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CHAPITRE 4 - Les symétries et les Lois de conservation
4.1 Introduction
a) Les lois de symétrie, et donc les lois d’invariance, sont à la base de la
construction des théories de la physique des particules.
b) Certaines loi d’invariance (p.ex. charge) sont universelles, d’autres sont
brisées sous certaines conditions, par exemple, la parité dans les
interactions faibles. Nous traitons dans cette section les interactions EM
et FORTES (les « faibles » seront traitées plus tard)
c) E. Noether (1882-1935)
- l’invariance d’un système continu entraîne la conservation d’une
propriété physique du système (donc, pour QM, conservation d’un
opérateur quantique).
- dans la mécanique quantique, cela correspond à la commutation de
l’opérateur avec l’Hamiltonien.
p.ex.
symétrie
Loi de conservation
Translation t Energie
Translation x Impulsion
Rotation
Moment cinétique
Opérateur
[Ê, H]  0
[p̂, H]  0
[J3 , H]  0
d) Les invariances peuvent être :
- continues ou discrètes
- les transformations espace temps
internes
jauges
1
4.2 Les transformations espace-temps
4.2.1 Invariance de Translation
a) La physique est inchangée par une opération de symétrie. Donc, si D̂ est
l’opérateur des translations de l’espace :
  D̂ 
b) La probabilité que  soit mesuré en état
2
   '  '
D̂  D  1
2
 doit rester inchangée
2
  D̂  D 
c) L’Hamiltonien reste inchangé
' H  '   D̂ H D̂    H 
H  D̂ H D̂
 D̂, H  0

Maintenant, si

   x 
 '  D̂ x '   x   x 
  x      x    x
p̂  i  
  x   i  x  p̂  x 
Pour n translations
ou  i 
 '  D̂ :  x 
 ei  xp̂   x   ei  xp̂ 
et p̂, H 0
Résultats : invariance de l’Hamiltonien sous les translations
symétrie du groupe des translations
invariance de l’opérateur p̂
Les générateurs
du groupe des
translations
2
4.2.2 Invariance des translations dans le temps t.
Exercice : Démontrez que l’invariance des translations en temps mène à la
conservation de l’énergie.
Ê, H  0
 
4.2.3 Invariance dans les rotations
a) considérons une rotation autour de 3 axes :

R̂  1  i  J 3
  
Puis :  1  R̂  R  1  i J 3  J 3  0  2
J 3  J 3  Hermitien et observable de
mécanique quantique
  '  R̂ 
 x  y, y  x , z 

 
 x    y
x
y 
 x


 1  i  xp y  yp x  x   identification de J3
avec l’opérateur de
moment cinétique
 R ()  e i  J 3 ,
selon l’axe ẑ
et nous pouvons également construire J1, J2, J3.


Dans ce cas : J j , J k  i  jkl J 
J1, J 2   i J3
- dès le cours de mécanique quantique
J2 , J i  0


J 3 j, m  m j, m ; m   j, .....,  j
J 2 j, m  j ( j  1) j, m
3
4.2.3 Invariance sous les rotations (cont.)
b) En général
spin intrinsèque
J  L S
moment cinétique orbital
Pour le spin, nous associons les matrice de Pauli :
1
s 
2
  1, 2 , 3 
   0 1,  0  i , 1 0  
 1 0   i 0   0 1 
 le générateur du
groupe SU (2)
c) J est conservé dans toutes les interactions
d) si nous avons 2 systèmes
jA , m A
jB , m B
J  JA  JB
J  J A  J B , ........J A  J B
M  mA  mB
et en général
J, M 

mAmB
C j1 j2 j  j1 m1
 m1 m 2 m 
j2 , m 2
coefficient de Clebsch-Gordon
(PDG, Halzen et Marten p40)
(Perkins Appendix C)
4
4.2.4 Une invariance discrète
a) Invariante pour les interactions EM et fortes
 
In var iance  P̂, H  0
Aussi
P2 1
et P   P
P est observable, donc
P̂   p 
avec p  valeur / propre
 1
b) Dans le cas  x   R n (r )em , 
 P  x   1  x 
r  r'
  '    
  '    
 p.ex. l' état d'un système
 après désintégra tion 


c) La parité d’un système composite est multiplicatif
Ptot  Pa Pb ....
d) Les vecteurs et les scalaires ont parité
Scaleur
Pseudo  scaleur
Vecteur
Axial vecteur
p(s)  
p( p)   p
p ( )  
p(a )  a
e) Par convention : Parité des quarks
=+1
antiquarks
=-1
(résultat QFT)
parité de p, n = + 1 = (+ 1)3
: Parité des … pseudoscalaires
vecteurs
des mesons ~
 (1)(1)  1
: Pour les état excités,  facteur (1)
: Photon -  - représentation comme vecteur B
P  1
5
4.2.5 Conjugation de charge
a) Invariant pour les interactions EM et fortes
b) C     antipartic ule  p, x inchangés
charge
moment magnétique renversé

Donc, comme la parité,
C2   
C  c 
et
1
c) C tot  CA , CB , ... (multiplicatif)
d) C   1 
e) Pour un système q q  avec moment cinétique e
spin total S
C qq  1s qq
0  
f) Exemple :

