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1 - Programme de Seconde (juin 2009)
Statistique
et probabilités
Statistique
et probabilités
1 - Programme de Seconde (juin 2009)
Statistique
et probabilités
Statistique
et probabilités
2 - Échantillons
2.1
2.1- -Définitions
Définitions
Quand on doit décrire une population comportant
un grand nombre d'individus, on ne peut pas ou on
ne veut pas, en général pour des raisons
économiques, en faire une étude exhaustive.
Les observations ne portent alors que sur un
nombre restreint d'individus à sélectionner selon
un protocole expérimental.
Les individus sélectionnés et leur ordre de
sélection constituent un échantillon, leur nombre
est la taille de l'échantillon.
2 - Échantillons
2.2
prélever
un échantillon
?
2.2- -Comment
Comment
prélever
un échantillon
?
Lors d’une prise de décision à partir d‘un
échantillon, pour que les résultats de la théorie
des probabilités s'appliquent, il est important
que l'échantillon soit prélevé au hasard.
Chaque individu de la population doit avoir la
même probabilité d'être sélectionné.
 échantillon aléatoire.
2 - Échantillons
2.2 - Comment prélever un échantillon ?
Deux types d'échantillons :
– Échantillons exhaustifs ou constitués
sans remise
– Échantillons non exhaustifs ou constitués
avec remise
Le programme de Seconde 2009 ne retient que
ce type d'échantillons : "Un échantillon est
constitué des résultats de n répétitions
indépendantes de la même expérience".
2 - Échantillons
2.3
2.3- -Échantillonnage
Échantillonnage
L'échantillonnage est l'étude des distributions de
fréquences de variables définies sur l’ensemble
des échantillons (proportion, moyenne, variance…).
3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage
3.1 - Un premier exemple
3.1 - Un premier exemple
On considère une population de 4 enfants :
Adeline, Benjamin, Clara et David, d'âges
respectifs 12, 13, 14 et 15 ans et on s'intéresse
aux enfants de plus de 14 ans et demi. Il y en a
une proportion p = 1/4 dans la population-mère.
On constitue (avec remise) des échantillons de
taille 3.
On peut ainsi constituer 43=64 échantillons.
3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage
3.2 – D’autres situations similaires
3.2 – Des situations similaires
 Tirage d’une boule dans une urne contenant 1 boule
blanche et 3 rouges
 Tirage d’une boule dans une urne contenant 100 boules
blanches et 300 rouges
 Lancer d’un dé tétraédrique équilibré et
obtention d'une des faces
 Roue de loterie dont un quart est peint en rouge et le
reste en bleu et obtention du rouge
 …
3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage
3.3 - Exemples
échantillons de taille 3
45%
40%
fréquences
35%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%
0
1/3
2/3
Proportion d'enfants de plus de 14 ans et demi
1
3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage
3.3 - Exemples
échantillons de taille 10
30%
fréquences
25%
20%
15%
10%
5%
0%
0
1/10
2/10
3/10
4/10
5/10
6/10
7/10
8/10
Proportion d'enfants de plus de 14 ans et demi
9/10 10/10
3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage
3.3 - Exemples
échantillons de taille 30
18%
16%
12%
10%
8%
6%
4%
2%
Proportion d'enfants de plus de 14 ans et demi
30/30
28/30
26/30
24/30
22/30
20/30
18/30
16/30
14/30
12/30
10/30
8/30
6/30
4/30
2/30
0%
0
fréquences
14%
3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage
3.3 - Exemples
échantillons de taille 100
10%
9%
8%
6%
5%
4%
3%
2%
1%
Proportion d'enfants de plus de 14 ans et demi
100/100
95/100
90/100
85/100
80/100
75/100
70/100
65/100
60/100
55/100
50/100
45/100
40/100
35/100
30/100
25/100
20/100
15/100
10/100
5/100
0%
0
fréquences
7%
3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage
3.4 – Quand n augmente
Résultat 1 :
Les proportions observées sont de plus en plus
souvent proches de la proportion du caractère
dans la population-mère lorsque la taille de
l'échantillon n augmente.
Résultat 2 :
Lorsque n est grand la distribution de fréquence
de la proportion d’échantillonnage s'approche
d'une "distribution en cloche".
