Logique et raisonnement 1 Démontrer que deux nombres sont égaux Exercice 1 Il existe au moins trois techniques pour montrer que deux nombres m et n sont égaux : – On transforme m jusqu’à ce qu’on trouve n. – On transforme m, on transforme n jusqu’à ce qu’on tombe sur un même nombre r. – On montre que m − n = 0. Etablissez les égalités et identités suivantes : √ √ 1◦ (1 + 2 3)2 = 13 + 4 3. 2◦ Pour tout nombre réel x, on a : x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 = (x2 + 3x + 1)2 . √ √ 5− 2 3 √ √ =√ 3 5+ 2 4◦ Pour tout nombre réel a : √ 3◦ a3 − 1 = (a − 1)(a2 + a + 1). 5◦ Pour tout nombre réel x, on a : (x − 3)(x2 + 3x − 10) = (x + 5)(x2 − 5x + 6). ◦ 6 Pour tout nombre réel x 6= 1, on a : 4 2x2 − 5x − 1 = 2x − 3 − . x−1 x−1 7◦ Pour tous nombres réels a,b, c et d, on a : (ac + bd)2 + (ad − bc)2 = (a2 + b2 )(c2 + d2 ). 2 Négation Exercice 2 Examinez dans chacun des cas suivants si la proposition q est la négation de la proposition p : ◦ 1 p : n est un entier naturel pair. q : n est un entier naturel impair. 2◦ p : f est une fonction paire. q : f est une fonction impaire. 7◦ p : Les figures F1 et F2 ont un seul point commun. q : Les figures F1 et F2 ont plus d’un point commun. 8◦ p : Les lycéens n’ont jamais cours le samedi. q : Les lycéens ont toujours cours le samedi. 9◦ p :x > 3. q :x < 3. 10◦ p : Ce plat contient du thym et du poivre. q : Ce plat ne contient ni du thym, ni du poivre. 11◦ p : Les droites D1 et D2 sont parallèles. q : Les droites D1 et D2 sont perpendiculaires. 12◦ p : Tous les triangles de cette figure sont rectangles. q : Aucun triangle de cette figure n’est rectangle. Exercice 3 Pour chacune des propositions suivantes, on demande : – de dire si elle est vraie ou fausse ; – de dire si sa négation est vraie ou fausse ; – de formuler sa négation. 1◦ Il existe un nombre réel x tel que x2 < 0. 2◦ Il existe des triangles qui n’ont pas d’angle obtus. 3◦ Pour tout réel x : x2 6= x. 4◦ Pour tous réels a et b positifs : √ √ √ a + b = a + b. 3 Implication Exercice 4 Examinez dans chacun des cas suivants – si p implique q (p ⇒ q) – si q implique p (q ⇒ p) 1◦ p : x ≥ 3 q : x2 ≥ 4 2◦ p : x2 ≥ 4 q : x ≥ 2 ou x ≤ −2 3◦ p : x = y q : x2 = y 2 ◦ 4◦ p : y = x2 √ q :x= y ◦ 5◦ p : n est pair. q : n est multiple de 6. 3 p : Pierre est luxembourgeois. q : Pierre est français. 4 p : Tous les élèves de la classe comprennent l’espagnol. q : Aucun élève de la classe ne comprend l’espagnol. 5◦ p : Certains élèves de notre classe habitent à Eschsur-Alzette. q : Certains élèves de notre classe n’habitent pas à Esch-sur-Alzette. 6◦ p : Jean ne voyage jamais sans bagages. q : Jean voyage toujours avec des bagages. Fiche 4 6◦ p : T est un triangle équilatéral. q : T est un triangle isocèle. Remarques : 1◦ si p implique q, alors on dit que p est une condition suffisante pour q, ou que q est une condition nécessaire pour p. 2◦ si p implique q et q implique p, alors on dit que p et q sont équivalentes. On note : p ⇐⇒ q.