexion à l ’interface
Milieu aléatoire
fluide parfait /
Fluide visqueux
effectif
2-
Nombre d ’onde
du mode acoustique
3-
ceff = c0 (fluide hôte)
 eff , eff
dépendent de la fréquence et de
l ’angle d ’incidence
sauf (très) basse fréquence (ka<1)
15
ar
a
Chekroun, Le Marrec, Lombard, Piraux, Abraham (2009)
a=0
L
(a=cte)
L;
2
? L Z avec k ?
n0
?? (ka )??
+ n0 grand, + la cohérence est « rapide »
?+ il y a de diffuseurs par longueur d ’onde, + la cohérence est « rapide »?
16
Fikioris & Waterman, Linton & Martin
Lµ a
kL < < 1
L
kL < < 1
Û
ka < < 1
FW+LM+Chekroun et al.
ka
?? L µ
??
n0
Û
ka < <
n0
<1
2
k
17
Le calcul du coefficient de réflexion à l ’interface
??
??
n ’est valide que si ka <<1
 , ka  1
eff
2
n0
n02
 1  2i 2  f  0   f     2 4  f  0   f   

k
k
 c2
eff  4


n0
n02
 f  0 2  i 4
k
k

  f  0     f   
2
2


 6 f  0  f   

18
Nombre d ’onde effectif
Fikioris et Waterman pour poro-élastique
b tend vers 0 (Linton et Martin)
couplage avec l ’onde T (id solide)
Milieu effectif
Et si ka n ’est pas <<1 ????
Etudier le milieu infini, relation déplacement /contrainte
Solide et poro-élastique
19