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Fabienne BUSSAC
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Fabienne BUSSAC
1. DIVISEURS : RAPPELS
2. PGCD DE DEUX NOMBRES
3. CALCUL DU PGCD PAR SOUSTRACTIONS SUCCESSIVES
4. CALCUL DU PGCD PAR ALGORITHME D’EUCLIDE
1. DIVISEURS : RAPPELS
Fabienne BUSSAC
Soit a et d deux nombres entiers positifs (d  0).
Si
le quotient a est un nombre entier,
d
le reste de la division euclidienne de a par d est
zéro,
il existe un entier n tel que a = d × n
alors on dit que :
d est un diviseur de a.
a est un multiple de d.
a est divisible par d.
Fabienne BUSSAC
Exemple :
42 = 6 ou 42 = 7 × 6
7
7 est un diviseur de 42.
On peut donc dire que
42 est un multiple de 7.
42 est divisible par 7.
.
26
4 n’est pas un diviseur de 26 car le quotient
4
 26

 6,5 
n’est pas un entier 
 4

Fabienne BUSSAC
Propriété :
Tout nombre entier, supérieur ou égal à 2, admet au
moins deux diviseurs : 1 et lui-même.
Définition :
Un nombre entier positif qui admet exactement deux
diviseurs (1 et lui-même) s’appelle un nombre premier.
Exemples :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19… sont des nombres premiers.
9 n’est pas un nombre premier : il a trois diviseurs 1 ; 3 et 9.
1 n’est pas un nombre premier : il a un seul diviseur 1.
2. PGCD DE DEUX NOMBRES
Fabienne BUSSAC
Si deux entiers positifs a et b sont divisibles par un
même entier d, alors on dit que d est un diviseur
commun de a et b.
Exemple :
15 = 5 × 3 et 40 = 5  8,
donc 5 est un diviseur commun de 15 et 40.
Remarque :
1 est un diviseur commun à tous les nombres.
a et b sont deux nombres entiers positifs.
Fabienne BUSSAC
Parmi leurs diviseurs communs, l’un d’entre eux est plus
grand que les autres.
On appelle P.G.C.D. (Plus Grand Commun Diviseur)
le plus grand des diviseurs communs de a et b.
On le note PGCD (a ; b).
Exemple :
Fabienne BUSSAC
La liste des diviseurs de 24 est :
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24
La liste des diviseurs de 36 est :
1; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ;12 ; 18 ; 36
24 = 1 × 24
24 = 2 × 12
24 = 3 × 8
24 = 4 × 6
24 = 5 ×…
36 = 1 × 36
36 = 2 × 18
36 = 3 × 12
36 = 4 × 9
36 = 5 ×…
36 = 6 × 6
Les diviseurs communs de 24 et 36 sont : 1 ; 2; 3; 4; 6 et 12.
Le plus grand d’entre eux est 12, c’est le plus grand diviseur
commun de 24 et 36.
On note PGCD (24 ; 36) = 12.
3. CALCUL DU PGCD PAR SOUSTRACTIONS SUCCESSIVES
Fabienne BUSSAC
Déterminer le PGCD de 413 et 295.
413 – 295 = 118
PGCD (413 ; 295) = PGCD (295 ; 118)
– 118 = 177
PGCD (295 ; 118) = PGCD (177 ; 118)
– 118 = 59
PGCD (177 ; 118) = PGCD (118 ; 59)
–
PGCD (118 ; 59) = PGCD (59 ; 59)
= 59
PGCD (413 ; 295) = 59
On prend les deux nombres et on les soustrait.
On prend les deux plus petits et on recommence.
On s’arrête lorsque l’on obtient deux nombres
égaux.
4. CALCUL DU PGCD PAR ALGORITHME D’EUCLIDE
Calculer le PGCD de 494 et 143.
Fabienne BUSSAC
On effectue la division euclidienne de 494 par 143 :
494
143
65
3
On peut écrire : dividende = quotient × diviseur + reste, soit :
494 = 3 × 143 + 65
On recommence le même travail avec le diviseur 143 et le reste
de la division 65 :
143 = 2 × 65 + 13
143
65
13
2
On recommence le même travail avec le diviseur 65 et le reste de
la division 13 :
65 = 5 × 13 + 0
Le PGCD cherché est le dernier reste différent de 0.
Ici, PGCD(494 ; 143) = 13
65
13
0
5
Fabienne BUSSAC
Exemple : calculer le PGCD de 108 et 846 avec l’algorithme
d’Euclide
846 = 7 × 108 + 90
108 = 1 × 90 + 18
90 = 5 × 18 + 0
Le dernier reste différent de 0 est 18 donc :
PGCD(108 ; 846) = 18