NOM : Terminale E.S. Devoir n° 3 Mardi 18 novembre 2014

NOM :
Terminale E.S.
Devoir n° 3
Mardi 18 novembre 2014
Exercice 1.
sur 2 points
Répondre directement sur cette feuille. Aucune justification n’est attendue.
On donne ci-dessous le tableau de variations d’une fonction f définie, continue et dérivable sur [2 ; 15]
x
2
variations
de f
-20
3
6
10
15
4
-1
1) Quel est le signe de f  (x) sur l’intervalle ]10 ;15[ ?
2) Donner une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 3.
3) Combien y a-t-il de points d’intersections entre la courbe et l’axe des abscisses ?
4) Quel est le nombre de solutions de l’équation f(x) = 5 dans [2 ;15] ?
5) On définit une fonction g sur [2 ;15] par g ( x)   f ( x)  . Combien l’équation g(x) = 4 a-t-elle de solutions dans
2
l’intervalle [2 ;15]
Pour les autres exercices, rédigez sur copie en justifiant soigneusement
Exercice 2.
On donne ci-dessous la représentation graphique Γ d’une fonction f
sur 3 points
La courbe Γ passe par les points A(0 ; 2) et C(−2 ; 0) et la droite (AB) est la tangente en A à Γ. La tangente à Γ en son
point D d’abscisse −1 est parallèle à l’axe des abscisses.
1) Déterminer, à l’aide des renseignements fournis par l’énoncé, les valeurs de f (0), de f ′(0) et de f  (– 1).
2) Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, une représente la fonction dérivée f ′ de f et une autre représente
une fonction h telle que h′ = f sur R. Déterminer la courbe associée à Ia fonction f ′ et celle qui est associée à la fonction h.
Vous expliquerez avec soin les raisons de votre choix
Exercice 3.
sur 3 points
Soit f la fonction définie sur  par f ( x)  4 x  3x²  2 x  1
3
1) Dresser le tableau de variations de f
2) Calculer f(– 1) et f (0)
3) Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une solution unique  sur 
4) Donner un encadrement d’amplitude 10-3 de 
5) Déduire des questions précédentes le tableau de signes de f(x)
Exercice 4.
Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant :
1) La fonction x
 x est croissante sur 
2) La fonction x
0.5x est négative sur 
sur 3.5 points
3) 123 456 789 654 321 0 = 0
4) 1,53,2 1,52,8  1,56
5) 23 x  8x pour tout x
6) a 5  a5 pour tout réel a > 0
7)
32 x
 3x pour tout réel x
32
Exercice 5.
sur 3 points
x ²  11x  28
Soit f la fonction définie sur  \ {3} par f ( x) 
.
x3
x²  6 x  5
1) Calculer f  (x) et vérifier que f ( x) 
( x  3)²
2) Etudier le signe de f  (x)
3) En déduire le tableau de variations de f
4) Soit A le point de la courbe de f dont l’abscisse est 2 et soit (T) la tangente à la courbe en A. Déterminer une
équation de (T).
Exercice 6.
sur 2.5 points
L’entreprise CoTon produit du tissu en coton. Celui-ci est fabriqué en 1m de large et pour une longueur x exprimée en
km, x étant compris entre 0 et 10.
Le coût total de production, en euros, de l’entreprise est donné en fonction de la longueur x par la formule :
C ( x)  15x3  120 x2  500 x  750 .
Le prix du marché pour 1 km de ce tissu est égal à 680 euros.
On note B(x) le bénéfice réalisé par cette entreprise, lorsqu’elle fabrique et vend x km de ce tissu.
1) Montrer que la fonction C est croissante sur [0 ;10]
2) Justifier que B( x)  15x3  120 x²  180 x  750
3) Pour quelle quantité produite et vendue, le bénéfice est-il maximal ?
Exercice 7.
Soit (un) la suite définie par u0 = 25 et un+1 = 1,04un + 32
1) Calculer u1 et u2 en détaillant les calculs.
2) A l’aide de la calculatrice, conjecturer la limite de la suite (un) quand n tend vers + 
3) Soit (vn) la suite définie par vn = un + a où a est un nombre réel.
a) Déterminer le nombre a tel que (vn) soit une suite géométrique
b) Justifier la conjecture faite au 2°
sur 3 points
Corrigé de l’exercice 1.
Les explications (en bleu) n’étaient pas demandées.
1) Quel est le signe de f  (x) sur l’intervalle ]10 ;15[ ? plus
La fonction est croissante donc sa dérivée est positive
2) Donner une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 3. y  6
En ce point la tangente est horizontale
3) Combien y a-t-il de points d’intersections entre la courbe et l’axe des abscisses ? 3
L’équation f(x) = 0 a trois solutions
4) Quel est le nombre de solutions de l’équation f(x) = 5 dans [2 ;15] ? 2
f prend la valeur 5 en allant de – 20 à 6 puis de nouveau en allant de 6 à – 1. C’est la propriété des
valeurs intermédiares.
5) On définit une fonction g sur [2 ;15] par g ( x)   f ( x)  . Combien l’équation g(x) = 4 a-t-elle de
solutions dans l’intervalle [2 ;15] 4
2 points
0.25
0.25
0.5
0.5
2
 f ( x) 
2
0.5
 4  f ( x)  2 ou f ( x)  2 . L’équation f(x) = 2 a 3 solutions ; l’équation f(x) = – 2 a une
solution.
Corrigé de l’exercice 2
3 points
1) f(0) = 2 car la courbe passe par A(0 ; 2) ; f  (0) = – 1 c’est le coefficient directeur de (AB) ;
f (1)  0 car la tangente en D est horizontale.
2) Des variations de f on déduit le signe de sa dérivée f  :
x
-1
–
+
variations
f(–1)
de f
+ 0
–
signe de f  (x)
La courbe associée à la fonction f’ est la courbe 1 (seule courbe correspondant à ce tableau de
signes)
Du signe de f = h’ on déduit les variations de h.
x
-2
–
+
signe de h’(x)
0
+
variations
de h
La courbe associée à la fonction h est la courbe 3 (seule courbe correspondant à ce tableau de
variations)
Corrigé de l’exercice 3
Soit f la fonction définie sur  par f ( x)  4 x3  3x²  2 x  1
1.
0.25 0.5
0.25
1
1
3 points
f ( x)  12 x²  6 x  2 : polynôme du second degré  = -60. Pas de racine et a > 0
x
-
+
–1 
0
signe de f  (x)
+
variations
de f
1
1
0
-2
2. f(– 1) = - 2 et f(0) = 1
3. D’après le tableau de variations ci-dessus et la propriété des valeurs intermédiaires, l’équation
f(x) = 0 a une unique solution  dans .
0.25
4. Avec la calculatrice, on obtient : - 0.606 <  < - 0.605
5. On déduit :
x
-

