Passeport_seconde

Passeport : troisième - seconde
collège Vaïmoana
Les équations
On doit résoudre l’équation suivante ax + b = 0 où a et b sont des constantes connues et x la variable.
Cas particuliers : Si a = 0 alors on doit résoudre 0 x + b = 0 soit b = 0 .
Si b = 0 alors l’équation est vraie pour toute valeur de x.
Si b ≠ 0 alors l’équation n’admet aucune solution.
Notation : « équivaut à » se traduit par le symbole ⇔ .
Si a ≠ 0 , ax + b = 0 ⇔ ax = −b ⇔ x =
−b
. L’équation n’admet donc qu’une solution.
a
Remarque : On comprend mieux l’intérêt que a soit non nul, en effet on ne peut pas diviser par zéro.
Exemple : 5x − 1 = 3x + 4 ⇔ 5x − 3x = 4 + 1 ⇔ 2 x = 5 ⇔ x =
{}
5
5
d’où S =
.
2
2
Exercice 1
On donne les expressions numériques :
1 1 2
5 2 4
B =  −  ÷ +1
A= − ÷
2 3 3
7 7 3
1.
Calculer A et B. On écrira les résultats sous la forme de fractions aussi simple que possible.
2.
Ecrire les nombres C et D ci-dessous sous la forme a b ou a est un entier et b un entier positif le plus
petit possible.
C = 300
D = 2 12 − 27
E = 21 ÷ 14
Exercice 2
On considère l'expression :
1.
Développer et réduire :
( 2x − 3)2 et E = (2 x − 3)( 5 − 2x ) − ( 2x − 3)2
2.
Factoriser E.
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3.
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Résoudre l'équation ( 2 x − 3)( −4 x + 8 ) = 0
Les équations produit
On cherche à résoudre l’équation suivante : ( ax + b )( cx + d ) = 0 .
Propriété : AB = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0 . On note
A=0
B=0
On écrit : Un produit de facteurs est nul, si et seulement si, un des facteurs est nul.
ax + b = 0
ax = −b
⇔
⇔
( ax + b )( cx + d ) = 0 ⇔
cx + d = 0
cx = −d
−b
− b −d
a
si a ≠ 0 et b ≠ 0 . On en déduit S =
;
−d
a c
x=
c
x=
{
}
Exemple : ( 3x + 1 )( 4 x − 7 ) = 0 , un produit de facteurs est nul, si et seulement si, un des facteurs est nul
−1
3x + 1 = 0
3x = −1
−1 7
3
⇔
⇔
⇔
. On en déduit S =
; .
4x − 7 = 0
4x = 7
7
3 4
x=
4
x=
{ }
Exercice 3
1.
Construire un triangle ABC tel que AB = 6 cm, AC = 10 cm et BC = 8 cm
( on laissera les traits de
construction apparents ).
2.
Démontrer que ABC est un triangle rectangle.
1
On appelle E le point du segment [AC] pour lequel AE = AC .
4
Le cercle de diamètre [AE] coupe [AB] en F.
3.
Démontrer que les droites (EF) et (BC) sont parallèles.
4.
Calculer AF et EF.
5.
Calculer la mesure de l'angle BAC .
Exercice 4
1.
Résoudre le système suivant :
3x − 7y = 18,8

 x − 5y = 10
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2.
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Résoudre l'inéquation 4 x − 5 < 10 x + 1 .
Représenter en couleur les solutions sur une droite graduée.
3.
Le nombre 4 vérifie-t-il l'équation x 2 − 5x = 4 ?
Indiquer les calculs. On ne cherchera pas à résoudre cette équation.
Exercice 5
On considère le cylindre, la demi boule et le cône représentés ci-dessous :
Vérifier au moyen d'un calcul que le volume V1 du cylindre, exprimé en cm3, est égal à 216π et que le
volume V2 de la demi boule, exprimé en cm 3, est égal à 144π .
3
2. Calculer en cm le volume V3 du cône sous la forme kπ ( k étant un nombre entier).
3. Vérifier que V2 = 2V3 .
1.
Exercice 6
Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, I, J). On considère les points A ( 6;5 ) , B ( 2; −3) et C ( −4;0 ) .
Distance et milieu : Dans un repère, soient deux points A ( xA ; yA ) et B ( xB ; yB ) , la distance AB est donnée
par la formule suivante : AB =
( xB − xA ) + ( yB − yA )
coordonnées du point I sont : xI =
2
2
. De plus, si I est le milieu du segment [ AB] alors les
xA + xB
y +y
et yI = A B .
2
2
Faire la figure sur une feuille de copie en prenant le centimètre comme unité sur chaque axe. Le point
O, origine du repère, sera placé sur une ligne au centre de la feuille de copie.
2. Calculer les distances AB, BC et CA ; donner les résultats sous la forme a b où a est un nombre entier
positif.
3. En déduire la nature du triangle ABC. Justifier la réponse.
4. Calculer l'aire du triangle ABC.
5. Calculer le périmètre du triangle ABC, donner le résultat sous la forme a b , puis la valeur arrondie au
dixième de ce résultat.
On considère le cercle circonscrit au triangle ABC.
6. Préciser la position de son centre E en justifiant la réponse. Calculer les coordonnées de ce point.
7. Déterminer la valeur exacte du rayon de ce cercle.
1.
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8.
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Calculer la valeur exacte de tanACB puis une valeur approchée au degré près de la mesure de
l’angle ACB .
Exercice 7
Calculer et mettre le résultat sous la forme de fraction irréductible en précisant les calculs intermédiaires :
A =3−3÷
9
2
B=
10 −8 × 0,7 × 1012
.
21 × 103
Exercice 8
Soit l'expression E = ( x − 1 ) − 4 .
2
1.
Calculer E pour x = 0 .
2.
Calculer la valeur exacte de E pour x = 2 .
3.
Factoriser E.
4.
Résoudre l'équation : ( x + 1)( x − 3 ) = 0 .
Exercice 9
1.
Construire un triangle IJK tel que JK = 8 cm ; IJ = 4,8 cm et KI = 6,4 cm.
2.
Démontrer que le triangle IJK est un triangle rectangle.
3.
Calculer la mesure en degrés de l'angle IJK . Donner la valeur arrondie au degré le plus proche.
Exercice 10
Partie I : Le château d'eau
Un château d'eau (figure 1) a la forme d'un cylindre surmonté d'une partie de cône représentée sur la
figure 2 en trait gras.
le cône de hauteur SO a été coupé par un plan parallèle à sa base passant par le point I.
On donne SO = 8,1 m et SB = 13,5 m .
On rappelle que le volume V d'un cône de base B et de hauteur h est donné par la formule suivante :
1
V = Base × hauteur
3
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1.
Montrer que OB = 10,8 m .
2.
Calculer le volume du cône de sommet S et de base le disque de rayon [OB].
Arrondir le résultat au m3 le plus proche.
On donne SI = 3,6 m.
3.
En remarquant que les droites (IA) et (OB) sont parallèles, calculer IA et SA.
4.
Calculer le volume du cône de sommet S et de base le disque de rayon [IA]. Arrondir le résultat au m3
le plus proche.
5.
Calculer le volume de la partie de cône représentée à la figure 2 en trait gras (le tronc de cône).
Partie II : La facture d'eau
Pour une période de 5 mois (150 jours), une facture d'eau se calcule de la manière suivante : 70 euros
d'abonnement et 11 euros par m3 d'eau consommée.
Pendant cette période de 5 mois, la famille Laurent a consommé 74 m3 d'eau.
1.
Etablir le montant de sa facture.
2.
La famille Cherrier a payé 1 126 euros pour cette période. Quelle quantité d'eau a-t-elle consommé (en
m3 ).
3.
Pour la période suivante la famille Cherrier décide de réduire sa consommation d'eau de 10%.
En supposant que les tarifs restent les mêmes, quel sera le pourcentage de réduction sur la nouvelle
facture ?
Arrondir au dixième le plus proche.
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Pierre de Fermat (1601-1665)
Pierre de Fermat était un génial mathématicien français du XVII ième siècle,
qui a contribué avec Descartes à la création de la géométrie analytique (il est
le premier à donner une méthode générale pour la détermination des
tangentes à une courbe plane), à celle du calcul infinitésimal (avec Leibniz et
Newton), et à celle du calcul des probabilités (avec Pascal). C'est surtout le
fondateur de la théorie moderne des nombres, la branche des
mathématiques qui étudie les nombres entiers.
Né près de Toulouse (précisément à Beaumont de Lomagne) en 1601, d'un père négociant en cuir,
Fermat a toujours vécu bien loin des centres intellectuels européens. Il n'était d'ailleurs pas
mathématicien professionnel, mais magistrat (il fut aussi conseiller au parlement de Toulouse à partir
de 1631, puis membre de la chambre de l'édit de Castres), et il ne participa à la vie mathématique de
son époque que par sa correspondance privée avec d'autres savants. Il est mort à Castres en 1665.
Fermat a été très influencé par la lecture des classiques de l'Antiquité, notamment celle de Diophante,
mathématicien grec auteur de l'Arithmetica, que les européens ont redécouverte au milieu du XVIe
siècle Fermat annotera abondamment la marge de son exemplaire (son fils rééditera l'Arithmetica avec
les notes de Fermat). Il était annoncé, plus rarement prouvé, de nombreux théorèmes. En 1840, tous
étaient démontrés ou invalidés. Tous sauf un : la conjecture appelée grand théorème de Fermat, qui a
maintenu les mathématiciens en haleine jusqu'en 1994.
En marge du problème qui consiste à trouver des carrés qui sont sommes de deux autres carrés (on
appelle cela chercher des triplets pythagoriciens, car il s'agit des côtés d'un triangle rectangle - ex :
52 = 32 + 42 ), Fermat écrivit : "D'autre part, un cube n'est jamais somme de deux cubes, une puissance
quatrième n'est jamais somme de deux puissances quatrièmes, et plus généralement aucune puissance
supérieure stricte à 2 n'est somme de deux puissances analogues. J'ai trouvé une merveilleuse
démonstration de cette proposition, mais je ne peux l'écrire dans cette marge car elle est trop longue".
On ne saura jamais si Fermat avait réellement une preuve de son théorème, c'est peu probable, mais
après tout qu'importe! Des générations de mathématiciens s'y sont cassés les dents, tout en y forgeant
les outils modernes de l'arithmétique.
On retrouva une démonstration de Fermat pour le cas des puissances 4-ièmes, fondée sur l'ingénieuse
méthode de la descente infinie. Il a fallu attendre 100 ans pour que Leonhard Euler fournisse une
démonstration du cas n = 3 , avec une erreur certes, mais les idées essentielles y étaient, puis 1820
pour que Dirichlet et Legendre traitent le cas n = 5 . Un grand pas fut franchi par Kummer au milieu du
XIXe siècle avec des travaux très importants sur les entiers cyclotomiques. Il est parvenu à démontrer
le théorème pour tous les exposants premiers inférieurs à 100, hormis 37, 59 et 67.
Il faudra attendre le 19 septembre 1994, et le mathématicien anglais Andrew Wiles, pour qu'après
nombre de progrès, le théorème de Fermat soit entièrement résolu. La démonstration de Wiles prend
environ 1000 pages. Il n'y avait effectivement pas assez de place dans la marge!
Au fait, Fermat avait raison! Il n'y pas de solutions à cette fameuse équation. Ce qui fut longtemps
appelée la conjecture de Fermat, ou le dernier théorème de Fermat, s'appelle désormais théorème de
Fermat-Wiles.
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Correction des exercices 1 à 10
Exercice 1
1.
5 2 4 5 2 3 5 4 2 3 20 − 6
7×2
1
A= − ÷ = − × = × − × =
=
=
7 7 3 7 7 4 7 4 7 4 7× 4
7 × 2 ×2 2
1 3 1 2  3
1 3
1 4 5
1 1 2
B =  −  ÷ +1 =  × − × × + 1 = × + 1 = + =
6 2
4 4 4
2 3 3
2 3 3 2  2
2.
C = 300 = 3 × 102 = 10 3
D = 2 12 − 27 = 2 3 × 22 − 3 × 32 = 4 3 − 3 3 = 3
E = 21 ÷ 14 =
21
3× 7
3
3
3× 2 1
=
=
=
=
=
6
2× 7
2
14
2
2× 2 2
Exercice 2
1.
En utilisant la double distributivité : ( 2 x − 3 ) = ( 2 x − 3)( 2 x − 3 ) = 4 x 2 − 6 x − 6 x + 9 = 4 x 2 − 12 x + 9
2
En utilisant les identités remarquables : ( 2 x − 3 ) = ( 2 x ) − 2 × 3 × 2 x + 32 = 4 x 2 − 12 x + 9
2
2
E = ( 2 x − 3 )( 5 − 2 x ) − ( 2 x − 3 ) = 10 x − 4 x 2 − 15 + 6 x − 4 x 2 + 12 x − 9 = −8 x 2 + 28 x − 24
2
2.
3.
E = ( 2 x − 3 )( 5 − 2 x ) − ( 2 x − 3)( 2 x − 3 ) = ( 2 x − 3 ) ( 5 − 2 x ) − ( 2 x − 3)  = ( 2 x − 3)( 8 − 4 x )
On cherche à résoudre E = 0 or un produit de facteurs est nul ssi un des facteurs est nul
3
2x − 3 = 0
x=
3
⇔
2 . On en déduit que S = ;2 .
−4 x + 8 = 0
2
x =2
{ }
C
Exercice 3
1.
Construction :
E
AC2 = 102 = 100

2.
⇒ AC2 = AB2 + BC2 .

2
2
2
2
AB + BC = 6 + 8 = 36 + 64 = 100 
On en déduit, d’après la réciproque du théorème de
A
F
B
Pythagore, ABC est rectangle en B.
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1
On appelle E le point du segment [AC] pour lequel AE = AC , donc AE = 2,5 cm.
4
Le cercle de diamètre [AE] coupe [AB] en F donc AEF est un triangle rectangle en F.
3.
4.
(EF ) ⊥ ( AB ) 
 ⇒ (EF ) // (BC )
(BC ) ⊥ ( AB )
F ∈ [ AB] , E ∈ [ AC ] et (EF ) // (BC ) donc d’après le théorème de Thalès
AF AE EF
AF 2,5 EF
=
=
⇔
=
= .
AB AC BC
6 10 8
On en déduit que AF =
5.
( )
cos BAC =
2,5 × 6
2,5 × 8
= 1,5 et EF =
= 2.
10
10
( )
( )
6
3
⇔ mes BAC = cos −1   .On en déduit que mes BAC
8
4
41° .
Exercice 4
1.
Par substitution :
3x − 7y = 18,8 3 (10 + 5y ) − 7y = 18,8 30 + 15y − 7y = 18,8 8y = −11,2 y = −1,4
⇔
⇔
⇔
⇔

x = 10 + 5y
x = 10 + 5y
 x − 5y = 10

 x = 10 + 5y
 x =3

4 x − 5 < 10 x + 1 ⇔ −6 < 6 x ⇔ −1 < x . Les solutions de cette inéquation sont tous les nombres
supérieurs à -1.
2
3. 4 − 5 × 4 = 16 − 20 = −4 ≠ 4 , donc 4 ne vérifie pas l’équation.
2.
Exercice 5
1 4
1 4
V1 = base × hauteur = π × R2 × h = 62 × 6π = 216π , V2 = × × π × R 3 = × × π × 63 = 144π .
2 3
2 3
1
1
1
216
2
2
2. V3 = × base × hauteur = × π × R × h = × 6 × 6π =
π = 72π .
3
3
3
3
3. 2V3 = 2 × 72π = 144π = V2 .
1.
Exercice 6
1.
La figure :
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y
A
E
o
C
x
B
2.
AB =
2
2
(2 − 6 ) + ( −3 − 5) = 16 + 64 = 80 = 42 × 5 = 4 5 ,
BC =
2
2
( −4 − 2 ) + ( 0 + 3) = 36 + 9 = 45 = 32 × 5 = 3 5 et
AC =
2
2
( −4 − 6 ) + ( 0 − 5) = 100 + 25 = 125 = 52 × 5 = 5 5

AC2 = 125
2
2
2
3.
 ⇒ AC = AB + BC donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le
2
2
AB + BC = 80 + 45 = 125
triangle ABC est rectangle en B.
base × hauteur AB×BC 4 5 × 3 5
4. A ABC =
=
=
= 30 cm3
2
2
2
5. p = AC + AB + BC = 4 5 + 3 5 + 5 5 = 12 5 26,8
 x + xC y A + yC 
 5
6. E est le milieu de l’hypoténuse. On en déduit E  A
;
 soit E  1; 
2 
 2
 2
7. Le rayon de ce cercle est
AE =
8.
( x A − xE ) + ( y A − yE )
2
tanACB =
( )
mes ACB
5
25
125
52 × 5 5 5

= ( 6 − 1) +  5 −  = 25 +
=
=
=
2
4
2
2
2

2
2
2
( )
AB
4 5
4
4
⇔ tanACB =
⇔ tanACB = ⇔ mes ACB = tan−1   . On en déduit que
BC
3
3 5
3
53°
Exercice 7
9
2 3× 3 2 7
A = 3 − 3 ÷ = 3 − 3× =
− =
2
9
3 3
3
B=
10 −8 × 0,7 × 1012 7 × 10 −1 × 104 1
=
= .
21 × 103
3 × 7 × 103
3
Exercice 8
1.
Pour x = 0 , E = ( 0 − 1 ) − 4 = 1 − 4 = −3 .
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2
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(
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)
2
2.
Pour x = 2 , E =
2 − 1 − 4 = 2 − 2 2 + 1 − 4 = −2 2 − 1 .
3.
E = ( x − 1 ) − 22 = ( x − 1 − 2 )( x − 1 + 2 ) = ( x − 3)( x + 1 )
2
En effet, on reconnaît l’identité remarquable : a2 − b2 = ( a − b )( a + b ) avec a = x − 1 et b = 2 .
4.
( x + 1)( x − 3) = 0 un produit de facteurs est nul ssi un des facteurs est nul ⇔
x +1 = 0
x −3=0
⇔
x = −1
x =3
.
On en déduit S = {−1;3} .
Exercice 9
1.
On construit un triangle IJK tel que JK = 8 cm ; IJ = 4,8 cm et KI = 6,4
cm.

JK2 = 82
2
2
2
2. 2
 ⇒ JK = IJ + KI donc
2
2
2
IJ + KI = 4,8 + 6,4 = 23,04 + 40,96 = 64 
d’après la réciproque du théorème de Pythagore on en déduit que le
triangle IJK est un triangle rectangle en I.
3.
( )
( )
en déduit que mes (IJK ) = 53°
cos IJK =
K
J
I
( )
4,8
 4,8 
−1
⇔ mes IJK = cos −1 
 ⇔ mes IJK = cos ( 0,6 ) , on
8
 8 
Exercice 10
Partie I : Le château d'eau
1.
On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle OBS, rectangle en O :
SB2 = SO2 + OB2 ⇔ 13,52 = 8,12 + OB2 ⇔ OB2 = 182,25 − 65,61 ⇔ OB2 = 116,64 ⇒ OB = 10,8 car OB ≥ 0 .
2.
1
1
V1 = base × hauteur = π × 10,82 × 8,1 = 314,928π
3
3
3.
I∈ [OS ] , A ∈ [ SB] et (IA ) // ( OB ) donc d’après le théorème de Thalès
989 cm3
SA SI IA
SA 3,6 IA
3,6 × 10,8
3,6 × 13,5
=
=
⇔
=
=
. On en déduit que IA =
= 4,8 et SA =
=6.
SB SO OB
13,5 8,1 10,8
8,1
8,1
4.
1
1
V2 = base × hauteur = π × 4,82 × 3,6 = 27,648π
3
3
5.
V1 − V2 = 314,928π − 27,648π
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86,86 cm3 .
902,52 cm3 .
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Partie II : La facture d'eau
1.
Le montant de sa facture : F = 70 + 11 × 74 = 70 + 814 = 874 euros
2.
Soit x le nombre de m3 , on doit résoudre 70 + 11x = 1126 ⇔ 11x = 1056 ⇔ x = 96 .
On a : 70 + 11 × 0,9 × 96 = 70 + 950,4=1020,4 euros est le montant de la nouvelle
1020,4
facture.
= 0,906 . On en déduit une réduction de 9,4 %.
1126
3.
Leonhard Euler (15 avril 1707 - 18 septembre 1783)
Né à Bâle le 15 avril 1707, Leonhard Euler étudia les mathématiques sur les conseils
de Johann Bernoulli, qui était ami avec son père. Il s'installa à Saint-Pétersbourg,
auprès de Pierre le Grand, puis à Berlin sous le règne de Frédéric II, où a chaque fois il
rencontra un environnement scientifique exceptionnel. Son œuvre est considérable.
Euler intervint dans les trois domaines fondamentaux de la science de son époque :
l'astronomie (orbites planétaires, trajectoires des comètes), les sciences physiques
(champs magnétiques, hydrodynamique, optique, nature ondulatoire de la lumière,...),
les mathématiques, où il met au premier plan le concept de fonction. On lui doit aussi
la très jolie relation entre les nombres de sommets, d'arêtes et de faces d'un polyèdre
convexe (ex : le cube, le tétraèdre,...).
La santé d'Euler était assez fragile. Il perdit son œil droit en 1735, puis son œil gauche en 1771 en raison d'une
cataracte. Il fut donc pendant 12 ans totalement aveugle. Cela obligeait ce mathématicien très prolixe, qui publia
886 ouvrages, le tout en 80 volumes, à faire appel à des personnes de son entourage à qui il dictait ses mémoires. Il
décède le 18 septembre 1783 à Saint-Pétersbourg d'une hémorragie cérébrale.
Droite et cercle d'Euler : Soit ABC un triangle. Alors l'orthocentre, le centre de gravité, et le centre du
cercle circonscrit à ce
triangle sont sur une même
droite : la droite d'Euler de
ce triangle.
Dans ce même triangle, les
milieux des côtés du
triangle ABC, les milieux des
segments AH, BH et CH, où
H est l'orthocentre, et les
pieds des 3 hauteurs sont
sur un même cercle : le
cercle d'Euler du triangle. Le centre de ce cercle est sur la droite d'Euler : c'est le milieu de OH où O est le
centre du cercle circonscrit.
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Exercice 11
Dans cet exercice, on utilisera le programme de calcul ci-après :
Programme de calcul
Choisir un nombre x
Retrancher 3 au double de x
Élever le résultat au carré
Retrancher 16 au résultat obtenu
1.
Si on choisit x = 5, quel résultat final obtient-on ?
2.
Indiquer, parmi les expressions suivantes, celle qui décrit le programme donné :
c) ( 2 x − 3 ) × 2 − 16
a) 2 x − 32 − 16
b) ( x − 3 ) × 2  − 16
d) 16 − 2 × ( x − 3 ) 
2
e) ( 2 x − 3) − 16
2
2
f) ( 3x − 16 ) − 2
2
3.
On pose : F = ( 3x − 16 ) − 2 . Développer et réduire F.
4.
On pose : E = ( 2 x − 3 ) − 16 . Montrer que E = ( 2 x − 7 )( 2 x + 1 ) .
5.
Pour quelles valeurs de x le programme de calcul donne-t-il le nombre 0 pour résultat final ?
2
2
Exercice 12
1.
Résoudre le système suivant, d'inconnues x et y :
 x + y = 35

