2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de charges. Comment calculer des champs électriques en utilisant des techniques d’intégration simples? Dans plusieurs situations , les champs électriques sont produits par des tiges, des sphères , des anneaux ou des plans chargés. Notre tâche va consister à calculer le champ électrique autour de ces objets en différents points de l’espace? Pour quelles raisons devons-nous calculer ces champs? Pour déterminer la force électrique exercée par ces champs sur des particules chargées et prédire leurs mouvements d’une part et d’autre part pour calculer les différences de potentiel en différents points autour de ces objets et prévoir ainsi les effets électriques. 1 2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de charges ( Calcul intégral) Pour déterminer la force électrique exercée par ces champs sur des particules chargées et prédire leurs mouvements d’une part et d’autre part pour calculer les différences de potentiel en différents points autour de ces objets et prévoir ainsi les effets électriques. Comment allons-nous faire ? Nous allons procéder par sommation, autrement dit , par calcul intégral. En fait, pourquoi devons-nous procéder par calcul intégral? 2 2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de charges ( Calcul intégral) En fait, pourquoi devons-nous procéder par calcul intégral? Parce que chaque objet peut-être décomposé en petites parties et que chaque petite partie produit un petit champ électrique. dq dE De façon simple, l’intégration consiste à faire la sommation sur un très grand nombre de petits termes dE 3 2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de charges ( Calcul intégral) Calculons le champ électrique à une distance « d= 10 cm » de l’extrémité droite d’une tige de 10 cm de longueur uniformément chargée de 5,0 mC. Forme des lignes de champ autour de la tige. d 4 2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de charges ( Calcul intégral) Commençons par calculer le champ comme si toute la charge était concentrée au centre 5,0 mC ,15 m E1 Nous aurions alors le champ produit par une charge ponctuelle kq 9 x10 9 5,0 x10 6 6 E1 2 2 , 000 x 10 N/C 2 r ,15 approximatif 5 2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de charges ( Calcul intégral) En divisant la tige en deux 2,5 mC 2,5 mC a b E2 ,125 m ,175 m Nous aurions alors le champ produit par deux charges ponctuelles kq 9 x10 9 2,5 x10 6 6 E2a 2 1 , 444 x 10 N/C 2 r ,125 kq 9 x10 9 2,5 x10 6 6 E 2b 2 0 , 7347 x 10 N/C 2 r ,175 E E2a E2b 2,1747 x10 6 N/C approximatif 6 2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de charges ( Calcul intégral) En divisant la tige en cinq 1,0 mC 1,0 mC a b c d e E5 Nous aurions alors le champ produit par cinq charges ponctuelles kq kq kq kq kq E5 2 2 2 2 2 2,237 x10 6 N/C ra rb rc rd re E5 E5 a E5b E5c E5d E5e 2,237 x10 6 N/C approximatif En divisant en 50 kq 2 r i 1 i 50 E50 2,245 x10 6 N/C Pour avoir une valeur exacte ….??? approximatif 7 2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de charges ( Calcul intégral) La valeur exacte du champ résultant sera la somme infinie , autrement dit, l’intégrale des champs de chacune des petites charges « dq » placées à différentes valeurs de « x » E x dE x dq dq dq dq dq dq kdq x2 dq dE dE dE dE dE dE x Chacun des éléments de charge dq est considéré comme une charge ponctuelle. Chaque élément de charge produit un élément infinitésimal de champ donné comme nous l’avons vu par : kdq kdq dE 2 2 r x N/C 8 dq dE dE dE dE dE dE x Chacun des éléments de charge dq est considéré comme une charge ponctuelle. Chaque élément de charge produit un élément infinitésimal de champ donné comme nous l’avons vu par : kdq kdq dE 2 2 r x N/C Pour trouver le champ électrique total, il faut faire la somme ( l’intégrale ) de tous les éléments dE, en tenant compte de la nature vectorielle du champ, on écrira : Ex dEx 9 dq dE dE dE dE dE dE x kdq kdq dE 2 2 r x N/C Pour trouver le champ électrique total, il faut faire la somme ( l’intégrale ) de tous les éléments dE, en tenant compte de la nature vectorielle du champ, on écrira : Ex dEx E x dE x kdq x2 Pour trouver la solution, nous utiliserons une technique d’intégration Mais avant que manque-t-il? 10 dq dE dE dE x Il faut transformer les dq en dx puisque c ’est la position « x » des dq qui varie lorsque l ’on fait la somme des dEx Étant donné que la tige est chargée uniformément, on procède de la façon suivante, Où la densité linéique de On peut écrire charge est l C/m ( lambda) Q lL Q dq L dx On obtient l Q dq dq L dl dx d ’où dq = l dx dx élément de longueur 11 Reconsidérons la tige ayant une longueur de 10,0 cm et portant une charge de 5,0 mC répartie uniformément sur toute sa longueur. On demande de déterminer le champ électrique résultant à 15,0 cm du centre de la tige ou à 10 cm de l’extrémité droite. 0,15 Situation 0,10 dq dE dE dE x Problème : Je cherche la valeur de E à 10 cm de l’extrémité droite 12 Solution possible: J’utilise l’intégrale et l’expression du champ d’une charge ponctuelle. Ex dEx E dE Pour un élément de charge dq, nous aurons kdq kdq dEx 2 2 r x N/C 0,10 0,10 dq dE dE dE x Quelle sera la variable d ’intégration ? 13 0,10 0,10 dq dE dE dE x C ’est la position « x » des dq qui varie lorsque l ’on fait la somme des dEx Nous avons donc maintenant une relation entre les dq et les dx les éléments de longueur afin de calculer l’intégrale. kdq kldx dE x 2 2 r x kldx Ex 2 x Il faut la même variable partout pour utiliser les techniques d’intégration 14 0,10 0,10 dq dE dE dE x C ’est la position « x » des dq qui varie lorsque l ’on fait la somme des dEx Nous avons donc maintenant une relation entre les dq et les dx les éléments de longueur afin de calculer l’intégrale. kdq kldx dE x 2 2 r x kldx Ex 2 x Nous pouvons procéder maintenant et utiliser les techniques d’intégration 15 0,10 0,10 dq dE dE dE x est la variable de position x kldx Ex 2 x a b kdq kdq dE 2 2 r x N/C N/C Il nous reste à placer les bornes d’intégration , 20 Ex k ,10 ldx x 2 dx kl 2 ,10 x , 20 n 1 x n x dx (n 1 ) sauf ( n -1 ) 0 , 20 1 E x kl x 0 ,10 16 + + + + + + + + + + E 0 , 20 On obtient 1 E x kl x 0 ,10 1 1 E x kl ( )( ) 0,10 0,20 1 2 E x kl ( )( ) 0 , 20 0 , 20 1 E kl ( ) 0,20 Avec les chiffres x 5,0 x10 1 E 9 x10 x ( ) 0,10 0,20 6 9 x Finalement E 2,25 x10 x 6 N/C 17 Résultat probable : D’après mes calculs, le champ électrique à 15 cm du centre de la tige est donné par : E 2,25i MN/C Justification : Nous avons procédé par intégration, à partir du champ produit par une charge ponctuelle. 0,15 E La force électrique qui s’exercerait sur une charge q placée à cet endroit sera donnée par : F qE 18