0.5
signe de f(x)
–
0
+
0.5
0.75
Corrigé de l’exercice 4
1) La fonction x  x est croissante sur  : vraie car π > 1
2) La fonction x
3.5 pts
0.5x est négative sur  : faux car toutes les fonctions exponentielles sont
strictement positives sur 
0.5 par
question
3) 123 456 789 654 321 0 = 0 : faux car a 0 = 1 pour toutes les valeurs de a non nulles
4) 1,53,2 1,52,8  1,56 vrai car on additionne les exposants
5) 23 x  8x pour tout x : vrai car 23 x   23   8x
x
6) a 5  a5 pour tout réel a > 0 : faux car par définition, a 5 
7)
1
a5
32 x
32 x
x
2 x  2 n'est pas égal à x

3
pour
tout
réel
x
 32 x 2
2
32
: faux car 3
et
Corrigé de l’exercice 5
Soit f la fonction définie sur  \ {3} par f ( x) 
3 points
x ²  11x  28
.
x3
u
avec u  x²  11x  28 et v  x  3 d’où u '  2x  11 et v '  1
v
(2 x  11)( x  3)  1( x²  11x  28) 2 x²  6 x  11x  33  x²  11x  28 x²  6 x  5
f ( x) 


2
2
2
 x  3
 x  3
 x  3
2. Eude du signe de f  (x) :
1. f est de la forme
x²  6 x  5 : polynôme du second degré ;  = 16 ; Deux racines : 5 et 1 ; a > 0
(x – 3)² : un carré est toujours positif ; l’expression s’annule pour x = 3 (« valeur interdite »)
x
1
3
5
-
+
x² - 6x +5
+
0
–
0
+
(x-3)²
+
+
0
+
+
quotient
+
0
–
–
0
+
||
3. On en déduit le tableau de variations de f :
x
1
-
signe de f’(x)
+
0
–
variations
-9
de f
3
–
5
0
1
1
+
+
0.5
–1
4. La tangente à la courbe en A a pour équation : y  f ( xA )  x  xA   f ( xA )
Ici : xA = 2 ; f  (2) = -3 et f(2) = -10
D’où y  3( x  2)  10  3x  6  10  3x  4
La tangente en A a pour équation y  3x  4
Corrigé de l’exercice 6
1. C '( x)  45x²  240 x  500 . Polynôme du second degré :  = – 32 400. Pas de racine et a > 0. On a
donc C’(x) toujours positif et donc la fonction C est croissante sur [0 ; 10]
2. Comme le prix est 680€ pour 1 km la recette est R(x) = 680x et le bénéfice est :
B( x)  R( x)  C( x)  680x  15x3  120 x2  500 x  750  15x3  120 x2  180 x  750
3. On étudie les variations de la fonction bénéfice sur [0 ; 10]
B '( x)  45x²  240 x  180 . Polynôme du second degré :  = 90 000 ; deux racines – 2/3 et 6.
B’(x) est négatif à l’extérieur des racines.
0.5
2.5 pts
1
0.5
D’où :
x
0
6
10
signe de B’(x)
+
0
–
variations
de B
Le bénéfice est maximal lorsque l’entreprise fabrique et vend 6 km de tissu.
1
Corrigé de l’exercice 7
1) u1 = 1.04× 25 + 32 = 58 ; u2 = 1.04×58 + 32 = 92.32
2) On conjecture que lorsque n tend vers + , un tend vers + 
3) vn1  un1  a  1.04un  32  a  1.04(vn  a)  32  a  1.04vn  1.04a  32  a  1.04vn  32  0.04a
Pour que la suite (vn) soit géométrique il faut que 32  0.04a  0 c'est-à-dire a 
32
 800
0.04
On a alors (vn) suite géométrique de raison 1.04 et un = vn – 800
Comme 1.04 > 1, quand n tend vers + , vn tend vers +  et vn – 800 tend aussi vers +  d’où
lim un  
n 
3 points
0.5
0.5
1.5
0.5