8 x + 7y = 260
2.
Si x désigne le prix d'un article, exprimer en fonction de x le prix de cet article après une baisse de 20%.
3.
Pour l'achat d'un livre et d'un stylo, la dépense est de 35 euros. Après une réduction de 20 % sur le prix
du livre et de 30 % sur le prix du stylo, la dépense n'est que de 26 euros.
4.
Calculer le prix d'un livre et celui d'un stylo avant la réduction.
Exercice 13
L'histogramme ci-dessous donne les âges des adhérents d'un club de natation.
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1.
Combien d'adhérents compte ce club ?
2.
Reproduire et compléter le tableau ci-après :
Age
12
Effectif
2
Fréquences
3.
8%
Quel est l'âge moyen des adhérents de ce club ?
Exercice 14
1.
Construire un triangle ABC tel que AB = 6cm, AC = 10cm et BC = 8cm (on laissera les traits de
construction apparents).
2.
Démontrer que ABC est un triangle rectangle.
1
On appelle E le point du segment [AC] pour lequel AE = AC .
4
Le cercle de diamètre [AE] coupe [AB] en F.
3.
Démontrer que les droites (EF) et (BC) sont parallèles.
4.
Calculer AF et EF.
Exercice 15
On considère le verre ci-contre, ayant la forme d'un cône de révolution, de
hauteur OS =12 cm et de rayon OA = 3 cm.
1. Montrer que le volume de ce verre (en cm3 ) est égal à 36π .
2. Avec un litre d'eau, combien de fois peut-on remplir ce verre entièrement ?
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3. Si on remplit ce verre d'eau aux 5/6 de sa hauteur, quel est alors le volume d'eau utilisée ? On donnera
le résultat arrondi au cm3 près.
4. Calculer la mesure de l'angle OSA (donner la valeur arrondie au degré près).
Exercice 16
ABC est un triangle tel que AB = 6, BC = 10 et mesABC = 120° .
La hauteur issue de A coupe la droite (BC) au point H (la figure ci-contre est donnée à titre indicatif, on ne
demande pas de la reproduire).
1.
Calculer la mesure de l'angle HAB . En déduire BH.
2.
Calculer AH , puis l'aire du triangle ABC (on donnera les valeurs exactes).
3.
Prouver que AC = 14.
M est un point quelconque du segment [BC]. On pose CM = x ( 0 ≤ x ≤ 10 ) .
La parallèle à (AB) contenant M coupe [AC] en N.
4.
Exprimer en fonction de x : NM et NC, puis BM et AN.
5.
Déduire de la question précédente que le périmètre P1 du triangle NMC vaut 3x et que le périmètre P2
9
du trapèze ABMN vaut − x + 30 .
5
6.
Tracer sur une même figure, pour x compris entre 0 et 10, les représentations graphiques, dans un
9
repère orthogonal, de la fonction qui à x associe 3x et de celle qui à x associe − x + 30 (unités : 1cm
5
sur l'axe des abscisses et 0,5 cm sur l'axe des ordonnés).
On désigne par K le point d'intersection de ces deux représentations.
7.
A l'aide du graphique, encadrer par deux entiers consécutifs l'abscisse du point K (on laissera apparents
les traits de construction).
8.
Déterminer les valeurs exactes des coordonnées de K.
9.
En déduire pour quelle valeur de x le triangle NMC et le trapèze ABMN ont le même périmètre. Quelle
est alors la valeur de ce périmètre ?
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Exercice 17
1.
On donne les expressions numériques :
1 1 3
B =  − × + 1
2 3 2
Calculer A et B. On écrira les résultats sous la forme de fractions aussi simples que possible.
5 2 4
A= − ×
7 7 3
2.
Ecrire les nombres C, D et E ci-dessous sous la forme a b où a est un entier et b un entier positif le
plus petit possible.
C = 300
D = 2 12 − 27
E = 21 × 14
Exercice 18
On donne l'expression suivante : F = ( 2 x + 3 ) − ( x + 5 )( 2 x + 3 )
2
1.
Développer et réduire.
2.
Factoriser
3.
Résoudre l’équation ( 2 x + 3)( x − 2 ) = 0 .
Exercice 19
On donne l’inéquation x + 5 ≤ 4 ( x + 1 ) + 7 .
1.
Expliquer pourquoi chacun des nombres suivants est ou n'est pas une solution de l'inéquation: -5 ; -3 ;
0;3
2.
Résoudre l'inéquation.
3.
Représenter l'ensemble des solutions sur une droite graduée.
Les inéquations
On cherche à résoudre ax + b ≥ 0 .
Remarque : Il ne faut pas perdre de vue que résoudre une telle inéquation revient à déterminer les valeur de x afin
que ax + b soit positif ou nul. On cherche donc le signe d’une expression.
Propriétés :
x ≤ y est équivalent à x + a ≤ y + a
x ≤ y est équivalent à ax ≤ ay avec a > 0
x ≤ y est équivalent à ax ≥ ay avec a < 0
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Il vient :
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ax + b ≥ 0 ⇔ ax ≥ −b
Maintenant se pose la question du signe de a.
Si a > 0 , on obtient x ≥
−b
−b
. Les solutions de cette inéquation sont les nombres supérieurs ou égaux à
.
a
a
Si a < 0 , on obtient x ≤
−b
−b
. Les solutions de cette inéquation sont les nombres inférieurs ou égaux à
.
a
a
Remarque : On peut aussi représenter les solutions sur un axe gradué.
Exemple : 3x + 6 < x − 4 ⇔ 3x − x < −4 − 6 ⇔ 2 x < −10 ⇔ x < −5 . Les solutions sont les nombres strictement
inférieurs à -5.
Exercice 20
SABCD est une pyramide régulière à base carrée de 24 m de côté. La hauteur [SH] mesure 12 m.
1.
Calculer, en m3 , le volume V1 de cette pyramide.
2.
A l'intérieur de la pyramide, on construit un salle en forme de demi boule de centre H et de rayon 8 m.
Calculer le volume V2 de la demi boule en m3 . Donner le résultat arrondi à 1 m3 près.
4
Rappel : volume d'une boule de rayon R : V = π R 3 .
3
On réalise une maquette à l'échelle
1
. V3 est le volume en m3 de la pyramide réduite.
20
3.
Par quelle fraction doit-on multiplier V1 pour obtenir V3 ?
4.
En déduire la valeur de V3 .
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Correction des exercices 11 à 20
Exercice 11
1.
et 2.
Programme de calcul
3.
Choisir un nombre x
x
5
Retrancher 3 au double de x
2x − 3
7
Élever le résultat au carré
( 2x − 3)2
49
Retrancher 16 au résultat obtenu
(2x − 3)2 − 16
33
F = ( 3x − 16 ) − 2 = 9 x 2 − 96 x + 256 − 2 = 9 x 2 − 96 x + 254 .
2
On reconnaît l’identité remarquable ( a − b ) = a2 − 2ab + b2 avec a = 3x et b = 16 .
2
4.
E = ( 2 x − 3) − 42 = ( 2 x − 3 − 4 )( 2 x − 3 + 4 ) = ( 2 x − 7 )( 2 x + 1 ) .
2
On reconnaît l’identité remarquable a2 − b2 = ( a − b )( a + b ) avec a = 2 x − 3 et b = 4 .
5.
On cherche à résoudre ( 2 x − 7 )( 2 x + 1) = 0 un produit de facteurs est nul ssi un des facteurs est nul
7
2x + 7 = 0
2 x = −7
7 1
2 . On en déduit que
⇔
⇔
⇔
S = − ;− .
2x + 1 = 0
2 x = −1
1
2 2
x=−
2
x=−
{
}
Exercice 12
1.
2.
3.
4.
x = 35 − y
x = 35 − y

 x + y = 35

 x = 15
Par substitution : 
⇔
⇔
⇔
. On en
8 x + 7y = 260 8 ( 35 − y ) + 7y = 260 280 − 8y + 7y = 260 y = 20
déduit que S = {(15;20 )} .
20 

Soit x le prix initial. Après une baisse de 20%, Le nouveau prix est  1 −
 x = 0,8 x
 100 
On a donc x + y = 35 car la somme des achats est de 35 euros. En comptant sur les deux réductions on
obtient 0,8 x + 0,7y = 26 et si on multiplie par 10, on a 8 x + 7y = 260 .
 x + y = 35
On cherche donc à résoudre le système 
. Le livre coûte 15 euros et le livre 20 euros.
8 x + 7y = 260
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Exercice 13
1.
Il y a 25 adhérents dans le club.
2.
Reproduire et compléter le tableau ci-après :
Age xi
12
13
14
15
16
17
Total
Effectif ni
2
3
7
5
4
4
25
ni xi
24
39
98
75
64
68
368
Fréquences
3.
x=
2
3
7
5
4
4
=8%
= 12 %
= 28 %
= 20 %
= 16 %
= 16 %
25
25
25
25
25
25
100 %
2 × 12 + 3 × 13 + 7 × 14 + 5 × 15 + 4 × 16 + 4 × 17
= 14,72 . L'âge moyen des adhérents est 14,72 ans.
25
0,72 x
= ⇔ x = 0,72 × 12 = 8,64 . Soit 14 ans
1
12
0,64 y
8 mois et 0,64 mois. En supposant qu’un mois possède de 30 jours :
=
⇔ y = 0,64 × 30 = 19,2 .
1
30
0,2 z
Soit 14 ans, 8 mois, 19 jours et 0,2 jours.
=
⇔ z = 4,8 . On en conclut que l’âge moyen est de 14
1 24
0,8 t
=
⇔ t = 60 × 0,8 = 48 .
ans, 8 mois, 19 jours et 4,8 heures. Traduisons 0,8 heure en minutes :
1 60
On a donc 14 ans et 0,72 an. Convertissons 0,72 an en mois :
Conclusion : 14 ans, 8 mois, 19 jours, 4 heures et 48 minutes. (Petite gymnastique sur la proportionnalité)
Exercice 14
1.
2.
AC2 = 102 = 100

⇒ AC2 = AB2 + BC2

2
2
2
2
AB + BC = 6 + 8 = 36 + 64 = 100 
On en déduit, d’après la réciproque du théorème
de Pythagore, que le triangle ABC est rectangle en
B.
A
E
F
F est un point du cercle de diamètre [ AE] , F ≠ A et
F ≠ E , donc le triangle AEF est rectangle en F
(triangle rectangle inscrit dans un cercle ou
propriété de l’angle au centre). On en déduit que
C
B
(EF ) ⊥ ( AB ) 
 ⇒ (EF ) // (BC ) .
(BC ) ⊥ ( AB )
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3.
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Calculer AF et EF. F ∈ [ AB] , E ∈ [ AC ] et (EF ) // (BC ) donc d’après le théorème de Thalès
AF AE EF
AF 2,5 EF
6 × 2,5
8 × 2,5
=
=
⇔
=
= . On en déduit que AF =
= 1,5 et EF =
= 2.
AB AC BC
6 10 8
10
10
Exercice 15
1.
1
1
V = base × hauteur = π × 32 × 12 = 36π cm3
3
3
2.
V
3.
1
5
×
7 soit 7 verres.
0,113 6
4.
tanOSA =
0,113 dm3 , on obtient
1
9 . On peut remplir à peu près 9 verres. On rappelle que 1 dm3 = 1l .
0,113
(
)
( )
OA
3
1
⇔ tanOSA = ⇔ mes OSA = tan−1   ⇔ mes OSA
OS
12
4
14°
Exercice 16
1.
( )
( )
( )
(
)
mes ABC = 120° donc mes ABH = 180° − 120° = 60° . mes HAB + 60° = 90° ⇔ mes HAB = 30° .
Dans un triangle la somme des mesures des angles est égale à 180° et la mesure d’un angle plat est
BH
BH
égale à 180°. sin HAB =
⇔ sin ( 30 ) =
⇔ BH = 6sin ( 30 ) = 3 .
AB
6
( )
2.
On peut utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle ABH rectangle en H.
AB2 = AH2 + HB2 ⇔ 36 = AH2 + 9 ⇔ AH2 = 27 ⇔ AH = 27 car AH ≥ 0 . On en déduit l'aire du triangle
ABC : AABC =
3.
AH×BC 10 27
=
= 5 27
2
2
y
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle
ACH, rectangle en H
AC2 = AH2 + HC2 ⇔ AC2 = 27 + 169 ⇔ AC2 = 196 ⇔ AC = 196 = 14
car AC ≥ 0 .
4.
N ∈ [ AC ] , M ∈ [BC ] , (MN) // ( AB ) donc d’après le théorème de
CN CM NM
CN x NM
=
=
⇔
=
=
. On en
CA CB AB
14 10
6
6x 3x
14x 7x
et CN =
= .
déduit que NM = =
10 5
10
5
Thalès on obtient
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-1
0
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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10
Passeport : troisième - seconde
5.
6.
P1 = MN + MC + CN = x +
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3x 7 x
3x
+
= 3x , P2 = AN + MN + BM + AB = 14 − 1,4 x + + 10 − x + 6 = 30 − 1,8 x .
5
5
5
La courbe représentative de la fonction linéaire qui à x associe 3x est une droite passant par l’origine.
Son coefficient directeur est 3.
La courbe représentative de la fonction affine qui à x associe 30 − 1,8x est une droite ayant comme
ordonnée à l’origine. Son coefficient directeur est 1,8.
7.
8.
9.
6 < xK < 7
K appartient aux deux droites donc ses coordonnées vérifient les deux équations :
 yK = 18,75
yK = 3 x K
yK = 3 x K


 yK = 3 x K

. K ( 6,25;18,75 ) .
⇔
⇔
⇔
30

= 6,25
yK = −1,8 xK + 30 3xK = −1,8 xK + 30 4,8 xK = 30  xK =
4,8

Le triangle NMC et le trapèze ABMN ont le même périmètre pour x = 6,25 . La valeur de ce périmètre
est de 18,75 unités.
Exercice 17
1.
5 2 4 5 3 2 4 15 − 8
7
1
A= − × = × − × =
=
=
7 7 3 7 3 7 3
21
7 × 3 21
1
3
1 4 5
1 1 3
3 2 3
B =  − × + 1 =  − × +1 =
× +1 = + =
4 4 4
3 ×2 2
2 3 2
6 6 2
2.
C = 300 = 3 × 102 = 10 3
D = 2 12 − 27 = 2 3 × 22 − 3 × 32 = 4 3 − 3 3 = 3
E = 21 × 14 = 3 × 7 × 2 × 7 = 6 × 72 = 7 6
Exercice 18
1.
F = ( 2 x + 3 ) − ( x + 5)( 2 x + 3 ) = 4 x 2 + 12 x + 9 − 2 x 2 − 3x − 10 x − 15 = 2 x 2 − x − 6
2
On reconnaît l’identité remarquable ( a + b ) = a2 + 2ab + b2 avec a = 2 x et b = 3 .
2
2.
F = ( 2 x + 3 )( 2 x + 3 ) − ( x + 5 )( 2 x + 3 ) = ( 2 x + 3 )( 2 x + 3 − x − 5 ) = ( 2 x + 3)( x − 2 )
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3.
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(2 x + 3)( x − 2 ) = 0 un produit de facteurs est nul ssi un des facteurs est nul
{ }
3
2x + 3 = 0
2 x = −3
x=−
3
⇔
⇔
⇔
2 . On en déduit que S = − ;2 .
x −2 = 0
x =2
2
x =2
Exercice 19
1.
−5 + 5 ≤ 4 ( −5 + 1 ) + 7 ⇔ 0 ≤ −16 + 7 ⇔ 0 ≤ −8 FAUX donc -5 n’est pas solution.
−3 + 5 ≤ 4 ( −3 + 1 ) + 7 ⇔ 2 ≤ −8 + 7 ⇔ 2 ≤ −1 FAUX donc -3 n’est pas solution.
0 + 5 ≤ 4 ( 0 + 1 ) + 7 ⇔ 5 ≤ 4 + 7 ⇔ 5 ≤ 11 VRAI donc 0 est solution.
3 + 5 ≤ 4 ( 3 + 1) + 7 ⇔ 8 ≤ 16 + 7 ⇔ 8 ≤ 23 VRAI donc 3 est solution.
2.
Résoudre l'inéquation. x + 5 ≤ 4 ( x + 1 ) + 7 ⇔ x + 5 ≤ 4 x + 4 + 7 ⇔ 5 − 11 ≤ 4 x − x ⇔ −6 ≤ 3x ⇔ −2 ≤ x On
en déduit que tous les nombres supérieurs ou égaux à -2 sont solutions de cette inéquation.
3.
Représenter l'ensemble des solutions sur une droite graduée.
Exercice 20
1.
1
24 × 24 × 12
V1 = base × hauteur =
= 24 × 24 × 4 = 2304 m3 .
3
3
2.
1 4
2 × 83
1024
V2 = × π R 3 =
π=
π
2 3
3
3
3.
On doit multiplier V1 par
4.
V3 =
1072 m3 .
1
pour obtenir V3 .
203
2304
= 0,288 m3 .
203
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Exercice 21
Au restaurant la famille Metz a payé 224 euros pour trois menus "Adulte" et un menu "Enfant". La famille
Walter a payé 188 euros pour deux menus "Adulte" et deux menus "Enfant".
1.
En appelant x le prix d'un menu "Adulte" et y le prix d'un menu "Enfant", écrire un système d'équations
qui permet de trouver le prix de chacun des menus.
2.
Résoudre le système.
3.
Donner le prix du menu "Adulte" et celui du menu "Enfant".
Exercice 22
Ecrire sous la forme d'une fraction la plus simple possible :
2
9
3
B=  ÷
 5  20
3 5 3
A= − ×
2 2 10
Exercice 23
Soit E = ( 3x − 2 ) − 81 .
2
Les identités remarquables
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
( a − b )2 = a2 − 2ab + b2
( a − b )( a + b ) = a2 − b2
1.
Développer, réduire et ordonner E.
2.
Factoriser E.
3.
Résoudre l'équation : ( 3x − 11)( 3x + 7 ) = 0 .
Exercice 24
La figure ne doit pas être reproduite.
L'unité de longueur est le centimètre. Le triangle ABC est tel
que : AB = 5,25 ; BC = 8,75 ; AC = 7.
Année 2012
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1.
Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
2.
Soit E le point du segment [AC] tel que EC = 4. Calculer AE.
3.
La parallèle à (AB) passant par E coupe [BC] en F. Calculer EF.
4.
La parallèle à (AC) passant par F coupe [AB] en G. Quelle est la nature du quadrilatère AEFG ? (On
donnera la réponse la plus précise possible en la justifiant.)
Exercice 25
L'unité de longueur est le centimètre.
Partie I
On considère un triangle isocèle SBC tel que : SB = SC = 5 et BC = 6 .
La hauteur issue de S coupe le segment [BC ] en I.
1.
Faire une figure que l'on complètera dans la question 4.
2.
Démontrer que SI = 4 .
3.
Calculer l'aire, en cm2 , du triangle SBC.
1
On note I' le point du segment [ SI] tel que : Si' = SI
4
Par I', on trace la parallèle à la droite (BC) ; elle coupe les droites (SB) et (SC) respectivement en B' et C'. Le
triangle SB'C' est donc une réduction du triangle SBC.
4.
Préciser le rapport de réduction des longueurs. (On donnera le résultat sans explication.)
5.
En déduire l'aire, en cm2 , du triangle SB'C'.
Partie II
On considère une pyramide régulière SABCD de
sommet S et à base carrée telle que : AB = 6 et
SB = 5 .
(Voir figure ci-après. Ne pas la refaire.)
La hauteur de la pyramide est [ SH] . On fera les deux
figures demandées dans cette partie sur une feuille
de papier millimétré.
1.
Tracer, en vraie grandeur, la base ABCD de la
pyramide et placer précisément le point H sur le
dessin.
2.
Tracer, en vraie grandeur, (sans calculer HB mais
en utilisant la figure précédente), le triangle SHB
rectangle en H.
Année 2012
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3.
Quelle est la nature du triangle SBC ? (on précisera les longueurs de ses côtés.)
4.
On note I le pied de la hauteur issue de S du triangle SBC
1
et H' le point du segment [SH] tel que : SH' = SH .
4
On note A', B', C', D' et I' les points d'intersection des
droites (SA), (SB), (SC) et (SI) avec le plan passant par H' et
parallèle au plan de base ABCD de la pyramide. (Voir figure
ci-dessous. Ne pas la refaire.)
5.
Quelle est la nature du quadrilatère A'B'C'D' ? (On
précisera les longueurs de ses côtés.)
Le triangle SBC est le triangle décrit dans la partie I et on a :
1
Si' = SI .
4
6.
Calculer, en utilisant les résultats de la partie I, l'aire, en cm2 , du trapèze BB'C'C.
7.
En déduire l'aire latérale, en cm2 , de la partie tronquée de la pyramide comprise entre les plans
parallèles ABCD et A'B'C'D'.
Exercice 26
Calculer et mettre sous la forme de fraction irréductible :
3
5
A= +
14 21
2 7 9
B= − ×
3 3 14
23 24
C= 2 ÷
3
3
Les puissances
Définition : Soit a un nombre relatif et n un nombre entier a n = a
× a24
× ... ×3a
14
n fois
2
Exemple : 3 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81
4
2 2 2 4
  = × =
3 3 3 9
Remarque : a1 = a
Propriété : Soit a un nombre relatif non nul, n et p deux nombres entiers : a n × a p = a n+ p
Exemple : 34 × 36 = 34 +6 = 310
x2 x 5 = x7
Définition : Soit a un nombre relatif non nul : a 0 = 1
Propriété : Soit a un nombre relatif non nul, n un nombre entier : a − n =
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1
. a − n est l’inverse de an
an
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Exemple : 6 −5 =
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−1
−3
4
3
  =
3
4
1
65
2
7
  = 
7
2
Propriété : Soit a un nombre relatif non nul, n et p deux nombres entiers :
Exemple :
24 2 × 2 × 2 × 2
=
= 22
2
2
2×2
an
= an−p
ap
310
= 310 −3 = 37
3
3
52
= 52−8 = 5−6
8
5
( ) = (a )
Propriété : Soit a un nombre relatif, n et p deux nombres entiers : a n
(a )
n p
3
p
p n
= anp
p
= a14
×4
a p244
× ... × 3
a p = a np .
p fois
( ) = (2 )
6
Exemple : 24
6 4
= 224
Propriété : Soit a et b deux nombres relatifs, n un nombre entier : ( ab ) = an bn
n
Exemple : ( 2a ) = 23 a3 = 8a3
3
( xy )2 = x 2 y 2
n
n
a a
Propriété : Soit a un nombre relatif et b un nombre relatif non nul, n un nombre entier :   = n
b b
3
3
5 5
Exemple :   = 3
7 7
Définition : Posons a = 10 et n un nombre entier 10n = 10
×4
10244
× ... × 3
10 = 100...0
{
14
n zéros
n fois
De plus 10 − n =
1
1
=
= 0,0...01
n
23
10 10
×4
10244
× ... × 3
10 1
14
n zéros
n fois
Exemple : 104 = 10000
10 −3 = 0,001
Propriété : Toutes les propriétés sur les puissances restent d’actualité
Soient n et p deux nombres entiers : 10n × 10 p = 10 n+ p , 100 = 1 ,
p
10 n
= 10n − p , (10n ) = 10np
p
10
Définition : Ecriture scientifique
On peut écrire tout nombre de la manière suivante a × 10n où a est un nombre relatif tel que 1 ≤ a < 10 et n est un
nombre entier relatif
Exemple : 1123,5 = 1,1235 × 103
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0,00023 = 2,3 × 10 −4 .
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Exercice 27
On considère l’expression D = ( 2 x − 7 ) − 36 .
2
1.
Développer et réduire D.
2.
Factoriser D.
3.
Calculer la valeur exacte de D quand x = 2 .
Exercice 28
Pour la rentrée scolaire, Julie achète quatre cahiers et un classeur souple pour 32,50 euros.
Bertrand achète trois cahiers et deux classeurs souples pour 42,50 euros.
1.
Ecrire un système d'équations traduisant les données précédentes.
2.
Résoudre ce système pour trouver le prix d'un cahier et d'un classeur souple.
Exercice 29
Voici un tableau donnant le prix de deux voitures A et B dans deux pays :
VOITURE A
VOITURE B
Pays
France
Pays
Belgique
Monnaie
Franc Français FF
Monnaie
Franc Belge FB
Prix hors taxes
57 100 FF
Prix hors taxes
320 000 FB
Taxes (en %)
21 %
Taxes (en %)
Prix taxes comprises
Prix taxes comprises
380 800 FB
Les taxes s'appliquent aux prix hors taxes.
1.
Quel est le prix en francs français, taxes comprises, de la voiture A ?
2.
Quel est le montant des taxes (en %) en Belgique ?
3.
Sachant que 1 FB = 0,16 FF , quelle est la voiture la moins chère ?
Exercice 30
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ABC et CDE sont deux triangles équilatéraux de côté 3cm. A, C, E sont alignés.
1.
Faire une figure exacte, en respectant les longueurs des données, et la compléter au fur et à mesure.
2.
Prouvez que les points A, B, D, E sont sur un même cercle ; indiquez le centre et le rayon de ce cercle.
3.
Prouvez que ABE est un triangle rectangle.
4.
Calculez les mesures des côtés et des angles du triangle ABE.
5.
Prouvez que BCD est un triangle équilatéral.
Polyèdres
Un polyèdre est un solide de l'espace délimité par un nombre fini de polygones, tel que chaque côté de
chaque polygone est commun avec un côté d'un autre polygone. Les sommets des polygones sont appelés
sommets du polyèdre, les côtés des polygones sont appelés arêtes du polyèdre, tandis que les polygones
sont les faces du polyèdre.
Un polyèdre est dit convexe si, pour chaque plan de l'espace qui contient une face du polyèdre, le
polyèdre est tout entier dans un des demi-espaces délimité par le plan. Pour ces polyèdres convexes, on a
la célèbre relation d'Euler, qui relie le nombre de faces F, le nombre de sommets S, le nombres d'arêtes A:
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F+S = A +2
Polyèdres réguliers
Il n'existe que 5 polyèdres convexes qui sont réguliers (c'est-à-dire que leurs faces sont des polygones
réguliers). On les appelle aussi les solides platoniciens. Ils sont :
•
Le tétraèdre régulier : 4 faces (des triangles équilatéraux), 4 sommets, 6 arêtes.
•
Le cube : 6 faces (des carrés), 8 sommets et 12 arêtes.
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•
L'octaèdre régulier : huit faces (des triangles équilatéraux), 6 sommets, 12 arêtes.
•
Le dodécaèdre régulier : 12 faces (des pentagones réguliers), 20 sommets, 30 arêtes.
•
L'icosaèdre régulier : 20 faces (des triangles équilatéraux), douze sommets, et trente arêtes.
Remarquons que sur tous ces polyèdres, la relation d'Euler est vérifiée!
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Correction des exercices 21 à 30
Exercice 21
1.
 3x + y = 224
.

