énoncés géométriques

Quelques
énoncés
de Géométrie
Euclidienne
Euclide, est un mathématicien de la
Grèce antique,
il est possible qu'il ait vécu vers 300
avant notre ère.
Son ouvrage le plus célèbre, les
Éléments, est un des plus anciens
traités connus présentant de manière
systématique, à partir d'axiomes et de
conjectures , un large ensemble de
théorèmes accompagnés de leurs
démonstrations.
Il porte sur la géométrie, tant plane
que solide, et l’arithmétique
théorique. L'ouvrage a connu des
centaines d’éditions en toutes langues
et ses thèmes restent à la base de
l’enseignement des mathématiques au
niveau secondaire dans de nombreux
pays.
Du nom d’Euclide, dérivent en
particulier la géométrie euclidienne
un axiome était une affirmation qu‘on considère comme
évidente et qui n'a nul besoin de preuve.
En mathématiques, une conjecture est un énoncé pour lequel
on ne connaît pas encore de démonstration, mais que l'on
soupçonne d'être vrai, en l'absence de contre-exemple.
Une conjecture peut être choisie comme hypothèse pour
étudier d'autres énoncés.
Dans le langage courant, on désigne comme une conjecture, une
hypothèse qui n'a encore reçu aucune confirmation.
Une des activités de la géométrie consiste à démontrer certains faits
concernant les situations géométriques.
En général, on essaie de déduire certaines mesures d’angles ou de
segments dans des figures.
Chaque affirmation doit être accompagnée d’une preuve c’est-à-dire
d’une justification.
Ces preuves ( justifications ) sont des énoncés qui ont déjà été démontrés
par d’autres mathématiciens auparavant.
On peut donc les utiliser afin de prouver nos affirmations.
A
Exemple:
?
Dans le triangle suivant, que vaut la
mesure de l’angle A ?
400
B
C
Sachant que la mesure de l’angle B vaut 900 et que la mesure de l’angle C vaut 400 ,
on peut affirmer que la mesure de l’angle A est 500 .
La mesure de l’angle A peut être déduite car on peut le prouver par l’énoncé:
« La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle est 1800 .»
Voici une liste d’énoncés qui te sera utile dans ton travail.
Une bissectrice est une droite divisant un angle en deux
angles isométriques.
Une médiatrice est un segment élevé
perpendiculairement sur le milieu d’un autre segment.
Une médiane est un segment joignant un sommet et le
milieu du côté opposé.
Une hauteur est un segment abaissé d’un sommet
perpendiculairement sur le côté opposé.
Des angles adjacents sont des angles qui ont le même
sommet, un côté en commun et qui sont situés de chaque
côté de ce côté commun.
A
Des angles adjacents qui ont leurs côtés extérieurs
perpendiculaires sont complémentaires.
m  ABC + m  CBD = 900
C
B
D
C
Des angles adjacents qui ont leurs côtés extérieurs
en ligne droite sont supplémentaires.
m  ABC + m  CBD = 1800
A
B
D
Des angles opposés par le sommet sont des angles
qui ont le même sommet et dont les côtés de l’un
sont les prolongements en ligne droite des côtés
de l’autre.
Les angles opposés par le sommet sont
isométriques.
m  ABC = m  DBE
D
C
B
A
E
B
La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle est 1800.
m  A + m  B + m  C = 1800
C
A
600
Dans tout triangle équilatéral, les angles mesurent 600.
600
600
B
Dans tout triangle isocèle, les angles opposés aux
côtés isométriques sont isométriques.
Si m  A = m  C alors m AB = m BC
A
C
L’axe de symétrie d’un triangle isocèle supporte une
médiane, une médiatrice, une bissectrice et une hauteur
de ce triangle.
Les axes de symétrie d’un triangle équilatéral supportent
des médianes, des médiatrices, des bissectrices et des
hauteurs de ce triangle.
Dans tout triangle rectangle isocèle, chacun des angles
aigus mesure 450.
450
450
B
Dans tout triangle rectangle, les angles aigus sont
complémentaires.
m  B + m  C = 900
La mesure du côté opposé à un angle de 300 dans un
triangle rectangle est la moitié de celle de
l’hypoténuse.
Dans un triangle rectangle, le carré de la mesure de
l’hypoténuse égale la somme des carrés des mesures
des cathètes.
C
A
8
4
300
a
c
c2 = a2 + b2
b
Les angles opposés d’un parallélogramme sont isométriques.
mA =mC
et m  B = m  D
A
D
Les angles consécutifs d’un parallélogramme
sont supplémentaires.
m  CBA + m  BAD = 1800.
B
C
Les côtés opposés d’un parallélogramme sont isométriques.
m AD = m BC
et
m AB = m DC
Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur
milieu.
m AE = m EC et
D
A
E
m BE = m ED
B
C
Remarque: Le carré, le rectangle et le losange sont des parallélogrammes.
Les diagonales d’un losange se coupent
perpendiculairement et en leurs milieux.
Le carré est un losange.
5
Dans un polygone convexe, les diagonales issues d’un
sommet divisent ce polygone en autant de triangles qu’il y a
de côtés moins deux.
La somme des mesures des angles intérieurs d’un polygone
est égale à autant de fois 1800 qu’il y a de côtés moins
deux : 1800 ( n – 2 ).
Pour un hexagone : 1800 ( 6 – 2 ) = 7200.
5
Le cercle
Circonférence : ligne courbe délimitant un cercle.
Arc : portion de la circonférence.
Corde : segment joignant deux points de la circonférence.
Diamètre : corde passant par le centre du cercle.
Rayon : segment de droite joignant le centre
du cercle à la circonférence.
Tangente : droite qui touche le cercle en un seul point.
Disque : surface intérieure d’un cercle.
Angle au centre : angle formé par deux rayons.
Secteur : portion d’un disque.
Dans un cercle, l'angle au centre a pour mesure la
mesure en degrés de l'arc compris entre ses côtés.
mC
3600
=
m AB
circonférence
A
B
C
A
Dans un cercle, le rapport des mesures de deux
angles au centre est égal au rapport des
mesures des arcs interceptés entre leurs côtés.
m  ACB
m  DCE
=
aire du secteur 2
D
C
m AB
E
m DE
Dans un disque, le rapport des aires de deux
secteurs est égal au rapport des mesures de
leurs angles au centre.
aire du secteur 1
B
=
m  ACB
m  DCE
A
D
C
secteur 2
E
secteur 1
B
Il existe encore beaucoup d’axiomes, d’énoncés et de théorèmes.
D’ici la fin de ton secondaire, tu en découvriras encore plusieurs.
Bien connaître tous ces énoncés permet non seulement de
justifier les affirmations que l’on peut faire mais donne aussi des
pistes de travail dans l’élaboration de notre démarche.