C  1 1 1
 0 
 
C   
(EM )
mais
  
4.2.6 Invariance pour Renversement du temps
a) Les invariances C, P et CP sont valides pour les interactions EM et fortes
b) Pour le cas des interactions faibles, C, P et CP sont brisés (voir chapitre
…). Mais basé sur les principes de QM, on a montré l’impossibilité de
construire un théorie de champs quantique pour lequel TCP sera brisé.
Donc, - TCP invariant pour toutes interactions
- T brisé pour les interactions faibles
conséquences
particules antiparticules
mm
qq
q   q
6
4.2.6 Invariance pour le renversement du temps
c) Si le système est T-invariant :
T
 'x, t  x, t    'x, t   'x, t   x,  t  x,  t 
dans ce cas : t   t
p  p
et j   j
E E
B  B
pour une particule libre
  ei px eiEt
  ei px eiEt
  * x ,  t 
 T̂  x, t 
Donc, T̂   i 
d) Dans les interactions fortes et EM en reversement de T même au
«Principal of Detailed Balance »
  24 Mg
( 5 10 4 )
e.g.
p 27 A
e.g.
moment électrique dipolaire du neutron
EDM  10 25 e cm
7
4.3 Les invariances Intrinsèques
Par exemple : Conservation du nombre quantique
Quantité
Conservée
# leptonique (L)
# baryonique
I (isospin)
S (étrangeté)
C (charm)
FORTE
EM







x


leptonique
baryonique
étrangeté
isospin
FAIBLE


x
x (I  1 ou 1 )
x ( S  0,1) 2
( C  0,1)
4.3.1 ISOSPIN
proton
a) Heisenberg a proposé que le
était 2 états de la même particule
neutron
(nucléon)
Par une analogie avec spin, on peut écrire
p 
1 1
,
2 2
 I, I3
SU(2)
1 1
,   I, I3
2 2
b) Dans le contexte du modèle des quarks, on assigne
n 
1 1
,
2 2
1 1
d  ,
2 2
u 
c) Si nous ajoutons 2 nucléons :
1, 1  pp
1
1,0 
pn  np
2
1,1  nn

1
0,0 
pn  np
2
Gellmann-Nishijima
1
Q  I3  (B  S)
2
expérimentalement : aucun état
lié de pp ou nn
: deutéron est singlet
8
4.3.1 ISOSPIN (cont.)
Exemples :
a )  p   p
c)   p    p
e) 0 n  0 n
b ) 0 p   0 p
d )  n   n
f )  n   n
("élastique ")
g )   n  0 p
i ) 0 n    p
h ) 0 p    n
j)  p  0n
("échange de charge")
Nous avons :
  1,1
0  1,0
  1,1
p 
n 
 p : 1,1
1 1
,
2 2

0 p : 1,0
1 1
,
2 2

2 3 1
1 1 1
, 
,
3 2 2
3 2 2
1 1
,
2 2

1 3 1
2 1 1
,

,
3 2 2
3 2 2
 n : 1,1
1 1
,
2 2

1 3 1
2 1 1
, 
,
3 2 2
3 2 2
0 n : 1,0
1 1
,
2 2

2 3 1
1 1 1
,

,
3 2 2
3 2 2
 p : 1,1
1 1
,
2 2
1 1
,
2 2
 n : 1,1
Puis :
a, f
:
I
3
2
3 3
,
2 2
1 1
3 3
,
 ,
2 2
2 2
M a  M f  M3
1
2
M c  M 3  M1 etc.
3
3
2
a : c :  j  q M32 : M3  2M1 : 2 M3  M1
2
Section 6 : nous verrons les symétries SU(3) pour la saveur.
9
4.4 La conservation de charge et invariance de JAUGE
a) Nous faisons l’hypothèse que la charge est exactement conservée. Les
meilleures limites expérimentales sont pour la désintégration du neutron.
n  p  e e
 9 10 24

n  p e e
n  p  e e   1018 ans
b) La conservation de charge est associée avec l ’invariance de jauge. La
manière plus facile de le montrer est d’utiliser le formalisme de Lagrange
pour la théorie quantique de champs.
- Classique : L = T - V
T = énergie cinétique
V = énergie potentielle
d  L  L
0


dt  q i  qi
qi  coordonnées généralisé es
q i  dqi / dt
- Extension à un système ayant des coordonnées x , t 
 

Lqi , q i , t   L ,
, x  
  x

 L
L 
L
0


 x     /  x u    
...
Equation d’Euler-Lagrange
L est la densité Lagrangienne

3
L  Ld x
- Invariance
L est inchangé.
10
4.4 (cont.) La conservation de charge
c) La transformation de jauge pour EM classique
- si nous écrivons
A   V ,
A
B  A
E  V 
A
t
- les valeurs du champ E ou B seront invariantes sous les transformations
B  A '  A  
V  V'  V 


t
ou A  A '  A    

- nous identifions, dans la mécanique quantique, A avec le champ du
photon.
d) Lagrangien d’un champ scalaire, 
- si on ajoute L 

1
1

*  m2 * dans ,
2
2
2
on obtient     m   0
(équation de Klein - Gordon)
- si le potentiel change la phase des champs de matière,
x   'x   eiQ x ;   x 
donc
Q x    e  x 
opérateur
états propres
11
4.4 (cont.) La conservation de charge
e)
L 

L
L
L
 
  
  *
*

  
  


Si   1  iQ ,
L 
L
L
ie ........

ie 

   
 L
 L 
 L 
   ie  
 ie     
   ......
   
    
 
0
à cause de 
 L
L 
 ie   
  *

   * 
   


0  si L  0


- si on écrit j  ie *       * ,  m  0
  j  0  j sera conservé
12