2 x + 2y = 188
Par substitution
y = 224 − 3x

 3x + y = 224
 y = 224 − 3x
y = 224 − 3x
y = 29
⇔
⇔
⇔
⇔

2 x + 2y = 188 2 x + 2 ( 224 − 3x ) = 188 2 x + 448 − 6 x = 188  260 = 4 x
 x = 65
2.
3.
Le prix du menu "Adulte" est de 65 euros et celui du menu "Enfant" est de 29 euros.
Exercice 22
3 5 3 3 10 5 3 30 15 3 × 5 3
A= − × = ×
− × =
− =
=
2 2 10 2 10 2 10 20 20 4 × 5 4
9
9 20 4 × 5 4
3
B=  ÷ = × =
=
 5  20 25 9 5 × 5 5
2
Exercice 23
1.
E = ( 3x − 2 ) − 81 = 9 x 2 − 12 x + 4 − 81 = 9 x 2 − 12x − 77
2
On reconnaît l’identité remarquable ( a − b ) = a2 − 2ab + b2 avec a = 3x et b = 2 .
2
2.
E = ( 3x − 2 ) − 92 = ( 3x − 2 − 9 )( 3x − 2 + 9 ) = ( 3x − 11)( 3x + 7 )
2
On reconnaît l’identité remarquable a2 − b2 = ( a − b )( a + b ) avec a = 3x − 2 et b = 9 .
3.
( 3x − 11)( 3x + 7 ) = 0 un produit de facteurs est nul ssi un des facteurs est nul
11
3x − 11 = 0
3 x = 11
7 11
3
.
. On en déduit que S = − ;
⇔
⇔
⇔
3x + 7 = 0
3x = −7
7
3 3
x=−
3
x=
{
}
Exercice 24
1.
2.
BC2 = 8,752 = 76,5625

2
2
2
 ⇒ BC = AB + AC donc d’après la réciproque du
AB + AC = 5,25 + 7 = 27,5625 + 49 = 76,5625
théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
2
2
2
2
AE = AC − EC = 7 − 4 = 3
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3.
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Hypothèses : E ∈ [ AC ] , F ∈ [BC ] et (EF ) // ( AB ) donc d’après le théorème de Thalès :
CE CF EF
=
=
soit
CA CB AB
4 CF
EF
4 × 5,25 21
4 × 8,75 35
=
=
. On en déduit que EF =
= = 3 . De plus CF =
=
=5.
7 8,75 5,25
7
7
7
7
4.
( AG) // (EF ) 
 ⇒ AEFG est un parallélogramme.
( AE ) // ( GF ) 
De plus
( AB ) // (EF ) 
 ⇒ (EF ) ⊥ ( AC ) donc AEFG est un rectangle. Or AE = EF = 3 , on en déduit que AEFG
( AB ) ⊥ ( AC )
est un carré.
Exercice 25
Partie I
1.
2.
3.
4.
S
Dans le triangle isocèle, la hauteur issue de S est aussi
la médiatrice. On en déduit que I est le milieu du
segment [BC ] . On applique le théorème de Pythagore
dans le triangle BIS, rectangle en I.
BS2 = SI2 + BI2 ⇔ 52 = SI2 + 32 ⇔ SI2 = 16 ⇔ SI = 4 car
SI ≥ 0 .
ABCS =
k=
base × hauteur BC × SI 6 × 4
=
=
= 12 cm2
2
2
2
I'
B
I
C
1
4
2
12 3
1
5. A SB 'C ' =   A SBC =
= = 0,75 cm2 .
16 4
4
Partie II
1.
Tracer, en vraie grandeur, la base ABCD de la pyramide et placer précisément le point H sur le dessin.
Tracer, en vraie grandeur, (sans calculer HB mais en utilisant la figure précédente), le triangle SHB
rectangle en H.
2.
Le triangle SBC est isocèle en S car SB = SC = 5 et BC = 5 . On rappel qu’un triangle équilatéral n’est pas
isocèle donc vérifier SB = SC n’est pas suffisant pour affirmer qu’il est isocèle.
3.
4.
1
6
A'B'C'D' est un carré de côté A'B' = AB = = 1,5 .
4
4
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(petite base + gande base ) × hauteur (B'C' + BC ) × II' (1,5 + 6 ) × 3
5.
A BB 'C ' D ' =
6.
Alatérale = 4 × 11,25 = 45 cm2 .
=
2
2
=
2
= 11,25 cm2
Exercice 26
Calculer et mettre sous la forme de fraction irréductible :
A=
3
5
3
5
3× 3
5× 2
19
+ =
+
=
+
=
14 21 2 × 7 3 × 7 2 × 7 × 3 3 × 7 × 2 42
2 7 9 2 × 14 7 9 28 − 63
35
5× 7
5
B= − × =
− × =
=− =−
=−
3 3 14 3 × 14 3 14 3 × 14
42
6×7
6
C=
23 24 23 3
1
1
÷ = 2× 4 =
=
2
3
3 3 2 2× 3 6
Exercice 27
1.
D = ( 2 x − 7 ) − 36 = 4 x 2 − 28 x + 49 − 36 = 4 x 2 − 28 x + 13
2
On reconnaît l’identité remarquable ( a − b ) = a2 − 2ab + b2 avec a = 2 x et b = 7 .
2
2.
D = ( 2 x − 7 ) − 62 = ( 2 x − 7 − 6 )( 2 x − 7 + 6 ) = ( 2 x − 13)( 2x − 1 )
2
On reconnaît l’identité remarquable a2 − b2 = ( a − b )( a + b ) avec a = 2 x − 7 et b = 6 .
2
3.
La valeur exacte de D quand x = 2 est 4 2 − 28 2 + 13 = 21 − 28 2 .
Exercice 28
1.
2.
4 x + y = 32,5
Soit x le prix d’un cahier et y le prix d’un classeur, on obtient : 
3x + 2y = 42,5
4 x + y = 32,5
5x = 22,5 2L1 − L2
 x = 4,5
 x = 4,5
Par combinaison 
⇔
⇔
⇔
3x + 2y = 42,5 3x + 2y = 42,5
14 + 2y = 42,5 y = 14,5
cahier est de 4,5 euros et celui d'un classeur souple est de 14,5 euros.
Le prix d'un
Exercice 29
1.
1,21 × 57100 = 69091 . Le prix TTC, de la voiture A, est donc 69091 FF.
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2.
380800
= 1,19 soit une taxe de 19 % .
320000
3.
Traduisons le prix de la voiture B en FF : 380 800 × 0,16 = 60928 . La voiture B est moins chère.
Exercice 30
1.
Faire une figure exacte, en respectant les longueurs des données, et la compléter au fur et à mesure.
On sait que les triangles ABC et CDE sont équilatéraux donc CA = CB = CD = CE . On en déduit que les
points A, B, D, E sont sur un même cercle Ω de centre C et de rayon 3 cm.
2.
3.
[ AE] est un diamètre du cercle Ω , B ≠ A et B ≠ E donc le triangle ABE est un triangle rectangle en B.
4.
On sait déjà que AB = 3 et AE = 6 , reste à déterminer la longueur BE en appliquant le théorème de
Pythagore dans le triangle rectangle ABE : AE2 = AB2 + BE2 ⇔ 36 = 9 + BE2 ⇔ BE2 = 27 ⇔ BE = 27 car
BE ≥ 0 .
5.
CB = CD donc CBD est un triangle isocèle. De plus
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
mes ECD + mes DCB + mes ACB = 180 ⇔ 60 + mes DCB + 60 = 180 ⇔ mes DCB = 60 . On en
déduit que le triangle BCD est un triangle équilatéral.
Dans un triangle équilatéral tous les côtés ont la même longueur et tous les angles ont la même mesure à
savoir 60°.
Point de Torricelli/Fermat
Dans un triangle dont aucun des angles ne fait plus de 120°, le point de Torricelli est le point M
minimisant MA + MB + MC . De ce point, on voit les 3 côtés du triangle sous un angle de 120°.
Une propriété remarquable est que ce
point coïncide avec le point de Fermat,
défini de la façon suivante : on construit
les 3 triangles équilatéraux extérieurs
ABC', BCA', CAB'. Alors les droites (AA'),
(BB') et (CC') sont concourantes, et le
point d'intersection est aussi le point de
Torricelli du triangle !
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Exercice 31
[ AD]
est un diamètre d'un puit de forme cylindrique. Le point
C est à la verticale de D, au fond du puit. Une personne se
place en un point E de la demi-droite [DA ) de sorte que ses
yeux soient alignés avec les points A et C. On note Y le point
correspondant aux yeux de cette personne.
On sait que :
AD = 1,5 m
EA = 0,6 m
EY = 1,7 m
1.
Démontrer que les droites (DC) et (EY) sont parallèles.
2.
Calculer DC, profondeur du puits.
Exercice 32
L'unité de mesure est le centimètre.
On considère le cube ABCDEFGH dont les arêtes mesurent 6 cm.
Sur l'arête [DH] on considère un point S tel que DS = x .
1.
Calculer le volume du cube en cm3 .
2.
Entre quelle limite peut-on faire varier x.
On considère les deux pyramides :
P1 de sommet S et de base ABCD ; P2 de sommet S et de base EFGH.
3.
Montrer que le volume en cm3 de P1 s'écrit : V1 ( x ) = 12 x et que le volume en cm3 de P2 s'écrit :
V2 ( x ) = 72 − 12 x .
4.
Représenter graphiquement les deux fonctions V1 et V2 dans un repère orthogonal pour x compris
entre 0 et 6 (on prendra 1 cm pour unité graphique en abscisse et 1 cm pour 5 cm3 en ordonnées).
5.
Calculer le volume restant dans le cube lorsqu'on a enlevé le deux pyramide. Quelle remarque peut-on
faire ?
6.
Déterminer graphiquement le volume de la pyramide SEFGH lorsque la pyramide SABCD a un volume
de 50 cm3 (on pourra d'abord déterminer la valeur de x correspondant à V1 ( x ) = 50 ).
7.
1
Calculer la valeur de x pour que V1 ( x ) = V2 ( x ) et déterminer alors ces deux volumes.
2
8.
Vérifier ce résultat sur le graphique.
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Les fonctions
Une fonction est une relation, « une boîte noire », qui à un nombre lui associe un autre nombre au plus.
Le nombre du départ est appelé « variable », on le note souvent x. Le nombre y obtenu après application de la
fonction f est, quand il existe, appelé « image de x par f », noté f ( x ) , d’où y = f ( x ) .
Si y = f ( x ) alors x est un antécédent par f de y.
On munit le plan d’un repère ( O; I ; J ) . L’ensemble des points M ( x ; f ( x ) ) est appelé courbe représentative de la
fonction f. On la note C f .
A ( a; b ) ∈ C f est équivalent à f ( a ) = b
On appelle fonction linéaire, de coefficient a, toute fonction qui à un nombre x lui associe un nombre ax. On note
f ( x ) = ax
Propriété : Soit le repère ( O; I , J ) . La représentation graphique d’une fonction linéaire de coefficient a, est une
droite passant par le point O ( 0;0 ) , c’est aussi, l’ensemble des points de coordonnées ( x ; ax ) . a est appelé
coefficient directeur.
Propriété : Dans un repère ( O; I , J ) , ( d ) est la droite représentative de la fonction linéaire x a ax .
Si y = ax , alors le point M ( x ; y ) appartient à la droite ( d )
Réciproquement, si le point M ( x ; y ) appartient à la droite ( d ) alors y = ax
Propriété : A toute situation de proportionnalité on peut associer une fonction linéaire. On dit que cette situation
de proportionnalité modélise la situation de proportionnalité
Exercice 33
On donne : A =
(
2− 5
)
2
B = 250 − 490 + 2 81
1.
Ecrire A et B sous la forme de a + b c , a, b et c étant des entiers relatifs.
2.
En déduire que A - B est un nombre entier relatif.
Exercice 34
On donne l'expression : E = ( 5x + 1 ) − ( 7 x + 2 )( 5x + 1 )
2
1.
Développer et réduire E.
2.
Factoriser E.
3.
Résoudre l'équation ( 5x + 1 )( −2 x − 1) = 0
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Exercice 35
Trois enfants se partagent une tablette de chocolat.
Le premier prend le tiers de la tablette et le second le quart.
Le troisième prend les
2
de ce qui reste après que le premier et le second se soient servis.
5
Lequel de ces calculs permet de trouver la part du troisième ?
1 1 2
A =1− − ×
3 4 5
 1 1 2
B = 1 − −  ×
 3 4 5
 1 1 2
C = 1 − −  ÷
 3 4 5
1 1 2
D = 1 −  + ×
3 4 5
Effectuer le calcul choisi.
Exercice 36
Voici le nombre de skieurs fréquentant une station de ski pendant une semaine d'hiver :
Lundi
Mardi
Mercredi
Jeudi
Vendredi
Samedi
Dimanche
5760
3700
1750
3400
6900
8200
11800
1.
Quel est le nombre moyen de skieurs par jour ?
2.
Quel est le pourcentage de fréquentation le dimanche ? (résultat arrondi au centième )
Exercice 37
Tracer un cercle C de centre O et de rayon 4 cm. Tracer [AB] un diamètre de C. Placer un point E sur le
cercle C tel que : BAE = 40° .
1.
Montrer que le triangle ABE est rectangle.
2.
Calculer la valeur exacte de BE puis son arrondi au millimètre.
3.
Placer le point D symétrique de B par rapport à E.
4.
Démontrer que les droites (AD) et (OE) sont parallèles.
5.
Quelle est la nature du triangle ABD ? Justifier.
Exercice 38
La vue de face d'un hangar est représentée par le schéma ci-dessous.
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BCDE est un rectangle, BAE est un triangle
rectangle en A ; H est la projection orthogonale
de A sur la droite (CD) .
Les points A, E, F sont alignés ainsi que C, D, F.
On donne (l'unité étant le mètre) : AB = BC = 6
EB = 10
1.
Calculer AE.
2.
Sachant que AF = 18 , calculer la hauteur AH du hangar.
Exercice 39
Figure 1 La figure 1 est le schéma d'un réservoir à eau. Il est composé
d'une pyramide régulière à base carrée IJKL, de sommet s, surmontée
d'un pavé droit.
[SA] est la hauteur de la pyramide, [SB] est la hauteur du réservoir et
[SH] la hauteur de l'eau.
Le réservoir se vide par une vanne située en S. Les mesures sont
exprimées en mètres et les volumes en mètres cubes.
On donne : SA = 5, IJ = 6, SB = 13, SH = x.
La courbe ci-après représente le volume de l'eau en fonction de sa hauteur SH. On ne demande pas de
figure.
1.
Montrer que le volume total du réservoir est 348 m3 .
Lorsque le réservoir est plein, il faut dix heures pour le vider (on
suppose la vitesse constante).
2.
Quelle est en m3 /h la vitesse d'écoulement de l'eau ?
3.
En déduire qu'elle est égale à 580 L /min .
On pose : SH = x . Soit V ( x ) le volume d'eau correspondant.
4.
Lire sur le graphique, en faisant apparaître les tracés : les volumes
suivants : V ( 5 ) , V (10 ) , V ( 2,5 ) ;
la hauteur de l'eau quand V = 247,5 m3 .
5.
Dans cette question, la hauteur de l'eau est A'S = 2,5. (AS = 5)
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Retrouver par le calcul le volume d'eau correspondant.
6.
Calculer le temps nécessaire pour vider le réservoir (arrondir à la minute).
7.
Lorsque x est supérieur à 5, la courbe représentant le volume en fonction de la hauteur x est le
segment [MN]. Déterminer une équation de la droite (MN). Justifier la réponse.
Exercice 40
Ecrire chacun des nombres A et B sous forme d'une fraction la plus simple possible (fraction
irréductible).Le détail des calculs doit apparaître.
2
1
A = −4×
5
15
4 12
B=− ÷
3 9
Autres polyèdres remarquables!
•
Le prisme. Si P est un polygone, et P' un translaté de ce même polygone, on obtient un polyèdre
en reliant chaque sommet du premier polygone à son translaté. Un tel polyèdre est un prisme.
C'est un prisme droit si toutes les faces latérales sont des rectangles.
•
Le parallélépipède : C'est un polyèdre dont les 6 faces sont deux à deux parallèles. Il est rectangle
si ses faces sont des rectangles.
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Correction des exercices 31 à 40
Exercice 31
1.
( DC ) ⊥ ( DA ) 
 ⇒ (DC ) // (EY )
( EA ) ⊥ ( EY ) 
2.
A ∈ [ YC ] , A ∈ [DE] et ( YE ) // (DC ) donc d’après le théorème de Thalès on a
AD AC DC
1,5 AC DC
1,5 × 1,7
=
=
⇔
=
=
. On en déduit que DC =
= 4,25 . Le puits a donc une
AE AY EY
0,6 AY 1,7
0,6
profondeur de 4,25 mètres.
Exercice 32
1.
V = 63 = 216 cm3
2.
x varie entre 0 et 6.
On considère les deux pyramides :
P1 de sommet S et de base ABCD ; P2 de sommet S et
de base EFGH.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
1
1
V1 ( x ) = base × hauteur = × 6 × 6 x = 12 x , V1 est
3
3
donc une fonction linéaire. Sa représentation
graphique est une droite passant par l’origine, de
coefficient directeur 12.
y
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
1
2
3
4
5
6
7
-10
1
1
-2
V2 ( x ) = base × hauteur = × 6 × 6 ( 6 − x ) = 72 − 12 x
-3
3
3
V2 est donc une fonction affine. Sa représentation graphique est une droite dont l’ordonnée à l’origine
est 72, de coefficient directeur -12.
Vfinal = V − V1 − V2 = 216 − 12 x − ( 72 − 12 x ) = 144 . On en déduit que le volume final ne dépend pas de x.
On cherche l’antécédent par la fonction V1 de 50, on trouve x 4,2 . On en déduit l’image par la
fonction V2 , il semblerait que V2 ( 4,2 ) 22 .
1
1
V1 ( x ) = V2 ( x ) ⇔ 12 x = ( 72 − 12 x ) ⇔ 12 x = 36 − 6 x ⇔ 18 x = 36 ⇔ x = 2 . On obtient alors
2
2
3
V1 ( 2 ) = 12 × 2 = 24 cm et V2 ( 2 ) = 72 − 12 × 2 = 72 − 24 = 48 cm3
Vérifier ce résultat sur le graphique.
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Exercice 33
1.
A=
(
2− 5
)
2
= 2 − 2 10 + 5 = 7 − 2 10
B = 250 − 490 + 2 81 = 52 × 10 − 72 × 10 + 2 32 × 9 = 5 10 − 7 10 + 2 × 9 = 18 − 2 10 .
2.
A - B = 7 − 2 10 − 18 + 2 10 = −11 .
Exercice 34
1.
E = ( 5x + 1 ) − ( 7 x + 2 )( 5x + 1 ) = 25x 2 + 10 x + 1 − 35x 2 − 7 x − 10 x − 2 = −10 x 2 − 7x − 1
2
On reconnaît l’identité remarquable ( a + b ) = a2 + 2ab + b2 avec a = 5x et b = 1 .
2
2.
E = ( 5x + 1 )( 5x + 1) − ( 7 x + 2 )( 5x + 1 ) = ( 5x + 1 )( 5x + 1 − 7 x − 2 ) = ( 5x + 1) (−2 x − 1)
3.
( 5x + 1)( −2 x − 1) = 0 un produit de facteur est nul ssi un des facteurs est nul
1
5x + 1 = 0
5 x = −1
1 1
5
. On en déduit que S = − ; − .
⇔
⇔
⇔
−2 x − 1 = 0
−2 x = 1
1
2 5
x=−
2
x=−
{
}
Exercice 35
 1 1  2  12 1 × 4 1 × 3
−
−
1 − −  × = 
 3 4  5  12 3 × 4 4 × 3
 2
5
2 1
× =
× =
 5 6× 2 5 6
Exercice 36
5760 + 3700 + 1750 + 3400 + 6900 + 8200 + 11800
= 5930
7
1.
x=
2.
Le pourcentage de fréquentation le dimanche :
11800
× 100 28,43 . On en déduit que 28,43 % des
41510
skieurs fréquentent la station le dimanche.
Exercice 37
1.
[ AB] est un diamètre, E appartient au cercle, E ≠ A et E ≠ B donc le triangle ABE est rectangle en E.
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2.
Calculer la valeur exacte de BE puis son arrondi au millimètre. Dans le triangle ABE rectangle en E, on
BE
BE
utilise sin BAE =
⇔ sin ( 40 ) =
⇔ BE = 8sin ( 40 ) . On en déduit que BE 5,142 .
AB
8
3.
Placer le point D symétrique de B par rapport à E.
4.
Si D est le symétrique de B par rapport à E alors E est le milieu de [BD] . De plus O est le milieu de [ AB] ,
( )
donc d’après le théorème de la droite des milieux, ( OE ) // ( AD ) .
5.
La droite (AE) est la hauteur et la médiane issue de A. On en déduit que le triangle ABD est isocèle.
Dans le triangle ABE, on a
( )
( )
( )
( )
( )
mes BAE + mes AEB + mes EBA = 180 ⇔ 40 + 90 + mes EBA = 180 ⇔ mes EBA = 50 . On en déduit
que le triangle ABD n’est pas équilatéral
Exercice 38
1.
On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle ABE rectangle en A :
BE2 = AB2 + AE2 ⇔ 100 = 36 + AE2 ⇔ AE2 = 64 ⇔ AE = 64 ⇔ AE = 8 car AE ≥ 0 .
2.
Sachant que AF = 18 , calculer la hauteur AH du hangar. Hypothèses : E ∈ [ AF] , D ∈[FH] , (ED ) // ( AH)
d’après le théorème de Thalès :
AH =
FE FD ED
18 - 8 FD 6
=
=
⇔
=
=
. On en déduit que
FA FH AH
18
FH AH
6 × 18
= 10,8 . La hauteur du hangar est donc de 10,8 m.
10
Exercice 39
1.
1
V = V1 + V2 = × 62 × 5 + 62 × 8 = 348 m3 .
3
2.
VTotal
348
=
= 34,8 m3 /h .
temps total 10
3.
34,8 m3 /h =
4.
Il semblerait que V ( 5 ) = 60 cm3 , V (10 ) = 240 cm3 , V ( 2,5 ) = 3 cm3 ; Pour V ( x ) = 247,5 , on cherche les
34,8 × 1000
348 × 10
3 × 2 × 58 × 10
l/min =
l/min =
l/min = 580 l/min
60
6
6
éventuels antécédents de 247,5 par V : 11 m.
3
1
1
60
1
= × 62 × 5 = 60 m3 . Le rapport de la réduction est k = . Vfinal =   Vinitial =
= 7,5 m3
3
2
2
8
 
