Loi d`engendrement

Logique et raisonnement
scientifique
cours transversal
Collège Doctoral
Pr. Alain Lecomte
3. Logique et mathématiques
De Frege à Gödel-2
Les ordinaux
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un ensemble  est un ordinal s’il a les deux
propriétés suivantes :
La relation x  y est sur  une relation
d’ordre total strict qui est un bon ordre ;
Si x  alors x 

, {}, {, {}}, {, {}, {, {}}}, {, {},
{, {}}, {, {}, {, {}}}} etc.
Loi d’engendrement

Loi d’engendrement
 {}
Loi d’engendrement
 {} {, {}},
Loi d’engendrement
 {} {, {}}, {, {}, {, {}}},
Loi d’engendrement
 {} {, {}}, {, {}, {, {}}}, {, {},
{, {}}, {, {}, {, {}}}} etc.
ordinaux


si  est un ordinal, alors   {} est un
ordinal. On note alors ce nouvel ordinal : +,
c’est le successeur de .
Un ordinal est dit fini si lui-même et chacun
de ses éléments est successeur d’un ordinal.
Dans le cas contraire, on parle d’ordinal
limite
Ordinaux limites
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l’ensemble de tous les ordinaux finis est un
ordinal
on ne peut pas trouver d’ordinal dont il soit le
successeur !
autrement dit c’est un ordinal limite. notonsle  : c’est le plus petit ordinal infini
ordinaux
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Mais  + 1 =   {}   est aussi un ordinal
limite
,  + 1,  + 2,  + 3, ….  +  = 2,
puis 3, 4 …  = 2,
puis 3, …,  


Les ordinaux et les cardinaux
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0 =  ( est le plus petit ordinal équipotent
à N)

On pose:
 1

( est un ordinal, le successeur d’un cardinal
k est le plus petit cardinal qui lui est
supérieur)
0
Card(R) = Card(N) = 2
0
Question: est-ce que 2 =
?


1
Le paradoxe de Burali-Forti

l’ensemble de tous les
ordinaux est muni d’un
bon ordre, donc est un
ordinal, cet ordinal est
ainsi à la fois un
élément de l’ensemble
des ordinaux et
strictement plus grand
que tous les ordinaux
contenus dans cet
ensemble
Le paradoxe de Russell
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
La fonction (le concept)  pourrait très bien
s’appliquer à elle-même comme objet,
on peut envisager un concept nouveau qui
serait le concept « ne pas s’appliquer à soimême »
l’extension de ce nouveau concept serait ^
= { ; ()} = { ;  ()}
NB : Russell : 1872 – 1970
Le paradoxe

Est-ce que ce concept s’applique à luimême?
oui?
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Alors (), donc   ^, donc :  (),
Donc
NON!
non?
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
Alors (), donc   ^, donc : (),
Donc
OUI!
Comment s’en sortir?
?
….faut-il s’en sortir?
L’autoréférence
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
En biologie : Maturana (1970), Varéla (années
1980-90)
Un système autopoiétique est organisé comme un
réseau de processus de production de composants
qui:
a)
b)
Régénèrent continuellement par leurs transformations et
leurs interactions le réseau qui les a produits, et qui
Constituent le système en tant qu’unité concrète dans
l’espace où il existe, en spécifiant le domaine topologique
où il se réalise comme réseau
(Maturana, Varéla, 1980)
Exemple de la cellule

« la cellule vivante émerge de son
environnement moléculaire en spécifiant une
membrane qui la distingue de son milieu,
mais pour ce faire, elle doit produire des
molécules dont la fabrication nécessite
l’existence d’une membrane ou d’une
frontière »
Exemple de la cellule
les
membranes
définissent
la frontière
qui produit les
molécules constitutives
de la…
notion de « clôture opérationnelle »:
Les processus dépendent récursivement les uns des autres pour leur
propre génération et définissent ainsi l’individualité du système au sein
duquel ils se déroulent. (J. P. Rennard, « Vie Artificielle », p.14)
auto
référence
La théorie des types de
Russell

« Il est admis que les paradoxes à éviter
résultent tous d’un certain genre de cercle
vicieux. Les cercles vicieux en question
proviennent de ce que l’on suppose qu’une
collection d’objets peut contenir des
membres qui ne peuvent justement être
définis qu’au moyen de la collection, prise
dans sa totalité ».
La théorie des types de Russell

« Plus généralement, donnons-nous un groupe
d’objets tels que ce groupe, étant capable par
hypothèse d’être totalisé, doive d’autre part contenir
des membres qui présupposent cette totalité, alors,
ce groupe ne peut pas être totalisé. En disant qu’un
groupe ne peut être totalisé, nous voulons dire
surtout qu’aucune affirmation ayant un sens ne peut
être faite concernant « tous ses membres ». […]
Dans de tels cas, il est nécessaire de décomposer
notre groupe en groupes plus petits dont chacun soit
capable d’être totalisé. C’est ce que la théorie des
types s’efforce d’effectuer ».
Hiérarchie des types
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
Des lettres pour des individus : a, b, c, x, y, z, w
Des fonctions qui s’appliquent à ces objets et à eux
seulement : fonctions du premier ordre
x. (x) : fonction du premier ordre (si x un individu)
dépend de  qui n’est pas un individu!
donc . x. (x) n’est pas une fonction de premier
ordre
fonction de second ordre … et ainsi de suite
L’influence de la théorie des types au
XXème siècle

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
Une théorie « des catégories »
Notion « d’erreur de catégorie »
Philosophie analytique
–

G. Ryle : The Concept of Mind, 1949
L. Wittgenstein : vers une grammaire de la
pensée
Retour à Wittgenstein…
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pourquoi un chien ne peut-il simuler la douleur ? est-il trop
honnête ?
pourquoi ma main droite ne peut-elle donner de l’argent à ma
main gauche ? est-elle trop avare ? (Recherches
philosophiques, §268)
puis-je avoir le mal de dent d’autrui ? puis-je avoir mal à la dent
d’autrui ? (Puis-je avoir mal à ma dent en or ?)
puis-je observer ce qui se passe dans l’esprit d’autrui ? puis-je
observer ce qui se passe dans l’estomac d’autrui ?
pourquoi une machine ne peut-elle calculer de tête ? Est-ce
parce qu’elle n’a pas de tête ?
Retour à Wittgenstein…
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
J. Bouveresse (« la parole malheureuse »):
« l’humour inconscient de la première question réside à chaque
fois dans le fait, brutalement mis en évidence dans la seconde,
qu’elle a revêtu l’apparence trompeuse d’une question factuelle
ordinaire. Il en est ainsi, pour Wittgenstein, d’un grand nombre
de questions métaphysiques : elles donnent l’impression
d’avoir un sens et une importance parce qu’elles sont
formulées comme des questions d’expérience ; de sorte que
nous nous imaginons que nous aurions appris quelque chose
de nouveau si nous savions y répondre, alors qu’elles peuvent
seulement dans le meilleur des cas nous faire prendre
conscience de l’existence d’une règle grammaticale implicite ».
Le « tournant linguistique »

4.003 – […] La plupart des propositions et
questions de la philosophie reposent sur ceci
que nous ne comprenons pas la logique de
notre langage. (Ce sont des questions du
type : est-ce que le Bien est plus ou moins
identique que le Beau ?). Rien d’étonnant à
ce que les plus profonds problèmes ne
soient pas à proprement parler des
problèmes.