5.
VInitial
6.
Calculer le temps nécessaire pour vider le réservoir (arrondir à la minute). Soit x le temps nécessaire,
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on a
7.
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580 7500
7500
375
=
⇔x=
⇔x=
. x 13 min .
1
x
580
29
Lorsque x est supérieur à 5, la courbe représentant le volume en fonction de la hauteur x est le
segment [MN]. Déterminer une équation de la droite (MN). Justifier la réponse. M( 5;60 ) ∈ (MN) ,
N(13;348 ) ∈ (MN) , on cherche a et b dans l’équation y = ax + b . a =
yM − yN 348 − 60 288
=
=
= 36 . On
xM − x N
13 − 5
8
en déduit que y = 36 x + b . M appartient à la droite (AB), donc ses coordonnées vérifient son
équation : 60 = 36 × 5 + b ⇔ b = −120 . Il vient y = 36 x − 120 .
Exercice 40
2
1 2× 3 4
2
A = −4× =
− =
5
15 5 × 3 15 15
4 12
4 9
4×3×3
B=− ÷ =− × =−
= −1
3 9
3 12
3×3×4
Les statistiques
Soit un ensemble donné, on l’appelle population, on étudie un caractère ou critère qui peut être
qualitatif (couleur des yeux, sexe…) ou quantitatif (âge, taille, poids…).
Le plus souvent les données sont des chiffres que l’on appelle valeur, affectés de coefficient (nombre de
fois que la valeur se répète) appelé effectif. On résume cette situation à l’aide d’un tableau où l’on affiche
toutes les valeurs et leur effectif que l’on appelle série statistique.
Notation : Les valeurs distinctes sont notées xi , où i est un indice entier qui prend les valeurs de 1 à p. Les
effectifs sont notées ni et correspondent aux xi . n3 est donc le coefficient de x3 , ce qui se traduit par la
3ieme note à pour coefficient n3 .
Notation : L’effectif total est noté N d’où, N = n1 + n2 + ... + np s’il y a p notes différentes.
Définition : On note la moyenne x
La moyenne simple
x=
La moyenne pondérée
x1 + x2 + ... + x p
x=
p
n1 x1 + n2 x2 + ... + np x p
N
La médiane : C’est une valeur qui partage la population ordonnée en deux sous-ensembles de même
effectif, on la note me .
1er cas : Si N est pair alors N = 2p où p est un nombre entier naturel
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x1 − x2 − ... − x p
14
4244
3
x p +1 − xP +2 − ... − x2 p , donc toute valeur comprise entre x p et x p +1 est convenable. On
144
42444
3
p premières valeurs
choisit me =
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p suivantes
x p + x P +1
2
, soit la moyenne entre x p et x p +1 .
2ième cas : Si N est impair alors N = 2p + 1 où p est un nombre entier naturel
x1 − x2 − ... − xp xp +1 x p +2 − xP +3 − ... − x2 p +1 , donc me = xP +1 .
14
4244
3 {144424443
p premières valeurs
p suivantes
me
L’étendue : C’est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur
Les quartiles : On appelle premier quartile, et on note Q1 , la valeur qui partage l’ensemble ordonné
étudié en deux ensembles. Le premier est composé d’un quart des valeurs et le second des trois quarts.
On appelle troisième quartile, et on note Q3 , la valeur qui partage l’ensemble ordonné étudié en deux
ensembles. Le premier est composé des trois quarts des valeurs et le second d’un quart.
Remarque : Si N est la somme des effectifs, il est donc important de savoir si ce nombre est un multiple de
4 ou pas.
1er cas : Si N est un multiple de 4 alors N = 4 p où p est un nombre entier naturel
x1 − x2 − ... − x p
14
4244
3
x p +1 − xP +2 − ... − x4 p , donc toute valeur comprise entre x p et x p +1 est convenable. On
144
42444
3
p premières valeurs
choisit Q1 =
les suivantes
x p + x P +1
2
, soit la moyenne entre x p et x p +1 .
2ième cas : Si N n’est pas un multiple de 4. On divise alors N par 4 et le plus petit des entiers plus grand que
N
, nous donne le rang d’une valeur qui sera Q1 .
4
Pour Q3
1er cas : Si N est un multiple de 4 alors N = 4 p où p est un nombre entier naturel
x1 − x2 − ... − x3 p
144
2443
x3 p+1 − x3P +2 − ... − x4 p , donc toute valeur comprise entre x3 p et x3 p +1 est convenable. On
1444
24443
3 p premières valeurs
choisit Q3 =
les suivantes
x 3 p + x 3 P +1
2
, soit la moyenne entre x3 p et x3 p +1 .
2ième cas : Si N n’est pas un multiple de 4. On divise alors 3N par 4 et le plus petit des entiers plus grand
3N
que
, nous donne le rang d’une valeur qui sera Q3 .
4
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Gottfried Leibniz (1 juillet 1646 - 14 novembre 1716)
Gottfried Leibniz est plus qu'un grand scientifique. Tout à tour philosophe,
juriste, historien, diplomate, c'est un grand homme universel de son temps,
pacifiste, rêvant de réunifier les églises catholiques et protestantes, et de
rapprocher les peuples d'Europe.
Il est né le 1er juillet 1646 à Leipzig, dans une Allemagne qui peine à panser
ses plaies de la guerre de 30 ans. Très vite, il montre des aptitudes
exceptionnelles à l'apprentissage, d'ailleurs en grande partie autodidacte : à
15 ans, il connait la littérature grecque et latine, et a lu Descartes. Il rentre à l'université de Leipzig où il
étudie la philosophie, les mathématiques (assez pauvrement enseignés), le droit. En 1666, le titre de
docteur lui est refusé, probablement en raison de son trop jeune âge. Leibniz quitte alors l'Université de
Leipzig pour celle d'Altdorf, où il devient docteur en 1667. Il ne cherche pas à trouver un poste
universitaire, et préfère rentrer au service du baron von Boyneburg, à Francfort.
Le but du voyage de Leibniz à Paris est personnel et scientifique : il souhaite rencontrer et échanger avec
les plus grands savants d'Europe. Il a mis notamment mis au point une machine à calculer qui
perfectionne celle du savant français Pascal, qu'il désire dévoiler et améliorer. Sous les conseils de
Huygens, puis de Oldenburg, alors secrétaire de la Royal Society de Londres, il complète sa culture
mathématique par de nombreuses lectures.
C'est à Paris que Leibniz met au point sa découverte mathématique fondamentale, l'invention du calcul
différentiel et intégral. Leibniz montre notamment que l'intégration et la dérivation sont des opérations
inverses l'une de l'autre, invente la notation ∫ f ( x ) dx , trouve les formules de dérivation d'un produit,
d'un quotient, d'une puissance.
On ne peut passer ici sous silence la violente querelle qui opposa Newton et Leibniz. Newton était
parvenu, quelques années auparavant, aux mêmes conclusions que Leibniz. Il accusera son homologue
allemand de plagiat, intentera plusieurs actions auprès de la Royal Society de Londres, qui rendra toujours
un avis unilatéral en faveur de Newton. S'il est vrai que Newton a réalisé ses découvertes quelques temps
avant Leibniz, mais que ce dernier a publié ses résultats en premier, il semble bien que les deux
mathématiciens aient fait leurs recherches indépendamment l'un de l'autre. L'Histoire a retenu les deux
noms comme inventeurs du calcul infinitésimal, et ce sont plutôt les notations symboliques de Leibniz qui
se sont imposés.
En 1699, il entre à l'Académie des Sciences de Paris, puis il travaille à fonder des sociétés savantes en
Allemagne : en 1700 voit le jour la Société des Sciences de Brandenburg, qui deviendra plus tard
l'Académie de Berlin.
La fin de la vie de Leibniz est assez triste. Une grande partie de son énergie est absorbée par sa querelle
de priorité avec Newton. Il décède le 14 novembre 1716, dans la solitude. Signalons cet hommage plein
d'esprit de Fontenelle : "Si M. Leibniz n'est pas, de son côté, aussi bien que M. Newton, l'inventeur du
système des infiniments petits, il s'en faut infiniment peu".
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Exercice 41
En indiquant le détail des calculs, écrire chacun des nombres C et D sous forme d'un entier ou d'une
fraction la plus simple possible.
C=
8
18
D=
(
2+ 8
)
2
Exercice 42
E = 9 x 2 − 25 + ( 3x + 5)( x − 2 )
5.
Factoriser 9 x 2 − 25 , puis factoriser E.
6.
Résoudre l'équation ( 3x + 5 )( 4 x − 7 ) = 0
Exercice 43
Jean achète un cahier et un classeur ; il paie 11 euros.
Paul achète 3 cahiers et 4 classeurs ; il paie 40 euros.
Traduire cette situation à l'aide d'un système de deux équations à deux inconnues et en déduire le prix
d'un cahier et celui d'un classeur.
Exercice 44
Une enquête, réalisée sur un échantillon de 30 enfants, porte sur le temps passé devant la télévision à
leur rentrée de l'école entre 17 h 30 et 19 h 30.
La répartition est donnée par le tableau suivant :
Temps t en heures
0 ≤ t < 0,5
0,5 ≤ t < 1
1 ≤ t < 1,5
1,5 ≤ t < 2
Nombre d'enfants
12
9
6
3
1.
Douze enfants passent moins d'une demi-heure devant la télévision. Quel pourcentage du groupe de
30 enfants représentent-ils ?
2.
Combien d'enfants passent moins d'une heure devant la télévision ?
3.
Combien d'enfants passent au moins une heure devant la télévision ?
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Exercice 45
La figure ci-contre n'est pas à reproduire.
EFG est un triangle rectangle en F.
K est le milieu du segment [EG].
La droite passant par K et perpendiculaire à (EF) coupe [EF] en L.
1.
Démontrer que les droites (LK) et (FG) sont parallèles.
2.
Démontrer que L est le milieu du segment [EF].
Les droites (FK) et (GL) se coupent M.
3.
Que représentent les droites (FK) et (GL) pour le triangle EFG ?
4.
En déduire que la droite (EM) coupe le segment [FG] en son milieu.
Exercice 46
(SABCD) est une pyramide de hauteur [SO].
Son volume est de 240 cm3 et sa hauteur mesure 15 cm.
1.
2.
A partir de la formule donnant le volume de la
pyramide, calculer l'aire de la base (ABCD).
1
O' est le point du segment [ SO] tel que O'S = OS .
2
Le plan passant par O' et parallèle à la base (ABCD),
coupe les droites (SA) en A', (SB) en B', (SC) en C', (SD)
en D'.
Calculer le volume de la pyramide (SA'B'C'D').
3.
On donne OA = 5 cm.
En utilisant le triangle OSA rectangle en O, calculer au degré près la mesure de l'angle OSA . On pourra
utiliser cet extrait de table trigonométrique :
tan18° ≈ 0,325
cos70° ≈ 0,342
sin19° ≈ 0,326
tan19° ≈ 0,344
cos71° ≈ 0,326
sin20° ≈ 0,342
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Exercice 47
La figure commencée ci-contre est à compléter à la quatrième
question.
On donne : AC = 4,2 cm ; AB = 5,6 cm ; BC = 7 cm.
I est le point du segment [CB] tel que CI = 3 cm. La parallèle à
la droite (AI) passant par B coupe la droite (AC) en D.
1.
Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
2.
En utilisant le théorème de Thalès dans le triangle CBD,
démontrer que CD = 9,8 cm.
3.
Calculer AD et démontrer que le triangle ADB est un triangle
isocèle rectangle.
4.
Déterminer la mesure de l’angle DAB .
5.
Démontrer que l’angle IAB = 45° .
6.
En déduire que la droite (AI) est la bissectrice de l’angle CAB .
Soit E le projeté orthogonal du point I sur la droite (AB). Soit F le projeté orthogonal du point I sur la droite
(AC).
7.
Démontrer que le quadrilatère AEIF est un rectangle.
8.
Démontrer que IE = IF . Quelle précision peut-on alors apporter quant à la nature du quadrilatère AEIF?
Exercice 48
On donne l'expression A = ( x − 2 ) − ( x − 2 )( 5x + 1 )
2
1.
Développer et réduire A.
2.
Factoriser A.
3.
Calculer A pour x = 3 .
4.
Résoudre l'équation : ( x − 2 )( −4 x − 3 ) = 0
Exercice 49
ABCD est un carré de 60 cm de côté.
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1.
Exprimer en fonction de x l'aire du rectangle AEFG.
2.
Trouver x pour que l'aire du rectangle AEFG soit égale au
quart de l'aire du carré ABCD.
Exercice 50
C'est la période des soldes.
1.
J'achète un pull dont le prix est de 460 F. Combien vais-je
payer ce pull sachant qu'à la caisse on me fera une remise de 20% ?
2.
J'achète aussi une chemise que je paie 360 F. Quel était le prix de la chemise avant la réduction de
20%?
La conjecture de Goldbach
Prenons les premiers nombres entiers pair (exceptés 2 et 4), et décomposons les comme suit :
6=3+3
14=7+7
8=5+3
16=11+5
10=7+3
18=11+7
12=7+5
20=13+7
Il semble apparaître le fait que tout nombre pair supérieur ou égal à 4 s'écrit comme la somme de 2
nombres premiers. Cette assertion est ce qu'on appelle la conjecture de Goldbach. C'est un énoncé très
simple, et pourtant on ne sait toujours pas s'il est vrai ou s'il est faux!
La conjecture de Goldbach a inspiré de nombreux romanciers. Nous ne saurons
que trop vous conseiller la lecture du Théorème du perroquet, un roman
mathématico-policier de Denis Guedj, aux Editions du Seuil, ainsi que la lecture de
Oncle Petros et la conjecture de Goldbach, d'Apostolos Doxiadis.
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Correction des exercices 41 à 50
Exercice 41
C=
8
2× 4 2
=
=
2× 9 3
18
D=
(
2+ 8
)
2
= 2 + 2 2 8 + 8 = 10 + 2 16 = 18
Exercice 42
1.
9 x 2 − 25 = ( 3 x − 5 )( 3x + 5) . On reconnaît l' identité remarquable a2 − b2 = ( a − b )( a + b ) avec a = 3x et
b = 5 . E = ( 3x − 5)( 3x + 5 ) + ( 3x + 5 )( x − 2 ) = ( 3x + 5 )( 3x − 5 + x − 2 ) = ( 3x + 5)( 4 x − 7 )
2.
( 3x + 5)( 4 x − 7 ) = 0 un produit de facteurs est nul ssi un des facteurs est nul
5
5 7
3
⇔
⇔
⇔
. On en déduit que S = − ; .
4x − 7 = 0
4x = 7
7
3 4
x=
4
3x + 5 = 0
3 x = −5
x=−
{ }
Exercice 43
Soit x le prix d’un cahier et y le prix d’un classeur.
x = 11 − y
x = 11 − y

 x + y = 11

x = 4
⇔
⇔
⇔
. Un cahier coûte 4 euros et un

3x + 4 y = 40 3 (11 − y ) + 4 y = 40 33 − 3y + 4 y = 40  y = 7
classeur coûte 7 euros.
Exercice 44
1.
12
× 100 = 40 . Donc 40% des enfants regardent la télévision moins d’une demi heure.
30
2.
12 + 9 = 21 élèves passent moins d'une heure devant la télévision.
3.
6 + 3 = 9 élèves passent au moins une heure devant la télévision.
Exercice 45
1.
(LK ) ⊥ (EF ) 
 ⇒ (LK ) // (FG) .
(FG) ⊥ (EF ) 
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2.
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La droite (LK) coupe un côté en son milieu et est parallèle au deuxième, donc coupe le troisième en
son milieu. On en déduit que L est le milieu de [EF].
3.
Les droites (FK) et (GL) sont deux médianes du triangle EFG.
4.
La droite (EM) est donc la troisième médiane et coupe le segment [FG] en son milieu.
Exercice 46
1.
1
15
240
V = base × hauteur ⇔ 240 = base ⇔ base =
⇔ base = 48 cm2 .
3
3
5
3
1
1
3
2. On fait une réduction de rapport k = d’où V(SA'B'C'D') =   × 240 = 30 cm .
2
2
3.
( )
tan OSA =
( )
( )
( )
5
1
d’où tan OSA = . On en déduit 0,325 < tan OSA < 0,344 d’où 18 < mes OSA < 19 .
15
3
Exercice 47
BC2 = 72 = 49

2
2
2
 ⇒ BC = AC + AB donc d’après la réciproque du
AC + AB = 4,2 + 5,6 = 17,64 + 31,36 = 49 
théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
1.
2.
2
2
2
2
A ∈ [CD] , I∈ [CB] et ( AI) // (BD ) donc d’après le théorème de Thalès
en déduit CD =
4,2 × 7
= 1,4 × 7 = 9,8 cm .
3
CA CI AI
4,2 3 AI
=
=
⇔
= =
. On
CD CB DB
CD 7 DB
3.
AD = CD − AC = 9,8 − 4,2 = 5,6 . Or AB = AD donc le triangle ADB est un triangle isocèle rectangle.
4.
mes DAB = 90° .
5.
mes ABD = 45° car le triangle ADB est isocèle rectangle. Les angles IAB et ABD sont alternes internes
( )
(
)
donc de même mesure.
( )
( )
( ) donc la droite (AI) est la bissectrice de l’angle CAB .
mes BAC
6.
mes BAC = 90° et mes BAI =
7.
Le quadrilatère AEIF est un quadrilatère comportant 3 angles droits, c’est donc un rectangle.
2
8. I appartient à la bissectrice de l’angle CAB donc IE = IF . Un rectangle qui comporte deux côtés
consécutifs de la même mesure est un carré.
Année 2012
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Exercice 48
1.
A = ( x − 2 ) − ( x − 2 )( 5x + 1 ) = x 2 − 4 x + 4 − 5x 2 − x + 10 x + 2 = −4 x 2 + 5x + 6
2
On reconnaît l'identité remarquable ( a − b ) = a2 − 2ab + b2 avec a = x et b = 2 .
2
2.
A = ( x − 2 )( x − 2 ) − ( x − 2 )( 5x + 1 ) = ( x − 2 )( x − 2 − 5x − 1 ) = ( x − 2 )( −4 x − 3 )
3.
Pour x = 3 , A = −4 × 3 + 5 3 + 6 = −6 + 5 3 .
4.
( x − 2 )( −4 x − 3) = 0 un produit de facteurs est nul ssi un des facteurs est nul
x =2
x −2 = 0
x =2
3
⇔
⇔
⇔
3 . On en déduit que S = − ;2 .
−4 x − 3 = 0
−4 x = 3
x=−
4
4
{ }
Exercice 49
1.
A AEFG = 40 ( 60 − x )
2.
1
1
3600
A AEFG = A ABCD ⇔ 40 ( 60 − x ) = × 602 ⇔ 60 − x =
⇔ x = 60 − 22,5 ⇔ x = 37,5 m
4
4
4 × 40
Exercice 50
1.
460 × 0,8 = 368 . Le pantalon pull de 368 F.
2.
Soit x le prix de la chemise initiale : 0,8 x = 360 ⇔ x =
360
= 450 . Le prix initial était de 450 F.
0,8
Théorème de Thalès
Soient ( d ) et ( d ' ) deux droites sécantes en un point A.
Soient B et M deux points de la droite ( d ) , distincts du point A.
Soient C et N deux points de la droite ( d ' ) , distincts du point A.
Si les droites ( BC ) et ( MN ) sont parallèles, alors on a :
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AM AN MN
=
=
AB AC BC
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Exercice 51
L'unité de longueur est le centimètre.
Soit un demi-cercle (C) de diamètre [ AB] tel que
AB = 12 .
Soit O le milieu de [ AB] et H le milieu de [ AO] . La
perpendiculaire en H à (AB) coupe (C) en M.
1.
Quelle est la nature du triangle AMO ? En
déduire la longueur AM puis la longueur MH.
(Donner les valeurs exactes)
2.
Quelle est la nature du triangle AMB ? En déduire la longueur exacte de MB.
3.
Calculer le sinus de ABM . En déduire une mesure de l'angle ABM . Etablir ce résultat d'une autre
façon.
4.
La médiatrice de [ AB] coupe (MB) en N. Calculer les valeurs exactes de NB et ON.
Exercice 52
1.
Ecrire le nombre A sous la forme d'une fraction la plus simple possible : A =
2.
Ecrire B sous la forme a 3 avec a entier : B = 5 × 15 .
3.
Soit C = 2 x 2 − 3 . Calculer C pour x = 3 .
3 2 10
+ ×
4 5 3
Exercice 53
1.
Développer et réduire : ( x + 4 ) − ( 5x − 4 ) .
2.
Résoudre l'équation : ( x + 2 )( 3 − 2 x ) = 0 .
2
Exercice 54
Paul achète 2 compas et 3 équerres, il paie 77 euros.
Pierre achète 3 compas et 4 équerres, il paie 111 euros.
Quel est le prix d'un compas ? Quel est le prix d'une équerre ?
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Exercice 55
Un marchand a des crayons bleus, des crayons rouges et des crayons verts.
Les crayons bleus représentent 53 % de la totalité des crayons.
Les crayons rouges représentent les trois dixièmes de la totalité des crayons.
1.
Les crayons verts représentent un pourcentage de la totalité des crayons. Quel est ce pourcentage ?
2.
En tout le marchand a 300 crayons. Combien a-t-il de crayons bleus ?
Exercice 56
Sur la figure ci-contre, on a :
CAD = 90° ; CBA = 90° ; BAC = 50° et AD = 5 cm ; AC = 7 cm.
1.
Calculer BC, puis en donner une valeur arrondie au mm près.
2.
Calculer la mesure de l'angle ADC en donnant sa valeur
arrondie à un degré près.
3.
Les droites (EF) et (CD) sont parallèles et AE = 2,5 cm.
Calculer AF.
On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au mm près.
Exercice 57
3 8
 3 5  −7
On donne les nombres A et B suivants : A = 2 − ×
; B= − ÷ .
4 21
 4 3  12
Donner une écriture fractionnaire de chacun des nombres A et B, le dénominateur étant un entier positif
inférieur à 10.
Exercice 58
1.
On considère C = 2 5 + 125 − 6 45 .
Ecrire C sous la forme a b , a et b étant deux nombres entiers, b étant le plus petit possible.
2.
(
A l'aide d'un calcul, montrer que le nombre D = 3 2 + 3
Année 2012
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)(
)
2 − 1 est un nombre entier.
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Exercice 59
On donne l'expression E = 25 − ( 3 x + 2 ) .
2
1.
Factoriser E.
2.
7
Calculer la valeur de E pour x = − .
3
Exercice 60
1.
 2 x + 2y = 36
Résoudre le système : 
4 x + y = 37,5
A la terrasse d'un café, Paul et ses amis consomment 4 cafés et 1 jus de fruits. Ils doivent payer 37,50
euros. A la table voisine, Pierre et ses amis consomment 2 cafés et 2 jus de fruits. Ils doivent payer 36,00
euros.
Comment choisir judicieusement les inconnues x et y pour que le système de la question 1 traduise cette
situation ?
2.
Nicolas III Bernoulli (6 Février 1695 - 31 Juillet 1726)
Nicolas III Bernoulli est un des fils de Jean Bernoulli (certains disent son
préféré), un autre membre éminent de cette célèbre famille de scientifiques.
Après des études brillantes de droit et de médecine (entreprises dès l'âge de
13 ans) à l'Université de Bâle, il assiste son père dans sa correspondance. On
lui doit notamment des lettres parmi les plus célèbres défendant Leibniz face à
Newton.
En 1725, il obtient un poste à l'Université de Saint-Pétersbourg. Hélas, sa
mort prématurée, 8 mois après son arrivée, brise une carrière qui s'annonçait prometteuse. On lui doit
toutefois des travaux concernant la géométrie des courbes, les équations différentielles, et les
probabilités. Dans ce dernier domaine, il énonce le paradoxe de Saint-Pétersbourg.
Inégalité de Bernoulli :
Théorème: Si a > −1 , a non-nul, et b > 1 , alors on a : (1 + a ) > 1 + ab
b
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Correction des exercices 51 à 60
Exercice 51
1.
OA = OM = R donc le triangle OAM est isocèle. De plus (MH) est la médiatrice de [ AO] . On en déduit
que MA = MO donc le triangle est équilatéral et AM = 6 . Pour calculer MH on applique le théorème de
Pythagore dans le triangle rectangle AMH :
AM2 = AH2 + MH2 ⇔ 62 = 32 + MH2 ⇔ MH2 = 27 ⇔ MH = 27 car MH ≥ 0 .
2.
[ AB] est un diamètre du cercle (C), M∈ ( C ) et M ≠ A , M ≠ B .On en déduit que le triangle AMB est
rectangle en M. On peut appliquer le théorème de Pythagore :
AB2 = AM2 + MB2 ⇔ 122 = 62 + MB2 ⇔ MB2 = 144 − 36 ⇔ MB = 108 car MB ≥ 0 .
(
(
)
)
AM 6 1
= = . On en déduit mes ABM = sin−1 ( 0,5 ) = 30° ou
AB 12 2
6
cos MAB = ⇔ mes MAB = cos −1 ( 0,5) ⇔ mes MAB = 60° . mes ABM = 180 − 90 − 60 = 30° .
12
3.
sin ABM =
(
4.
)
(
)
(
)
(
)
N ∈ [BM] , O ∈ [BH] , ( ON) // (MH) donc d’après le théorème de Thalès :
BN BO NO
BN
6 NO
2 108 2 3 × 62 2 × 6 3
=
=
⇔
= =
. On en déduit BN =
=
=
= 4 3 et
BM BH MH
3
3
3
108 9
27
6 27 2 3 × 32 2 × 3 3
NO =
=
=
=2 3.
9
3
3
Exercice 52
3 2 5 × 2 3 4 3 × 3 4 × 4 25
+ ×
= + =
+
=
4 5
3
4 3 4 × 3 3 × 4 12
1.
A=
2.
B = 5 × 15 = 5 × 15 = 52 × 3 = 5 3 .
3.
Pour x = 3 , C = 2 3 − 3 = 3 .
2
Exercice 53
1.
( x + 4 )2 − ( 5x − 4 ) = x 2 + 8 x + 16 − 5x + 4 = x 2 + 3x + 20 .
On reconnaît l’identité remarquable ( a + b ) = a2 + 2ab + b2 avec a = x et b = 4 .
2
2.
( x + 2 )( 3 − 2x ) = 0 un produit de facteurs est nul ssi un des facteurs est nul
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x = −2
x +2 = 0
x = −2
3
⇔
⇔
⇔
3 .On en déduit que S = −2; .
3 − 2x = 0
−2 x = −3
x=
2
2
{ }
Exercice 54
 2 x + 3y = 77
2 x + 3y = 77
 x = 25
⇔
⇔
Soit x le prix d’un compas et y celui d’une équerre. 
.
3l1 − 2l2
3x + 4 y = 111  y = 9
 y =9
Un compas coûte 25 euros et une équerre 9 euros.
Exercice 55
Un marchand a des crayons bleus, des crayons rouges et des crayons verts.
Les crayons bleus représentent 53 % de la totalité des crayons.
Les crayons rouges représentent les trois dixièmes de la totalité des crayons.
Soit T ≠ 0 le nombre total des crayons et x le pourcentage de crayons verts :
53
30
17
T+
T + xT = T ⇔ x = 1 − 0,53 − 0,3 ⇔ x =
. On a donc 17 % de crayons verts.
100
100
100
1.
2.
53
× 400 = 212 . Il y a donc 212 crayons bleus.
100
Exercice 56
BC
⇔ BC = 2sin ( 50° ) 1,5
2
1.
sin ( 50° ) =
2.
tan ADC =
(
)
(
)
7
7
⇔ mes ADC = tan−1   54° .
5
5
Les droites (EF) et (CD) sont parallèles et AE = 2,5 cm. Calculer AF. F ∈ [ AD] , E ∈ [ AC ] , (EF ) // ( CD ) donc
AF AE FE
AF 2,5 FE
2,5 × 5
d’après le théorème de Thalès
=
=
⇔
=
=
. On en déduit que AF =
1,8 .
AD AC DC
5
7 DC
7
3.
Exercice 57
3 8
3 2× 4
2 12
A =2− × =2− ×
=2− =
4 21
7 7
4 3 ×7
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 3 × 3 5 × 4  12 11 12 11
 3 5  −7
 3 5  12
B= − ÷
= − −  × = −
−
×
= .
× =
7
7
 4 3  12
4 3 7
 4 × 3 3 × 4  7 12
Exercice 58
1.
C = 2 5 + 125 − 6 45 = 2 5 + 5 × 52 − 6 32 × 5 = 2 5 + 5 5 − 18 5 = −11 5 .
2.
D= 3 2 +3
(
)(
)
2 −1 = 3 2 2 − 3 2 + 3 2 − 3 = 3.
Exercice 59
1.
E = 25 − ( 3x + 2 ) = 52 − ( 3x + 2 ) = ( 5 − 3x − 2 )( 5 + 3x + 2 ) = ( 3 − 3x )( 7 + 3x )
2
2
On reconnaît l’identité remarquable a2 − b2 = ( a − b )( a + b ) avec a = 5 et b = 3x + 2 .
2
7
7
2


2. Pour x = − : E = 25 −  −3 × + 2  = 25 − ( −7 + 2 ) = 25 − 25 = 0 .
3
3


Exercice 60
1.
 2 x + 2y = 36
2 x + 2y = 36
 x = 6,5
⇔
⇔
. On en déduit que S = {( 6,5;11,5 )} .

4 x + y = 37,5  3y = 34,5 2l1 − l2
y = 11,5
Soit x le prix d’un café et y le prix d’un jus de fruits. Un café coûte 6,5 euros et un jus de fruits 11,5
euros.
2.
Division euclidienne
a et b désignent deux nombres entiers positifs avec b ≠ 0 . Effectuer la division euclidienne de a par b
signifie déterminer deux nombres entiers positifs q et r tels que : a = b × q + r et r < b . q s’appelle le
quotient entier et r s’appelle le reste.
Exemple : La division de 16 par 3 : 16 = 3 × 5 + 1 . 5 est le quotient et 1 le reste.
Diviseurs d’un nombre entiers :a et b désignent deux nombres entiers positifs avec b ≠ 0 . On dit que b
est un diviseur de a lorsqu’il existe un nombre entier positif n tel que : a = n × b .
Autrement dit : Le reste de la division de a par b est nul.
Exemple : Les diviseurs de 24 sont 1, 2, 4 , 6, 12, 24.
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Les nombres premiers : Un nombre entier positif qui admet exactement 2 diviseurs différents ( 1 et luimême) est un nombre premier.
Exemple : Les premiers nombres entiers sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17
Remarque : 1 n’est pas un nombre premier car il ne possède qu’un seul diviseur : lui-même
Le PGCD : Soient a et b deux nombres entiers strictement positifs. Le plus grand des diviseurs communs à
a et b s’appelle le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) des nombres a et b et se note PGCD ( a;b ) ou
encore a ∧ b
Exemple : Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12. Les diviseurs de 15 sont 1, 3, 5, 15. Le plus grand des
diviseurs communs à 12 et 15 est 3. On note PGCD(12, 15) = 3 ou encore 12 ∧ 15 = 3 .
Propriétés : Soient a et b deux nombres entiers strictement positifs.
PGCD ( a;a ) = a
PGCD ( a;b ) = PGCD (b;a )
Si b est un diviseur de a alors PGCD ( a;b ) = b
Propriétés : Soient a et b deux nombres entiers strictement positifs avec a > b .
PGCD ( a;b ) = PGCD (b;r ) où r est le reste de la division euclidienne de a par b.
PGCD ( a; b ) = PGCD ( b; a − b ) .
Exemple :231 = 24 × 9 + 15 donc PGCD ( 231;24 ) = PGCD ( 24;15 ) . De plus, les diviseurs de 24 sont 1, 2, 3, 4,
6, 8, 12, 24 et ceux de 15 sont 1, 3, 5, 15. On en déduit que PGCD ( 231;24 ) = 3.
Définition : Nombres premiers entre eux
On dit que deux nombres entiers non nuls sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1.
Exemple : PGCD (16;15 ) = 1, on en déduit que 15 et 16 sont premiers entre eux.
On peut remarquer que 15 et 16 ne sont pas premiers.
Définition : Fractions irréductibles
On dit qu’une fraction est irréductible lorsque l’on ne peut pas la simplifier.
Propriété : Si le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux, alors cette fraction est
irréductible.
Exemple : 15 et 16 sont premiers entre eux donc la fraction
15 et 18 ne sont pas premiers entre eux donc la fraction
15
est irréductible.
16
15
est réductible.
18
Propriété : Pour rendre une fraction est irréductible on divise son numérateur et son dénominateur par
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leur PGCD.
15
15 3 5
Exemple : PGCD (15;18 ) = 3,
=
= .
18 18 6
3
Exemple :
28
2×2 ×7
7
=
= , on a donc simplifier par PGCD ( 24;28 ) = 4
24 2 × 2 × 2 × 3 6
Marquis Pierre Simon de Laplace (1749-1827)
Né à Beaumont-en-Auge, fils de cultivateur, Laplace s'initia aux
mathématiques à l'École militaire de cette petite ville. Il y commença son
enseignement. Il doit cette éducation à ses voisins aisés qui avait détecté son
intelligence exceptionnelle.
A 18 ans, il arrive à Paris avec une lettre de recommandation pour rencontrer
le mathématicien d'Alembert, mais ce dernier refuse de rencontrer l'inconnue.
Mais Laplace insiste: il envoie à d'Alembert un article qu'il a écrit sur la
mécanique classique. D'Alembert en est si impressionné qu'il est tout heureux
de patronner Laplace. Il lui obtient un poste d'enseignement en mathématique. En 1783, il devint
examinateur du corps de l'artillerie et fut élu, en 1785, à l'Académie des Sciences. A la Révolution, il
participa à l'organisation de l'École Normale et de l'Ecole Polytechnique, et fut membre de l'Institut, dès
sa création. Bonaparte lui confia le ministère de l'Intérieur, mais seulement pour 6 mois.
L' œuvre la plus importante de Laplace concerne le calcul des probabilités et la mécanique céleste. Il
établit aussi, grâce à ses travaux avec Lavoisier entre 1782 et 1784 la formule des transformations
adiabatiques d'un gaz, ainsi que deux lois fondamentales de l'électromagnétisme. En mécanique, c'est
avec le mathématicien Joseph-Louis de Lagrange, Laplace résume ses travaux et réunit ceux de Newton,
Halley, Clairaut, d'Alembert et Euler, concernant la gravitation universelle, dans les cinq volumes de sa
mécanique céleste ( 1798-1825 ).
On rapporte que, feuilletant la Mécanique céleste, Napoléon fit remarquer à Laplace qu'il n'y était nulle
part fait mention de Dieu. "Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse", rétorqua le savant.
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Exercice 61
Calculer puis simplifier : A =
13 1 10
− ×
14 15 7
Exercice 62
Calculer B et C, en donnant le résultat sous la forme m p , où m et p sont des nombres entiers, p étant le
plus petit possible : B = 7 15 × 2 35 × 3
(
)(
C = 2 − 3 5 15 + 2 5
)
Exercice 63
Factoriser l'expression : D = ( 2 x + 1) − 64
2
Exercice 64
Résoudre l'équation : ( 5x + 4 )( 3 − 2 x ) = 0
Exercice 65
Roméo veut offrir un bouquet de fleurs à sa bien-aimée. Le fleuriste lui propose :
- un bouquet composé de 8 iris et de 5 roses, pour un prix total de 142 euros ;
- un bouquet composé de 5 iris et de 7 roses, pour un prix total de 143 euros.
Calculer le prix d'un iris et d'une rose.
Pour cela, vous appellerez x le prix d'un iris et y celui d'une rose, puis vous mettrez ce problème en
équation.
Enfin, vous vérifierez votre réponse par un calcul que vous écrirez sur la copie.
Exercice 66
3 5 5
2 5 7 1 
On donne : A = + × et B = −  −  .
2 4 12
2 26 3
Ecrire A et B sous forme de fractions irréductibles en détaillant les calculs intermédiaires.
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Exercice 67
On donne l’expression E = ( x + 3)( 2 x − 3 ) − ( 2 x − 3 ) .
2
1.
Développer et réduire E.
2.
Factoriser E.
Exercice 68
Une régate, ou course de voiliers, est organisée à La Rochelle. Deux types de voiliers participent à la
régate :
- les "420" qui ont à bord deux personnes ;
- les "optimistes" qui sont manoeuvrés par une seule personne.
On compte au départ de la régate 48 voiliers et 80 personnes.
1.
Si x est le nombre de "420" au départ et y le nombre d'"optimistes", traduire les données par un
système de deux équations à deux inconnues.
2.
Quel est le nombre de voiliers de chaque catégorie ?
Exercice 69
On a relevé la nationalité du vainqueur des 80 premiers Tours de France cyclistes (entre 1903 et 1993). Le
tableau ci-après donne le nombre de victoires par nationalité.
1.
Reproduire le tableau sur la copie et calculer les fréquences en pourcentage.
Nombre de victoires
France
Belgique
Italie
Espagne
Autres
36
18
8
6
12
Fréquence en %
2.
Construire un diagramme semi-circulaire représentant cette situation (on prendra 5 cm pour le rayon
du cercle). On justifiera correctement le calcul des angles.
3.
L'espagnol Miguel Indurain a gagné l'épreuve en 1994 et 1995.
Calculer le pourcentage de victoires espagnoles depuis la création du Tour de France.
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Exercice 70
Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 4,5 cm et BC = 7,5 cm.
1.
2.
Construire ce triangle et justifier brièvement la construction.
2
On considère le point D du segment [BC ] tel que BD = BC et le point E du segment [ AB] tel que
3
BE = 3 cm.
Démontrer que les droites (DE) et (CA) sont parallèles.
3.
Quelle est la nature du triangle BED ? Justifier votre réponse.
4.
Soit A1 l'aire du triangle ABC et A2 l'aire du triangle BED. Démontrer que 9 A2 = 4 A1 .
Réciproque du théorème de Thalès
Soient ( d ) et ( d ' ) deux droites sécantes en un point A. Soient B et M deux points de la droite ( d ) , distincts de A.
Soient C et N deux points de la droite ( d ' ) , distincts de A.
AM AN
=
et si les points A, B, M et les points A, C, N sont dans le même ordre, alors les droites
AB AC
(BC ) et (MN) sont parallèles.
Si
Isaac Newton (25 décembre 1642 - 19 mars
1727)
On connait en général de la vie de Newton l'épisode (légendaire ?) de la
pomme qui lui aurait suggéré la théorie de la gravitation. Mais on oublie
souvent que ce génial physicien fut aussi un brillant mathématicien, à
l'époque où les frontières entre les sciences étaient peu marquées.
Isaac Newton est né à Woolsthorpe [Angleterre] le 25 décembre 1642 ,
année de la mort de Galilée. Ses parents sont fermiers, mais son père
décède deux mois avant sa naissance. Sa mère se remarie, et il semble que
l'enfance de Newton, envoyé chez sa grand-mère, ne soit pas très heureuse.
A l'école publique de Grantham, Newton est un élève peu attentif. Vers 16 ans, il est rappelé par sa mère
pour s'occuper du domaine familial, mais ce travail ne lui convient guère, et il retourne à l'école pour
préparer son entrée à l'Université. Stokes est le premier à déceler chez Newton un talent prometteur, et il
l'aide à entrer au Trinity Collège de Cambridge en 1661. Là-bas, en dehors des cours de philosophie
cartésienne, Newton s'intéresse personnellement à l'astronomie, et donc aux mathématiques car il lui
manque de nombreuses notions géométriques pour comprendre les travaux de Halley.
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A l'été 1665, la peste s'abat sur l'Angleterre, et Newton doit retourner dans sa région natale. C'est
pendant cette période de deux ans que l'on situe ses premières avancées spectaculaires en
mathématiques, physique, et plus particulièrement en optique : Newton comprend que la lumière
blanche n'est pas une entité, mais est la somme de lumières colorées. A son retour à Cambridge, son
génie est détecté par Barrow, qui fait connaitre ses travaux, l'aide à réussir ses derniers examens
universitaires, et en 1669 l'élève succède au maître à la chaire de mathématiques. En 1672, il entre à la
Royal Society de Londres suite à la fabrication d'un télescope à miroir sphérique dépourvu d'aberration
chromatique.
L'œuvre majeure de Newton est le Philosophiae naturalis principia mathematica paru en 1687, qui
marque le sommet de la pensée newtonienne. Les Principia marquent les débuts de la mathématisation
de la physique. Ils comportent tous les fondements principaux de la mécanique classique : égalité de
l'action et de la réaction, principe d'inertie, et surtout loi de gravitation universelle : deux corps s'attirent
avec une force proportionnelle au produit de leur masse et inversement proportionnelle au carré de leur
distance. En mathématiques, outre la classification des coniques et la formule du binôme pour des
exposants non entiers, Newton est considéré comme le co-inventeur du calcul infinitésimal, appelé par lui
méthode des fluxions. Ce calcul infinitésimal est envisagé à travers la cinématique, alors que chez Leibniz
il procède de la géométrie. La dérivation est encore envisagée de manière intuitive, mais les jalons de
l'analyse moderne sont posés.
Newton était sans doute une personnalité complexe et tourmentée. Il répugne à communiquer aux
autres scientifiques ses découvertes, ce qui lui vaudra quelques violentes querelles de priorité avec Hooke
(pour la gravitation universelle) et Leibniz (au sujet du calcul infinitésimal). Il consacre beaucoup de temps
à l'alchimie, à la théologie. En 1693, Newton souffre d'une grave crise de dépression nerveuse, qui lui fait
abandonner toute recherche nouvelle, au profit
d'une synthèse et des perfectionnements de ses
résultats antérieurs. Il occupe également des
fonctions administratives prestigieuses : il est
nommé directeur de la Monnaie, et en 1703, il est
élu Président de la Royal Society. Anobli en 1705,
il décède le 19 mars 1727 à Londres, et il est
inhumé à l'abbaye de Westminster, aux côtés des
rois d'Angleterre.
Trident de Newton :
Le trident de Newton est la courbe d'équation :
xy = ax 3 + bx 2 + cx + d .
Suivant les valeurs des coefficients, le trident de
Newton coupe l'axe des abscisses en un ou trois
points, et si d n'est pas nulle, l'axe des ordonnées
est asymptote à la courbe.
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Correction des exercices 61 à 70
Exercice 61
A=
13 1 10 13 × 15 1 10 × 2 195 − 20
175
5 × 5× 7
5
− × =
− ×
=
=
=
=
14 15 7 14 × 15 15 7 × 2
15 × 14 15 × 14 3 × 5 × 2 × 7 6
ou A =
13 1 10 13
1
2× 5
13
2
13 × 3
2× 2
35
7 ×5
5
− × = −
×
=
−
=
−
=
=
=
14 15 7 14 3 × 5
7
7×2 7× 3 7×2× 3 7× 3× 2 7×2× 3 7 ×2× 3 6
Exercice 62
B = 7 15 × 2 35 × 3 = 7 × 2 3 × 5 × 7 × 5 × 3 = 7 × 2 × 3 × 5 7 = 210 7
(
)(
)
C = 2 − 3 5 15 + 2 5 = 30 + 4 5 − 45 5 − 30 = −41 5
Exercice 63
D = ( 2 x + 1 ) − 64 = ( 2 x + 1) − 82 = ( 2 x + 1 − 8 )( 2 x + 1 + 8 ) = ( 2 x − 7 )( 2 x + 9 )
2
2
On reconnaît une identité remarquable a2 − b2 = ( a − b )( a + b ) avec a = 2 x + 1 et b = 8 .
Exercice 64
4
5
. On
⇔
( 5x + 4 )( 3 − 2 x ) = 0 un produit de facteurs est nul ssi un des facteurs est nul ⇔
3 − 2x = 0
3
x=
2
4 3
en déduit S = − ; .
5 2
5x + 4 = 0
x=−
{ }
Exercice 65
Soit x le prix d'un iris et y celui d'une rose :
8 x + 5y = 142 8 x + 5y = 142
⇔

5x + 7y = 143  −31y = -434
 x =9
⇔
. Un iris coûte donc 9 euros et une rose 14 euros.
5l1 − 8l2 y = 14
Vérification : 8 × 9 + 5 × 14 = 72 + 70 = 142 et 5 × 9 + 7 × 14 = 45 + 98 = 143 .
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Un petit conseil pour Roméo : L’usage veut que si l’on offre des roses à une dame, il en faut un nombre
qui est une puissance de 3 ( 30 = 1 , 31 = 3 , 32 = 9 ou 33 = 27 …).
Exercice 66
3 5 5 3 × 24 5 5 72 + 25 97
A= + × =
+ × =
=
.
2 4 12 2 × 24 4 12
48
48
Démontrons que cette fraction est irréductible en déterminant le PGCD des nombres 48 et 97.
On utilise l’algorithme d’Euclide :
97 = 48 × 2 + 1
48 = 1 × 48 + 0 , donc 48 ∧ 97 = 1 ou PGCD ( 48;96 ) = 1 autrement dit, les nombres 48 et 96 sont premiers
entre eux et la fraction n’est pas réductible.
2 5  7 1  2 5  7 1× 2  2 5 5 2× 6 5 5
13
B= −  − = −  −
− × =− .
= − × =
2 2  6 3  2 2  6 3× 2  2 2 6 2× 6 2 6
12
Exercice 67
1.
E = ( x + 3)( 2 x − 3 ) − ( 2 x − 3 ) = 2 x 2 − 3x + 6 x − 9 − ( 4 x 2 − 12 x + 9 ) = −2 x 2 + 15x − 18
2
On reconnaît l’identité remarquable ( a − b ) = a2 − 2ab + b2 avec a = 2 x et b = 3 .
2
2.
E = ( x + 3)( 2 x − 3 ) − ( 2 x − 3 ) = ( x + 3)( 2 x − 3 ) − ( 2 x − 3 )( 2 x − 3 ) = ( 2 x − 3 )( x + 3 − 2 x + 3) = ( 2 x − 3)( − x + 6 )
2
Exercice 68
Si x est le nombre de "420" au départ et y le nombre d'"optimistes",
 x + y = 48
 x + y = 48
 y = 16
⇔
⇔
.

l2 − l2  x = 32
2 x + y = 80  x = 32
1.
2.
Il y a donc 32 voiliers "420" et 16 "optimistes".
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Exercice 69
1.
France
Belgique
Italie
Espagne
Autres
Total
Nombre de
victoires
36
18
8
6
12
80
Fréquence
en %
36
× 100 = 45
80
18
× 100 = 22,5
80
8
× 100 = 10
80
6
× 100 = 7,5
80
12
× 100 = 15
80
100
Angle
45 × 180
22,5 × 180
10 × 180
7,5 × 180
15 × 180
= 81
= 40,5
= 18
= 13,5
= 4,5 180
100
100
100
100
100
Construire un diagramme semi-circulaire représentant cette situation (on prendra 5 cm pour le rayon
du cercle). On justifiera correctement le calcul des angles.
2.
3.
Il y a eu 7,5 % de victoires espagnoles.
Exercice 70
Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 4,5 cm et BC = 7,5 cm.
1.
Construire ce triangle et justifier brièvement la construction.
D ∈ [BC ] , E ∈ [ AB]


BD 2


=
2. BC 3
 BD BE  donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, (DE ) // ( AC ) .
=
⇒
BE
3 2  BC BA 

=
=
BA 4,5 3 

3.
Quelle est la nature du triangle BED ? Justifier votre réponse.
(DE ) // ( CA ) 
 ⇒ (ED ) ⊥ (EB ) .
( CA ) ⊥ ( AB ) 
2
2
4
2
4. Le triangle BED est une réduction de rapport du triangle ABC donc A 2 =   A1 = A1 d’où
3
9
3
9A2 = 4A1 .
Définition : Cosinus d’un angle aigu
Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté adjacent
à cet angle par la longueur de l’hypoténuse.
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On note cos angle =
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longueur du coté adjacent
longueur de l'hypothénuse
Exemple :
Soit ABC un triangle rectangle en A. Tel que AB = 6 cm et BC = 10 cm .
On considère l’angle ABC , son côté adjacent est le segment [ AB] et l’hypoténuse est le segment [BC ] . On
en déduit que cos A B C =
BA 6
=
= 0,6 .
B C 10
Définition : Sinus d’un angle aigu
Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté adjacent à
cet angle par la longueur de l’hypoténuse.
On note sin angle =
longueur du coté opposé
longueur de l'hypothénuse
Exemple :
Soit ABC un triangle rectangle en A. Tel que AC = 3 cm et BC = 10 cm .
On considère l’angle ABC , son côté opposé est le segment [ AC] et l’hypoténuse est le segment [BC ] . On
en déduit que sinABC =
AC 3
=
= 0,3 .
BC 10
Définition : Tangente d’un angle aigu
Dans un triangle rectangle, la tangente d’un angle aigu est égale au quotient de la longueur du côté
opposé à cet angle par la longueur du côté adjacent.
On note tan angle =
longueur du coté opposé
longueur du coté adjacent
Exemple :
Soit ABC un triangle rectangle en A. Tel que AB = 5 cm et AC = 2 cm .
On considère l’angle ABC , son côté opposé est le segment [ AC] et son côté adjacent est le segment [ AB] .
On en déduit que tanABC =
AC 2
= = 0,4 .
AB 5
Propriétés : Soit x la mesure en degré d’un angle aigu.
( cos x )2 + ( sin x )2 = 1
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tan x =
sin x
cos x
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Exercice 71
1.
Sachant que A = 2 5 + 4 et B = 2 5 − 4
Calculer la valeur exacte de A + B et de A x B
2.
On donne : C = 147 − 2 75 + 12
Ecrire C sous la forme a b , où a est un entier relatif et où b est un entier naturel le plus petit possible.
Exercice 72
On donne E = ( 2 x + 3 ) − x ( 2 x + 3)
2
1.
Développer et réduire E
2.
Factoriser E
3.
2
Calculer E pour x = − . On donnera le résultat sous la forme d'une fraction la plus simple possible.
3
4.
Résoudre l'équation suivante : ( 2 x + 3 )( x + 3) = 0 .
Exercice 73
Madame Schmitt vend son appartement 420 000 euros. Elle utilise cette somme de la façon :
2
de cette somme à sa fille ;
7
- elle s'achète une voiture ;
- elle place le reste à 4,5 % d'intérêt par an.
- elle donne les
Au bout d'un an, elle perçoit 9900 euros d'intérêts.
1.
Combien d'argent a-t-elle donné à sa fille ?
2.
Quelle somme a-t-elle placée ?
3.
Quel était le prix de la voiture ?
Exercice 74
Sur la figure ci-contre,
- ABC est un triangle équilatéral,
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- le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC,
- le point D est le point diamétralement opposé au point B sur ce
cercle.
1.
Quelle est la nature du triangle ABD ? Justifier.
2.
Quelle est la mesure de l'angle ADB ? Justifier.
Exercice 75
On donne le programme de calcul suivant :
Choisir un nombre.
a) Multiplier ce nombre par 3
b) Ajouter le carré du nombre choisi.
c) Multiplier par 2.
Ecrire le résultat.
1.
Montrer que, si on choisit le nombre 10, le résultat obtenu est 260.
2.
Calculer la valeur exacte du résultat obtenu lorsque :
Le nombre choisi est −5 ;
Le nombre choisi est
Le nombre choisi est
3.
2
;
3
5.
Quels nombres peut-on choisir pour que le résultat obtenu soit 0 ?
Exercice 76
Trois personnes, Aline, Bernard et Claude ont chacune un sac contenant des billes.
Chacun tire au hasard une bille de son sac.
Le contenu des sacs est le suivant :
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Sac d'Aline :
5 billes rouges
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Sac de Bernard :
Sac de Claude :
10 billes rouges
100 billes rouges
et
et
30 billes noires
3 billes noires
1.
Laquelle de ces personnes a la probabilité la plus grande de tirer une boule rouge ?
2.
On souhaite qu'Aline ait la même probabilité que Bernard de tirer une bille rouge.
Avant le tirage, combien de billes noires faut-il ajouter pour cela dans le sac d'Aline ?
Exercice 77
On donne ci-dessous les
représentations graphiques de
trois fonctions.
Ces représentations sont
nommées C1 , C2 et C3 .
L'une d'entre elles est la
représentation graphique d'une
fonction linéaire.
Une autre est la représentation
graphique de la fonction f telle
que f : x a −0,4 x + 3 .
1.
Lire graphiquement les
coordonnées du point B.
2.
Par lecture graphique, déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe C3 avec l'axe des
abscisses.
3.
Laquelle de ces représentations est celle d'une fonction linéaire ? Justifier.
4.
Laquelle de ces représentations est celle de la fonction f, Justifier.
5.
Quel est l'antécédent de 1 par la fonction f ? Justifier par un calcul.
6.
A est le point de coordonnées (4,6 ; 1,2). A appartient-il à C2 ? Justifier par un calcul.
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Exercice 78
En précisant les différentes étapes de calcul :
3−
2
3
1.
Ecrire le nombre A ci-dessous sous forme d'une fraction irréductible : A =
2.
Écrire le nombre B ci-dessous sous la forme a b , où a et b sont des nombres entiers, b étant le plus
4
×7
3
petit possible : B = 300 − 4 3 + 3 12
3.
Donner l'écriture scientifique de C : C =
49 × 103 × 6 × 10 −10
14 × 10 −2
Exercice 79
On donne : D = ( 2 x − 3 )( 5 − x ) + ( 2 x − 3)
2
1.
Développer et réduire D.
2.
Factoriser D.
3.
Résoudre l'équation : ( 2 x − 3 )( x + 2 ) = 0
Exercice 80
1.
2.
 6 x + 5y = 57
Résoudre le système : 
3x + 7y = 55,5
Pour classer des photos, un magasin propose deux types de rangement : des albums ou des boîtes. Léa
achète 6 boîtes et 5 albums et paie 57 € ; Hugo achète 3 boîtes et 7 albums et paie 55,50 €. Quel est le
prix d'une boîte ? Quel est le prix d'un album ?
Trouver le compte est bon avec chiffres 1 - 5 - 6 - 7 pour 21.
On peut utiliser les symboles : +, - , x , ÷ .
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Correction des exercices 71 à 80
Exercice 71
(
)(
)
1.
A +B = 2 5 + 4 +2 5 − 4 = 4 5
A × B = 2 5 + 4 2 5 − 4 = 20 − 16 = 4
2.
C = 147 − 2 75 + 12 = 3 × 72 − 2 3 × 52 + 3 × 22 = 7 3 − 10 3 + 2 3 = − 3
Exercice 72
1.
E = ( 2 x + 3 ) − x ( 2 x + 3) = 4 x 2 + 12 x + 9 − 2 x 2 − 3x = 2 x 2 + 9 x + 9
2
On reconnaît l’identité remarquable ( a + b ) = a2 + 2ab + b2 avec a = 2 x et b = 3 .
2
2.
E = ( 2 x + 3 )( 2 x + 3) − x ( 2 x + 3) = ( 2 x + 3 )( 2 x + 3 − x ) = ( 2 x + 3 )( x + 3)
3.
2
8 18
8 3 × 9 35
 2
 2
Pour x = − . E = 2  −  + 9  −  + 9 = − + 9 = +
=
.
3
9 3
9
9
9
 3
 3
2
3
2x + 3 = 0
x=−
4. ( 2 x + 3 )( x + 3) = 0 un produit de facteurs est nul ssi un des facteurs est nul ⇔
⇔
2 . On
x+3=0
x = −3
{ }
en déduit que S = −3; −
3
.
2
Exercice 73
1.
2
× 420000 = 120000 euros
7
2.
Soit x la somme placée :
3.
Le prix de la voiture est de 420000 − 120000 − 220000 = 80000 euros.
45
100
x = 9900 ⇔ x =
× 9900 ⇔ x = 220000 .
100
45
Exercice 74
1.
[BD] est un diamètre du cercle ( Γ ) , A ∈ ( Γ ) et A ≠ B , A ≠ D
2.
ADB , BCA sont deux angles inscrits dans le cercle ( Γ ) qui interceptent le même petit arc AB donc
(
)
donc le triangle ABD est rectangle en A.
( )
mes ADB = mes BCA = 60° .
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collège Vaïmoana
Exercice 75
Choisir un nombre.
x
10
-5
2
3
5
a) Multiplier ce nombre par 3
3x
30
-15
2
3 5
b) Ajouter le carré du nombre choisi.
3x + x 2
130
10
2+
c) Multiplier par 2.
2 ( 3x + x 2 )
260
20
44
9
4.
4 22
=
9 9
3 5+5
(
2 3 5+5
)
On cherche les éventuels antécédents de 0 : 2 ( 3x + x 2 ) = 0 ⇔ 3x + x 2 = 0 ⇔ 3x + xx = 0 ⇔ x ( 3 + x ) = 0
un produit de facteurs est nul ssi un des facteurs est nul ⇔
x=0
x +3=0
⇔
x=0
x =3
. On en déduit
S = {−3;0} .
Exercice 76
1.
Soit R Aline l’événement : « Aline obtient une boule rouge ». P (R Aline ) =
5
= 1 . R Aline est un événement
5
certain.
Soit RBernard l’événement : « Bernard obtient une boule rouge ». P (RBernard ) =
Soit RClaude l’événement : « Claude obtient une boule rouge ». P (RClaude ) =
2.
Soit x le nombre de boules noires à rajouter. On doit résoudre
10 1
= .
40 4
100
.
103
5
1
= ⇔ 20 = 5 + x ⇔ x = 15 . Il faut
5+ x 4
donc rajouter 15 boules.
Exercice 77
1.
B ( -4;4,5 )
2.
Il semblerait que les abscisses des points d'intersection de la courbe C3 avec l'axe des abscisses soient
-1 ; 2 et 4
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3.
La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l’origine : C1 .
4.
f est une fonction affine, sa représentation graphique est une droite dont l’ordonnée à l’origine est 3.
5.
On trace la droite d’équation y = 1 . Elle coupe la courbe représentative de la fonction f au point
d’abscisse x = 5 .
6.
A semble appartenir à C2 . A-t-on f ( 4,6 ) = 1,2 ?
f ( 4,6 ) = −0,4 × 4,6 + 3 = −1,84 + 3 = 1,16 ≠ 1,2 . On en déduit que A ∉ C2 .
Exercice 78
2
3=
1. A =
4
×7
3
3−
9 2 7
−
3 3 = 3 = 7× 3 = 1
4
28 3 28 4
×7
3
3
2.
B = 300 − 4 3 + 3 12 = 3 × 102 − 4 3 + 3 3 × 22 = 10 3 − 4 3 + 6 3 = 12 3
3.
C=
49 × 103 × 6 × 10 −10 7 × 7 × 2 × 3
=
× 10 −8 = 21 × 10 −8 = 2,1 × 10 −7
−2
14 × 10
2×7
Exercice 79
1.
D = ( 2 x − 3 )( 5 − x ) + ( 2 x − 3 ) = 10 x − 2 x 2 − 15 + 3x + 4 x 2 − 12x + 9 = 2 x 2 + x − 6
2
On reconnaît l’identité remarquable ( a − b ) = a2 − 2ab + b2 avec a = 2 x et b = 3 .
2
2.
D = ( 2 x − 3 )( 5 − x ) + ( 2 x − 3 )( 2 x − 3) = ( 2 x − 3)( 5 − x + 2 x − 3 ) = ( 2 x − 3 )( x + 2 )
3
2x − 3 = 0
x=
4. (2x - 3)(x + 2) = 0 un produit de facteurs est nul ssi un des facteurs est nul
⇔
2 . On en
x +2=0
x = −2
{ }
déduit S = −2;
3
.
2
Exercice 80
1.
 6 x + 5y = 57
6 x + 5y = 57
 x = 4,5
⇔
⇔
.

3x + 7y = 55,5  −9y = −54 l1 − 2l2
 y =6
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3.
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Une boîte coûte 4,5 euros et un album 6 euros.
La racine carrée
La racine carrée d’un nombre positif a, est le nombre positif, qui élevé au carré, est égal à a.
Ce nombre est noté
a
Remarque : On en déduit que
a ≥ 0 et
2
a =a
Exemple :
16 = 4 car 4 ≥ 0 et 42 = 16
2 = ... est plus difficile à déterminer. On peut donner une valeur approchée de ce nombre mais on ne
peut pas trouver sa valeur exacte. 2 ≈ 1,414 .
Exemple :
On peut résoudre certaines équations : x 2 = k où k est un nombre positif. On utilise l’identité
remarquable a2 − b2 = ( a − b )( a + b ) . x 2 = k équivaut à x 2 − k = 0 soit x 2 − k = 0 , il vient
2
( x − k )( x + k ) = 0 qui est une équation produit nul donc S = {−
Propriété : Si a est un nombre positif :
a2 = a
Propriétés : Soient a et b sont deux nombres positifs alors
Remarque : Si a et b sont strictement négatifs alors
a et
}
k; k .
a×b = a × b
a × b existe car a × b ≥ 0 mais
a
a
=
si b ≠ 0
b
b
a × b ≠ a × b car
b n’existent pas.
Exemple : Soit ABC un triangle rectangle en A, tel que AB = 4 cm et BC = 10 cm , déterminons la longueur AC.
D’après le théorème de Pythagore : BC2 = AB2 + AC2 d’où 102 = 42 + AC2 soit AC2 = 100 − 16 . On en déduit que
AC = 84 car une distance est toujours positive. On peut aussi donner une valeur approchée, à 10 −1 près,
AC ≈ 9,2 cm .
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Exercice 81
La station de ski Blanche Neige propose les tarifs suivants pour la saison 2004-2005 :
Tarif A : Chaque journée de ski coûte 20 euros.
Tarif B : En adhérant au club des sports dont la cotisation annuelle s'élève à 60 euros, on bénéficie d'une
réduction de 30 % sur le prix de chaque journée à 20 euros.
1.
Yann est adhérent au club des sports de la station. Sachant qu'il a déjà payé sa cotisation annuelle,
expliquez pourquoi il devra payer 14 euros par journée de ski.
2.
Reproduire et compléter le tableau suivant :
Nombre de jours de ski pour la saison 2004-2005
3.
5
Coût en euros avec le tarif A
100
Coût en euros avec le tarif B
130
8
220
On appelle x le nombre de journées de ski durant la saison 2004-2005. Exprimer en fonction de x :
a) Le coût annuel C A en euros pour un utilisateur ayant choisi le tarif A.
b) Le coût annuel CB en euros pour un utilisateur ayant choisi le tarif B.
4.
Sachant que Yann adhérent au club a dépensé au total 242 €, combien de jours a-t-il skié?
5.
Sur le papier millimétré, dans un repère orthogonal, prendre :
en abscisses : 1 cm pour 1 jour de ski.
en ordonnées : 1 cm pour 10 euros.
On placera l'origine du repère en bas à gauche de la feuille, l'axe des abscisses étant tracé sur le petit côté
de la feuille.
Tracer dans ce repère les représentations graphiques des fonctions affines f et g définies par :
f ( x ) = 20 x ; g ( x ) = 14 x + 60 .
Dans cette partie, on répondra aux différentes questions en utilisant le graphique (faire apparaître sur le
graphique les traits nécessaires).
6.
Léa doit venir skier douze journées pendant la saison 2004-2005. Quel est pour elle le tarif le plus
intéressant ? Quel est le prix correspondant ?
7.
En étudiant les tarifs de la saison, Chloé constate que, pour son séjour, les tarifs A et B sont égaux.
Combien de journées de ski prévoit-elle de faire ? Quel est le prix correspondant ?
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Exercice 82
1 5 3
A= + ÷
3 6 2
B = 50 45 − 3 5 + 6 125
C=
5 × 10 −2 × 7 × 10 5
2 × 107
1.
Calculer A en détaillant les étapes du calcul. Donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
2.
Ecrire B sous forme a 5 où a est un nombre entier. Détailler les étapes du calcul.
3.
Calculer C et donner son écriture scientifique en détaillant les étapes du calcul.
Exercice 83
Soit D = ( 2 x + 3 ) + ( 2 x + 3 )( 7 x − 2 )
2
1.
Développer et réduire D.
2.
Factoriser D.
3.
Calculer D pour x = −4 .
4.
Résoudre l'équation ( 2 x + 3)( 9 x + 1) = 0 .
Exercice 84
Pierre a gagné 84 sucettes et 147 bonbons à un jeu. Etant très généreux, et ayant surtout très peur du
dentiste, il décide de les partager avec des amis. Pour ne pas faire de jaloux, chacun doit avoir le même
nombre de sucettes et le même nombre de bonbons.
1.
Combien de personnes, au maximum, pourront bénéficier de ces friandises (Pierre étant inclus dans
ces personnes) ? Expliquer votre raisonnement.
2.
Combien de sucettes et de bonbons aura alors chaque personne ?
Exercice 85
1.
8 x + 3y = 39,5
Résoudre le système suivant : 
7 x + 9y = 50,5
2.
Une balade d'une heure en mer est proposée à deux groupes de touristes.
Le premier groupe, composé de 8 adultes et de 3 enfants, paie 39,50 €.
Le second, composé de 7 adultes et de 9 enfants, paie 50,50 €.
Quel est donc le prix d'un ticket pour un adulte ? pour un enfant ?
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Exercice 86
Toutes les étapes de calculs devront figurer sur la copie.
1.
Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
1 15 1
A= − ×
9 9 6
2.
Ecrire B sous la forme a 3 , où a est un entier.
B = 48 − 3 12 + 7 3
3.
Donner les écritures décimale et scientifique de C.
C=
3 × 102 × 1,2 × ( 10 −3 )
4
0,2 × 10 −7
Exercice 87
Le tableau ci-dessous donne la répartition des notes obtenues à un contrôle de mathématiques par les 27
élèves d'une classe de troisième.
Notes
6
8
10
13
14
17
Effectifs
3
5
6
7
5
1
1.
Calculer la note moyenne de la classe à ce contrôle. Arrondir le résultat à l'unité.
2.
Calculer le pourcentage d'élèves ayant eu une note supérieure ou égale à 10. Arrondir le résultat au
dixième
Exercice 88
Dans un magasin, une cartouche d'encre pour imprimante coûte 15 € .
Sur un site Internet, cette même cartouche coûte 10 €, avec des frais de livraison fixes de 40 € quel que
soit le nombre de cartouches achetées.
1.
Reproduire et compléter le tableau suivant :
Nombre de cartouches achetées
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2
5
Prix à payer en magasin en euros
75
Prix à payer par Internet en euros
90
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11
14
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Le nombre de cartouches achetées est noté x .
2.
On note PA le prix à payer pour l'achat de x cartouches en magasin. Exprimer PA en fonction de x.
3.
On note PB le prix à payer, en comptant la livraison, pour l'achat de x cartouches par Internet. Exprimer
PB en fonction de x.
4.
Dans un repère orthogonal (1cm = 1 unité en abscisse, 1cm = 10 unités en ordonnée) tracer les droites
d et d' définies par :
d représente la fonction x a 15x
d' représente la fonction x a 10 x + 40
En utilisant le graphique précédent :
5.
Déterminer le prix le plus avantageux pour l'achat de 6 cartouches. Vous laisserez apparents les traits
de constructions.
6.
Sonia dispose de 80 euros pour acheter des cartouches. Est- il est plus avantageux pour elle d'acheter
des cartouches en magasin ou sur internet ? Vous laisserez apparents les traits de constructions.
7.
A partir de quel nombre de cartouches le prix sur Internet est-il inférieur ou égal à celui du magasin ?
Expliquer votre réponse.
Exercice 89
7 2 8
0,3 × 102 × 5 × 10 −3
A = − ÷ , B = 12 − 7 3 − 75 , C =
3 3 7
4 × 10−4
1.
Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
2.
Ecrire B sous la forme a b où a est un entier relatif et b un entier naturel le plus petit possible.
3.
Calculer C et donner son écriture scientifique.
Exercice 90
On considère l'expression : E = ( 3x + 2 ) − ( 5 − 2 x )( 3x + 2 ) .
2
1.
Développer et réduire l'expression E.
2.
Factoriser E.
3.
Calculer la valeur de E pour x = −2 .
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4.
Résoudre l'équation ( 3x + 2 )( 5x − 3) = 0 .
5.
Les solutions de cette équation sont-elles des nombres décimaux ?
Sophie Germain (1 avril 1776 - 27 juin 1831)
Marie-Sophie Germain est une des premières femmes mathématiciennes.
Brillante autodidacte, estimée par quelques uns de ses pairs, elle s'est
toutefois heurtée à l'intransigeance de son époque envers les femmes
savantes.
Sophie Germain est née le 1er avril 1776 à Paris, d'une famille bourgeoise
issue de plusieurs générations de commerçants. Son père AmbroiseFrançois Germain est un député actif du Tiers-Etat à l'Assemblée
Constituante de 1789. Sophie Germain devait rester toute sa vie à la charge de sa famille, puisqu'elle ne
se maria pas, et n'acquit jamais une quelconque position sociale.
C'est à l'âge de 13 ans que Sophie Germain découvre le monde des mathématiciens par la lecture du récit
de la vie (et de la mort!) d'Archimède. Bien que ses parents ne l'y encourage pas, elle se découvre une
vocation et lit tout ce qui lui tombe sous la main, élaborant ses propres traductions de certains ouvrages
classiques. On dit même qu'elle se levait la nuit pendant le sommeil de ses parents pour aller étudier à la
lueur d'une bougie.
A 19 ans, elle parvient à obtenir les notes de cours de l'Ecole Polytechnique nouvellement créée. Elle
commence à entretenir une correspondance avec Lagrange, qui y est professeur d'Analyse, sous le
pseudonyme de "Mr Le Blanc". Lorsque Lagrange découvre la supercherie, il est profondément admiratif
devant le courage de cette femme.
La théorie des nombres est le premier domaine où Sophie Germain apporte une contribution importante.
Elle a lu les Disquisitiones Arithmeticae de Gauss, ouvrage publié en 1801, et échange avec ce dernier 12
lettres entre 1804 et 1809, toujours sous le pseudonyme de Mr Le Blanc. On lui doit notamment les plus
importantes avancées sur le théorème de Fermat depuis Euler (1738), et avant Kummer (1840). Elle
démontre que si n est un nombre premier (distinct de 2) tel que 2n+1 est un nombre premier, alors un
triplet d'entiers ( x, y, z ) ne peut vérifier l'équation de Fermat : x n + y n = z n que si n divise l'un des 3
entiers. Ces résultats ont encouragé notamment Dirichlet et Legendre à traiter le cas n = 5 , puis Lamé le
cas n = 7 .
Devenue amie de Fourier, lui-même secrétaire perpétuel de l'Académie depuis 1822, elle est la première
femme à pouvoir assister aux cours de l'Académie des Sciences, Sophie Germain continue à travailler
jusqu'à la fin de sa vie sur les mathématiques et la philosophie. Elle décède le 27 juin 1831, victime d'un
cancer du sein.
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Correction des exercices 81 à 90
Exercice 81
1.
70
× 20 = 14 euros.
100
2.
Reproduire et compléter le tableau suivant :
Nombre de jours de ski pour la saison 2004-2005
3.
5
8
11
Coût en euros avec le tarif A
100
160
220
Coût en euros avec le tarif B
130
172
214
On appelle x le nombre de journées de ski durant la saison 2004-2005. Exprimer en fonction de x :
a) C A = 20x .
b) CB = 14 x + 60 .
8.
On cherche les éventuels antécédents de 242 par la fonction CB . On doit résoudre
CB = 242 ⇔ 14 x + 60 = 242 ⇔ 14 x = 182 ⇔ x = 13 . Yann a skié 13 jours.
9.
Sur le papier millimétré, dans un repère orthogonal, prendre :
en abscisses : 1 cm pour 1 jour de ski.
en ordonnées : 1 cm pour 10 euros.
On placera l'origine du repère en bas à gauche de la feuille, l'axe des abscisses étant tracé sur le petit côté
de la feuille.
Tracer dans ce repère les représentations graphiques des fonctions affines f et g définies par :
f ( x ) = 20 x ; g ( x ) = 14 x + 60 .
10. Avec le tarif A :
20 × 12 = 240
Avec le tarif B : 14 × 12 + 60 = 228 .
Le tarif le plus intéressant est le tarif B pour 12 journées.
11. En étudiant les tarifs de la saison, Chloé constate que, pour son séjour, les tarifs A et B sont égaux.
Combien de journées de ski prévoit-elle de faire ? Quel est le prix correspondant ?On doit résoudre
f ( x ) = g ( x ) ⇔ 20 x = 14 x + 60 ⇔ 6 x = 60 ⇔ x = 10 . Elle prévoit de faire 10 jours de ski.
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Exercice 82
1.
1 5 3 1 5 2 1 × 6 5 2 16 8
A= + ÷ = + × =
+ × = =
3 6 2 3 6 3 3 × 6 6 3 18 9
2.
B = 50 45 − 3 5 + 6 125 = 50 32 × 5 − 3 5 + 6 5 × 52 = 150 5 − 3 5 + 30 5 = 177 5
3.
C=
5 × 10 −2 × 7 × 10 5 35
= × 10 −4 = 17,5 × 10 −4 = 1,75 × 10 −3
7
2 × 10
2
Exercice 83
1.
D = ( 2 x + 3 ) + ( 2 x + 3)( 7 x − 2 ) = 4 x 2 + 12 x + 9 + 14 x 2 − 4 x + 21x − 6 = 18 x 2 + 29 x + 3
2
On reconnaît l’identité remarquable ( a + b ) = a2 + 2ab + b2 avec a = 2 x et b = 3 .
2
2.
D = ( 2 x + 3 )( 2 x + 3 ) + ( 2 x + 3 )( 7 x − 2 ) = ( 2 x + 3) (2 x + 3 + 7 x − 2) = ( 2 x + 3 ) (9 x + 1)
3.
Pour x = −4 , D = 16 ( −4 ) + 29 × ( −4 ) + 3 = 256 − 116 + 3 = 143
2
3
2
4. ( 2 x + 3)( 9 x + 1) = 0 un produit de facteurs est nul ssi un des facteurs est nul ⇔
.
⇔
1
9x + 1 = 0
x=−
9
2x + 3 = 0
{
x=−
}
3 1
On en déduit que S = − ; − .
2 9
Exercice 84
1.
On cherche donc le PGCD ( 84;147 ) : 84 = 2 × 2 × 3 × 7 , 147 = 3 × 7 × 7 . On en déduit que
PGCD ( 84;147 ) = 21 . Donc 21 personnes auront des sucettes et des bonbons.
2.
Ils auront 4 sucettes et 7 bonbons.
Exercice 85
1.
8 x + 3y = 39,5 8 x + 3y = 39,5
y = 2,5
⇔
⇔
. On en déduit que S = {( 4;2,5 )} .

3l1 − l2
7 x + 9y = 50,5  17 x = 68
 x=4
2.
Le prix d'un ticket pour un adulte est de 4 euros, et 2,5 euros pour un enfant.
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Exercice 86
1 15 1 1 × 2 5 1
3
1
− × =
− × =− =−
9 9 6 9× 2 9 2
18
6
1.
A=
2.
B = 48 − 3 12 + 7 3 = 3 × 42 − 3 3 × 22 + 7 3 = 4 3 − 6 3 + 7 3 = 5 3
3.
C=
3 × 102 × 1,2 × (10 −3 )
0,2 × 10 −7
4
3 × 12 102 × 10 −12
=
×
= 18 × 10 −3 = 1,8 × 10 −2
−7
2
10
Exercice 87
Le tableau ci-dessous donne la répartition des notes obtenues à un contrôle de mathématiques par les 27
élèves d'une classe de troisième.
Notes xi
6
8
10
13
14
17
Total
Effectifs ni
3
5
6
7
5
1
27
ni xi
18
40
60
91
70
17
296
296
11
27
1.
x=
2.
19
× 100 70,4 . Donc 70,4 % des élèves ont eu une note supérieure ou égale à 10.
27
Exercice 88
1.
Nombre de cartouches achetées
2
5
11
14
Prix à payer en magasin en euros
30
75
165
210
Prix à payer par Internet en euros
60
90
150
180
Le nombre de cartouches achetées est noté x .
2.
PA = 15x .
3.
PB = 10 x + 40 .
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Dans un repère orthogonal (1cm = 1 unité en abscisse, 1cm = 10 unités en ordonnée) tracer les droites
d et d' définies par :
4.
d représente la fonction x a 15x ; d est une droite passant par l’origine, de coefficient directeur 15.
d' représente la fonction x a 10 x + 40 ; d’ est une droite d’ordonnée à l’origine 40 , de coefficient
directeur 10.
5.
Il semblerait que PA soit plus intéressant.
6.
On cherche les éventuels antécédents par PA et PB en traçant la droite d’équation y = 80 et en
cherchant les abscisses des points d’intersection. On trouve que PA est plus intéressant.
7.
On cherche pour quelle valeur de x la courbe représentative de PA est au dessous de la courbe
représentative de PB . Il semblerait que le prix internet soit plus intéressant à partir de 8 cartouches.
Exercice 89
1.
7 2 8 7 2 7 7 1 7 7 × 4 1 7 21 3 × 7 7
A= − ÷ = − × = − × =
− × = =
=
3 3 7 3 3 8 3 3 4 3 × 4 3 4 12 3 × 4 4
2.
B = 12 − 7 3 − 75 = 22 × 3 − 7 3 − 52 × 3 = 2 3 − 7 3 − 5 3 = −10 3
3.
C=
0,3 × 102 × 5 × 10 −3 3 × 5
=
× 103 = 0,375 × 103 = 3,75 × 102
−4
4 × 10
4 × 10
Exercice 90
1.
E = ( 3x + 2 ) − ( 5 − 2 x )( 3x + 2 ) = 9 x 2 + 12 x + 4 − 15x − 10 + 6 x 2 + 4 x = 15x 2 + x − 6
2
On reconnaît l’identité remarquable ( a + b ) = a2 + 2ab + b2 avec a = 3x et b = 2 .
2
2.
E = ( 3x + 2 )( 3x + 2 ) − ( 5 − 2 x )( 3x + 2 ) = ( 3 x + 2 )( 3x + 2 − 5 + 2 x ) = ( 3x + 2 )( 5x − 3)
3.
Pour x = −2 , E = 15 ( −2 ) − 2 − 6 = 52
4.
( 3x + 2 )( 5x − 3) = 0 un produit de facteurs est nul ssi un des facteurs est nul
2
2
3x + 2 = 0 3x = −2
3
.
⇔
⇔
⇔
5x − 3 = 0
5x = 3
3
x=
5
x=−
5.
3
2
= 0,6 est un nombre décimal mais − n’en n’est pas un.
5
3
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Les fonctions affines
Définition d’une fonction affine
On appelle fonction affine, toute fonction f définie par f ( x ) = ax + b où a et b sont deux nombres relatifs
donnés.
Remarque :
Si b = 0 , on a f ( x ) = ax . On en déduit qu’une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine.
Exemple : Soit la fonction affine f définie par f ( x ) = 2 x + 3 .
On peut déterminer l’image par f de 5 : f ( 5 ) = 2 × 5 + 3 = 13 , l’image par f de 5 est 13.
Remarque :
Tout nombre y admet un unique antécédent par la fonction f définie par f ( x ) = ax + b si a ≠ 0 .
En effet : On doit résoudre f ( x ) = y , sachant que y est connu, soit ax + b = y d’où ax = y − b , il vient
x=
y −b
.
a
Représentation d’une fonction affine
La représentation graphique dune fonction affine est une droite.
Définition : b est appelé l’ordonnée à l’origine. Cela signifie que la droite qui représente la fonction passe
par le point de coordonnées ( 0;b )
Définition : a est appelé le coefficient directeur. Si les points A ( xA ; yA ) et B ( xB ; yB ) appartiennent à la
on
+ monte
de ...
- descend
yB − y A
droite qui représente la fonction alors a =
=
xB − x A
on avance de ...
Exemple : Représentation de la fonction affine f, définie par f ( x ) =
3
x −1.
4
La représentation de f est la droite C f passant par le point de coordonnées ( 0; −1 ) . En partant de ce point :
on avance de 4 unités (de l’axe des abscisses) puis on monte de 3 unités (de l’axe des ordonnées).
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Blaise Pascal (19 juin 1623 - 19 aout 1662)
Blaise Pascal est né le 19 juin 1623 à Clermont. Il est le 3ème enfant et
unique fils d'Etienne Pascal, qui est Président de la Cour des Aides, et
appartient ainsi à la noblesse de robe (on trouve alors dans ce milieu,
ainsi que dans les milieux ecclésiastiques, parmi les gens les plus
cultivés). Quant à sa mère, Antoinette Begon, elle décède 3 ans après sa
naissance. En 1631, la famille s'installe à Paris.
C'est Etienne Pascal qui prend en charge l'éducation de son fils, loin
des bancs du collège ou de l'université. Il a des visions peu orthodoxes,
et il interdit à son fils l'apprentissage des mathématiques avant 15 ans.
Mais la légende raconte que Blaise, piqué par la curiosité, fut surpris par son père en train de démontrer
seul, à 12 ans, que la somme des angles d'un triangle fait 180°. A la suite de cela, il fut autorisé (et
encouragé) à lire les Eléments d'Euclide.
Dès 14 ans, Blaise Pascal accompagne son père aux rencontres de l'Académie du minime Marin
Mersenne, où divers scientifiques débattent de toutes sortes de questions. A 16 ans, il y fait son premier
exposé, où il démontre plusieurs théorèmes de géométrie projective, dont la fameuse propriété de
l'hexagone mystique inscrit dans une conique. Un an plus tard, il publie Essai pour les coniques.
En 1639, Etienne Pascal est promu par Richelieu commissaire à la levée des impôts auprès de l'Intendant
de Normandie, et la famille s'installe à Rouen. La tâche de collecte des impôts est ardue et répétitive, et
pour soulager le travail de son père, Blaise Pascal a l'idée d'une machine pour automatiser les calculs :
c'est la première machine à calculer de l'histoire, mise au point en 1642.
L'année 1646 marque un premier tournant dans la vie de Pascal : son père s'est blessé à la cuisse, et il est
soigné par deux médecins, les frères Deschamps, qui font lire à la famille des ouvrages d'inspiration
janséniste, et la convertissent à une vie chrétienne plus fervente. C'est la "première conversion" de
Pascal.
En 1647, des problèmes de santé contraignent Pascal à retourner à Paris. Sur un plan scientifique, Pascal
s'intéresse à la querelle de l'existence du vide, qui oppose Torricelli à Descartes. Il propose plusieurs
expériences pour valider l'existence du vide, et fait notamment réaliser par son beau-frère une
expérience célèbre au sommet du Puy-de-Dôme qui établit de façon irréfutable le rôle joué par la
pression de l'air.
Le 24 septembre 1651, le père de Pascal décède et ceci l'affecte beaucoup. Au contraire de sa sœur
Jacqueline, qui entre au monastère de Port-Royal, Pascal trouve refuge dans la vie mondaine et les
sciences. Il s'intéresse alors aux nombres, a des échanges épistolaires avec Fermat qui fondent la théorie
des probabilités (on doit notamment à Pascal l'invention du concept d'espérance), étudie en 1654 le
triangle arithmétique et invente ainsi le raisonnement par récurrence.
La nuit du 23 novembre 1654, Pascal connait une nuit d'extase mystique, où il rencontre Dieu et est
habité par des sentiments de "certitude, joie, paix, pleurs de joie". C'est la "seconde conversion" de
Pascal, qui le conduit à renoncer aux plaisirs du monde, et aux sciences humaines, vaines face aux
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sciences divines. Il se retire à compter de 1655 chez les jansénistes de Port-Royal, qui s'opposent alors aux
jésuites de la Sorbonne. Pascal prend part à la querelle, défendant ses amis jansénistes par l'écriture de
18 lettres appelées les "Provinciales" (du titre de la 1ère, Lettres écrites à un provincial par un de ses
amis).
Pascal reprend contact après 1658 avec la vie scientifique en étudiant les propriétés de la cycloïde. Il
commence également à rédiger une apologie de la religion chrétienne, qui sera publiée à titre posthume
sous le nom de Pensées. Il tombe gravement malade en février 1659, et ceci ralentit la réalisation de ses
projets. Sa dernière invention est la création des carrosses aux 5 sols, premier système de transport en
commun à Paris. Il décède le 19 aout 1662, sans doute des suites d'un cancer de l'estomac.
Une mort jeune (39 ans), une multitude de passions et une santé fragile ont sans doute empêché Pascal
d'avoir une production mathématique plus large. Il faut terminer en soulignant l'art d'écrire chez cet
homme, aussi bien dans ses écrits scientifiques que philosophiques.
Hexagone mystique
Théorème : Les côtés opposés d'un hexagone inscrit dans une ellipse se coupent en trois points alignés.
Ce théorème est un théorème de géométrie projective, que Pascal démontre d'abord pour un cercle, et
qu'il déduit ensuite dans le cas général par projection. Il généralise le théorème de Pappus (cas d'une
conique dégénérée). Son théorème dual est le théorème de Brianchon.
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Exercice 91
Dans cet exercice, tous les calculs devront être détaillés.
13 4 5
− × (donner le résultat sous sa forme la plus simple).
3 3 2
1.
Calculer l'expression : A =
2.
Donner l'écriture scientifique du nombre B tel que : B =
3.
Écrire sous la forme a 7 (où a est un entier) le nombre C tel que : C = 4 7 − 8 28 + 700 .
4.
Développer et simplifier : 4 5 + 2
(
)
7 × 1015 × 8 × 10 −8
5 × 10 −4
2
Exercice 92
Répondre aux questions suivantes. (Les calculs pourront être totalement faits à la calculatrice : on ne
demande pas d'étapes intermédiaires ni de justification)
1.
Donner un arrondi au centième du nombre A tel que :
2.
Convertir 3,7 heures en heures et minutes.
831 − 532
84
53 32
−
3. Donner un arrondi au millième du nombre B tel que : B = 51 85
63
34
4.
Calculer à 0,01 près C =
83 + 167
158
Exercice 93
1.
Trouver le PGDC de 6 209 et 4 435 en détaillant la méthode.
2.
En utilisant le résultat de la question précédente, expliquer pourquoi la fraction
4435
n'est pas
6209
irréductible.
3.
Donner la fraction irréductible égale à
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4435
6209
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Exercice 94
5 7 9
Soit A = − × et B = 45 − 12 5
3 3 4
1.
Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
2.
Écrire B sous la forme a 5 où a est un entier relatif.
Exercice 95
On donne l'expression A = ( 2 x − 3) − ( 4 x + 7 )( 2 x − 3 )
2
1.
Développer et réduire A.
2.
Factoriser A.
3.
Résoudre l'équation ( 2 x − 3 )( −2 x − 10 ) = 0 .
Exercice 96
1.
5 15
Calculer A = 2 − ÷
2 4
On donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
Toutes les étapes du calcul seront détaillées sur la copie.
On considère B =
2,5 × 10−3 × 9 × 105
15 × 10 −4
2.
Calculer B ; le résultat sera donné en écriture décimale.
3.
Ecrire B en écriture scientifique.
4.
Calculer l'expression C = 2 45 + 3 20 − 10 5 .
On donnera le résultat sous la forme a 5 où a est un entier relatif.
Exercice 97
1.
Calculer le PGCD des nombres 675 et 375.
2.
Ecrire la fraction
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675
sous forme irréductible.
375
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Exercice 98
On considère l'expression suivante : E = ( x − 3 ) + ( x − 3)( x + 3 ) .
2
1.
Développer et réduire E.
2.
Factoriser E.
3.
Calculer E pour x = 5.
4.
Résoudre l'équation x (x - 3) = 0.
Exercice 99
Aujourd'hui, Marc a 11 ans et Pierre a 26 ans.
Dans combien d'années l'âge de Pierre sera-t-il le double de celui de Marc ?
La démarche suivie sera détaillée sur la copie.
Exercice 100
Les parties A et B sont indépendantes
Partie A :
Dans une bibliothèque ouverte du mardi au samedi inclus, on a comptabilisé, jour par jour, le nombre de
livres prêtés au cours d'une semaine et on a obtenu les résultats consignés dans le tableau suivant :
mardi mercredi jeudi vendredi samedi
nombre de livres prêtés 61
121
42
59
82
1.
Calculer le pourcentage de livres prêtés le mercredi par rapport à la semaine entière.
Arrondir le résultat à l'unité.
2.
Le bibliothécaire dit : « le mercredi, nous prêtons le quart des livres de la semaine ».
A-t-il raison ? Expliquer.
3.
Calculer le nombre total de livres prêtés sur la semaine entière.
4.
Calculer le nombre moyen de livres prêtés, par jour, durant cette semaine de cinq jours.
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Partie B :
Sur une année, on propose au public deux types de tarifs pour l'emprunt de livres dans une bibliothèque :
le tarif plein : 0,90 euro par livre emprunté.
le tarif « abonné » : cotisation annuelle de 10 euros à laquelle s'ajoute 0,50 euro par livre emprunté.
1.
Reproduire et compléter le tableau suivant :
nombre de livres empruntés pendant l'année 10 20 50 100
prix payé au tarif plein (en euros)
prix payé au tarif « abonné » (en euros)
18
15
Quel est le prix payé, en euros, pour l'emprunt de 35 livres :
2.
Avec le tarif plein ? Justifier.
3.
Avec le tarif «abonné» ? Justifier.
On note : x le nombre de livres empruntés sur l'année ;
P(x) le prix payé pour l'emprunt de x livres au tarif plein ;
A(x) le prix payé pour l'emprunt de x livres au tarif « abonné ».
4.
Exprimer P(x) et A(x) en fonction de x.
5.
Résoudre l'équation : 0,9x = 0,5x + 10.
6.
Que représente la solution trouvée pour une personne empruntant des livres à la bibliothèque ?
Exercice 101
On donne x = 72 et y = 98 .
1) Ecrire x et y sous la forme a b (a et b entiers, a étant le plus grand entier possible).
2) Ecrire sous la forme la plus simple possible x 2 − y 2 et x + y .
Exercice 102
2 x + 3y = 5,5
On considère le système suivant : 
3x + y = 4,05
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1.
Le couple ( x = 2; y = 0,5) est-il solution de ce système ?
2.
Résoudre le système d'équations.
3.
A la boulangerie, Anatole achète 2 croissants et 3 pains au chocolat : il paie 5,50 €. Béatrice achète 3
croissants et 1 pain au chocolat et paie 4,05 €. Quel est le prix d'un croissant ? Quel est le prix d'un pain
au chocolat ?
John Wallis (23 novembre 1616 - 28 octobre 1703)
John Wallis est un des grands mathématiciens anglais du XVIIè siècle. Fils
du recteur d'Ashford, il est doué pour les études et apprend les langues
anciennes et la théologie. Il ne découvre les mathématiques qu'à l'âge de
15 ans dans les livres de son frère. Après des études à Cambridge
entreprises en 1632, il est ordonné prêtre en 1640 et gagne sa vie
comme aumônier privé à Londres.
La Grande-Bretagne est alors déchirée par une guerre civile qui oppose
les puritains, favorables à l'instauration d'un régime parlementaire, et les
royalistes. Wallis sert comme cryptographe au service des puritains,
déchiffrant les messages secrets des royalistes. Il reste toutefois modéré
dans cet engagement (par habileté politique?) condamnant par exemple l'exécution de Charles I en 1648.
En 1649, après avoir perfectionné ses connaissances en mathématiques dans les livres d'Oughtred, il
accède à la chaire de géométrie d'Oxford qu'il occupera jusqu'à sa mort. Wallis est surtout réputé pour
avoir perfectionné la méthode des indivisibles de Cavalieri, ouvrant ainsi la voie au calcul infinitésimal de
Newton. Dans son traité Arithmetica infinitorum paru en 1656, il calcule l'aire entre la courbe
d’équation y = x m , l'axe des abscisses et la droite x = 1 . Il le fait correctement quand m est entier ou
l'inverse d'un entier, et il conjecture le résultat pour un rationnel. Il tente également d'établir l'aire d'un
quart de cercle, ce qu'il réussit par une méthode d'interpolation et le conduit à la formule qui porte son
nom pour pi :
π = 2×
2.2.4.4.6.6...
3.3.5.5.7.7.9.9...
Wallis a par ailleurs étudié les coniques (qu'il définit comme courbe du second degré et non plus comme
intersection d'un cône et d'un plan), et a introduit le symbole ∞ . Ses travaux sur l'histoire des
mathématiques (les premiers à être écrits en anglais) sont également intéressants. Membre fondateur de
la Royal Society de Londres, Wallis s'intéressa aussi à la logique, à la théologie, à la grammaire anglaise et
à la philosophie.
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Correction des exercices 91 à 102
Exercice 91
1.
A=
13 4 5 13 × 2 4 5 26 − 20 6
− × =
− × =
= =1
3 3 2 3× 2 3 2
6
6
2.
B=
7 × 1015 × 8 × 10 −8 56
112
= × 1015−8−( −4 ) =
× 1011 = 11,2 × 1011 = 1,12 × 1012
−4
5 × 10
5
10
3.
C = 4 7 − 8 28 + 700 = 4 7 − 8 22 × 7 + 7 × 102 = 4 7 − 16 7 + 10 7 = −2 7 .
4.
(4
)
2
5 + 2 = 16 × 5 + 16 5 + 4 = 84 + 16 5
Exercice 92
831 − 532 299
=
84
84
1.
Donner un arrondi au centième du nombre A tel que :
3,56
2.
3,7 heures = 3 heures + 0,7 heures . Pour déterminer le nombre x de minutes, on pose :
0,7 x
=
⇔ x = 0,7 × 60 ⇔ x = 42 . On en déduit 3,7 heures = 3 heures + 42 minutes
1 60
53 32 53 × 85 − 32 × 51 2873
−
51 × 85 85 × 51 4335 2873 34
3. B = 51 85 =
=
=
×
63
63
63
4335 63
34
34
34
4.
Calculer à 0,01 près C =
83 + 167
250
=
158
158
0,358
1,26
Exercice 93
6209 = 4435 × 1 + 1774 , 4435 = 1774 × 2 + 887 , 1774 = 887 × 2 . On en déduit que
PGCD ( 6209;4435 ) = 887 .
1.
2.
PGCD ( 6209;4435 ) ≠ 1 donc la fraction
3.
4435 887 × 5 5
=
= .
6209 887 × 7 7
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4435
n'est pas irréductible.
6209
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Exercice 94
1.
5 7 9 5 × 4 7 9 20 − 63
43
5 7 3 × 3 5 21 20 − 63
43
A= − × =
− × =
=−
ou A = − ×
= − =
=−
3 3 4 3× 4 3 4
12
12
3 3
4
3 4
12
12
2.
B = 45 − 12 5 = 32 × 5 − 12 5 = 3 5 − 12 5 = −9 5
Exercice 95
1.
A = ( 2 x − 3) − ( 4 x + 7 )( 2 x − 3 ) = 4 x 2 − 12 x + 9 − 8 x 2 + 12 x − 14 x + 21 = −4 x 2 − 14 x + 30
2
On reconnaît l’identité remarquable ( a − b ) = a2 − 2ab + b2 avec a = 2 x et b = −3 .
2
2.
A = ( 2 x − 3)( 2 x − 3 ) − ( 4 x + 7 )( 2 x − 3 ) = ( 2 x − 3 )( 2 x − 3 − 4 x − 7 ) = ( 2 x − 3 )( −2 x − 10 )
3.
(2 x − 3)( −2 x − 10 ) = 0 or un produit de facteurs est nul ssi un des facteurs est nul
{ }
3
2x − 3 = 0
2x = 3
x=
3
⇔
⇔
⇔
2 . On en déduit S = −5; .
−2 x − 10 = 0
−10 = 2 x
2
x = −5
Exercice 96
1.
5 15
5 4
5 2 ×2
2 4
A =2− ÷ =2− × =2− ×
=2− =
2 4
2 15
3 3
2 3× 5
2.
B=
3.
B = 1,5 × 106
4.
C = 2 45 + 3 20 − 10 5 = 2 32 × 5 + 3 22 × 5 − 10 5 = 6 5 + 6 5 − 10 5 = 2 5
2,5 × 10−3 × 9 × 105 25 × 9
5 × 5 × 3 ×3
=
× 105−3−( −4 ) =
× 10 5−3−( −4 ) = 1,5 × 106 = 1500000
−4
15 × 10
15 × 10
3 × 5 ×2× 5
Exercice 97
1.
675 = 33 × 52 , 375 = 3 × 53 ,on en déduit PGCD ( 675;375 ) = 3 × 52 = 75
2.
675 75 × 9 9
=
= .
375 75 × 5 5
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Exercice 98
1.
E = ( x − 3 ) + ( x − 3 )( x + 3) = x 2 − 6 x + 9 + x 2 − 9 = 2 x 2 − 6 x
2
On reconnaît l'identité remarquable ( a − b ) = a2 − 2ab + b2 avec a = x et b = 3 .
2
2.
E = ( x − 3 ) + ( x − 3 )( x + 3) = ( x − 3 )( x − 3) + ( x − 3 )( x + 3) = ( x − 3 )( x − 3 + x + 3) = 2 x ( x − 3)
3.
Pour x = 5, E = 2 × 5 ( 5 − 3 ) = 20 .
4.
x (x - 3) = 0 un produit de facteurs est nul ssi un des facteurs est nul ⇔
2
x =0
x −3=0
⇔
x=0
x =3
. On en déduit
que S = {0;3} .
Exercice 99
Soit x le nombre d’années nécessaires. On cherche 26 + x = 2 (11 + x ) ⇔ 26 + x = 22 + 2 x ⇔ x = 4 .
Vérifions : Dans quatre ans Marc aura 15 ans et Pierre 30 ans.
Exercice 100
1.
121
× 100 33 . Donc 33 % des livres sont prêtés le mercredi.
365
2.
Il a tord car 0,25 ≠ 0,33 .
3.
Le nombre total de livres prêtés sur la semaine entière est de 365.
4.
Le nombre moyen de livres prêtés, par jour, durant cette semaine de cinq jours est
365
= 73 livres.
5
Partie B :
1.
nombre de livres empruntés pendant l'année 10 20 50 100
Prix payé au tarif plein (en euros)
9
18 45
90
Prix payé au tarif « abonné » (en euros)
15 20 35
60
Quel est le prix payé, en euros, pour l'emprunt de 35 livres :
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2.
Avec le tarif plein : 0,9 × 35 = 31,5 euros
3.
Avec le tarif «abonné» : 0,5 × 35 + 10 = 27,5 euros.
4.
P ( x ) = 0,9 x et A ( x ) = 0,5x + 10 . P est une fonction linéaire et A est une fonction affine.
5.
0,9 x = 0,5x + 10 ⇔ 0,4 x = 10 ⇔ x =
6.
Une personne empruntant 25 livres payera la même somme avec les deux tarifs.
10
⇔ x = 25
0,4
Exercice 101
1.
x = 72 = 62 × 2 = 6 2 et y = 98 = 72 × 2 = 7 2
2.
x 2 − y 2 = 72 − 98 = −26 et x + y = 6 2 + 7 2 = 13 2 .
Exercice 102
1.
2 × 2 + 3 × 0,5 = 4 + 1,5 = 5,5
donc le couple ( x = 2; y = 0,5) n’est pas solution.

 3 × 2 + 0,5 = 6 + 0,5 ≠ 4,05
4.
Par substitution
2 x + 3y = 5,5 2 x + 3 ( 4,05 − 3x ) = 5,5 2 x + 12,15 − 9 x = 5,5  −7 x = −6,65
 x = 0,95
⇔
⇔
⇔
⇔

y = 4,05 − 3x
y = 4,05 − 3x
3x + y = 4,05 

y = 4,05 − 3x
 y = 1,2
5.
Le prix d'un croissant est de 0,95 euro et celui d'un pain au chocolat est de 1,2 euros.
Si tu as fais tous ces exercices : BRAVO !!!!!
La classe de seconde est la prolongation de celle de troisième, si tu travailles régulièrement nul doute que
tu réussiras !
Ce passeport est très technique, libre à toi d’explorer d’autres pistes pour faire des mathématiques :
énigmes, sudokus…
Pour finir : Mon chouchou (...avec Euler)
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collège Vaïmoana
Carl Friedrich Gauss (30 avril 1777 - 23 février
1855)
Carl Friedrich Gauss, né le 30 avril 1777 à Brunswick, est considéré par ses
pairs comme le prince des mathématiciens. Il est à la fois le dernier des
classiques, et le premier des modernes, c'est-à-dire qu'il a résolu les
problèmes les plus classiques avec les méthodes les plus modernes. Par
exemple, il démontra comment partager une tarte en 17 parts égales à
l'aide des seuls règle et compas, ce qui était un problème ouvert depuis
les grecs. Mieux, il démontra pour quels nombres ce partage en parts
égales est possible.
Gauss était un génie particulièrement précoce : à 5 ans, le maître demandait de calculer 1 + 2 + ... + 100 , et
Gauss inscrivit immédiatement le résultat sur son ardoise : ce n'est pas qu'il fut un génial calculateur, mais
il avait trouvé une formule générale pour calculer de telles sommes. A l'université, à 19 ans, il fut le
premier à démontrer la loi de réciprocité quadratique, ce que ni Euler, ni Legendre n'avaient réussi. Au
cours de sa vie, il en donnera huit preuves!!! Parmi ses autres prouesses, on peut citer la démonstration
du théorème fondamental de l'algèbre, dans sa thèse de doctorat en 1799, l'invention de la théorie des
congruences...
Le génie de Gauss se manifesta dans d'autres domaines : on lui doit d'importants travaux en électricité, en
optique, en théorie du potentiel. Ainsi, le "gauss" est devenu l'unité d'induction magnétique.
Il acheva sa carrière de mathématicien en 1849, à l'occasion d'un jubilé en son honneur. Peu à peu, sa
santé se détériore, et il meurt à Göttingen le 23 février 1855 pendant son sommeil.
Théorème de Gauss
Théorème : Soient a, b et c des nombres entiers tels que a et b sont premiers entre eux, et a divise bc.
Alors a divise c.
Ce théorème est une conséquence facile de l'identité de Bézout. En effet, puisque a et b sont premiers
entre eux, il existe deux entiers u et v tels que au + bv = 1 .
On multiplie cette identité par c, et on utilise que a bc en écrivant bc = ka . On obtient : a ( uc + kv ) = c ce
qui signifie exactement que a divise c.
Année 2012
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M. BOUCHE Patrick
Passeport : troisième - seconde
Année 2012
collège Vaïmoana
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