3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage
3.4 – Quand n augmente
échantillons de taille 100
10%
9%
8%
6%
5%
4%
3%
2%
Proportion d'enfants de plus de 14 ans et demi
96/100
91/100
86/100
81/100
76/100
71/100
66/100
61/100
56/100
51/100
46/100
41/100
36/100
31/100
26/100
21/100
16/100
11/100
0%
6/100
1%
1/100
fréquences
7%
4 - Intervalles de fluctuation
4.1
4.1- -Définition
Définition
L’intervalle de fluctuation d’une fréquence
ou proportion à 95%, pour des échantillons
de taille n, est l’intervalle :
– d'amplitude minimale,
– centré autour de p, proportion du
caractère dans la population,
– contenant la proportion observée sur un
échantillon aléatoire de taille n, avec une
probabilité au moins égale à 0,95.
4 - Intervalles de fluctuation
4.2
4.2- -Détermination
Détermination
Échantillons de taille 10 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants
de plus de 14 ans et demi :
5,6 %
1/10
18,8 %
2/10
28,2 %
3/10
25,0 %
4/10
14,6 %
5/10
5,8 %
6/10
1,6 %
7/30
0,3 %
8/10
0,0 %
9/10
0,0 %
10/10
0,0 %
échantillons de taille 10
30%
25%
fréquences
p = 25 %
0/10
20%
15%
10%
5%
0%
0
1/10
2/10
3/10
4/10
5/10
6/10
7/10
8/10
9/10 10/10
Proportion d'enfants de plus de 14 ans et demi
Distribution des fréquences
4 - Intervalles de fluctuation
4.2 - Détermination
Échantillons de taille 10 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants
de plus de 14 ans et demi :
5,6 %
1/10
18,8 %
2/10
28,2 %
3/10
25,0 %
4/10
14,6 %
5/10
5,8 %
6/10
1,6 %
7/30
0,3 %
8/10
0,0 %
9/10
0,0 %
10/10
0,0 %
échantillons de taille 10
30%
86,6 %
pourcentage
fréquences
d'échantillons
p = 25 %
0/10
25%
20%
15%
10%
5%
0%
0
1/10
2/10
3/10
4/10
5/10
6/10
7/10
8/10
9/10 10/10
Proportion d'enfants de plus de 14 ans et demi
Distribution des fréquences
4 - Intervalles de fluctuation
4.2 - Détermination
Échantillons de taille 10 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants
de plus de 14 ans et demi :
5,6 %
1/10
18,8 %
2/10
28,2 %
3/10
25,0 %
4/10
14,6 %
5/10
5,8 %
6/10
1,6 %
7/30
0,3 %
8/10
0,0 %
9/10
0,0 %
10/10
0,0 %
échantillons de taille 10
30%
25%
98 %
fréquences
p = 25 %
0/10
20%
15%
10%
5%
0%
0
1/10
2/10
3/10
4/10
5/10
6/10
7/10
8/10
9/10 10/10
Proportion d'enfants de plus de 14 ans et demi
Distribution des fréquences
L'intervalle de fluctuation est [0 ; 0,5].
4 - Intervalles de fluctuation
4.2 - Détermination
Échantillons de taille 30 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants
de plus de 14 ans et demi :
p = 25 %
0/30
0,0%
11/30
5,5%
21/30
0,0%
1/30
0,2%
12/30
2,9%
22/30
0,0%
2/30
0,9%
13/30
1,3%
23/30
0,0%
3/30
2,7%
14/30
0,5%
24/30
0,0%
4/30
6,0%
15/30
0,2%
25/30
0,0%
5/30
10,5%
16/30
0,1%
26/30
0,0%
6/30
14,5%
17/30
0,0%
27/30
0,0%
7/30
16,6%
18/30
0,0%
28/30
0,0%
8/30
15,9%
19/30
0,0%
29/30
0,0%
9/30
13,0%
20/30
0,0%
30/30
0,0%
10/30
9,1%
4 - Intervalles de fluctuation
4.2 - Détermination
Échantillons de taille 30 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants
de plus de 14 ans et demi :
p = 25 %
0/30
0,0%
11/30
5,5%
21/30
0,0%
1/30
0,2%
12/30
2,9%
22/30
0,0%
2/30
0,9%
13/30
1,3%
23/30
0,0%
3/30
2,7%
14/30
0,5%
24/30
0,0%
4/30
6,0%
15/30
0,2%
25/30
0,0%
5/30
10,5%
16/30
0,1%
26/30
0,0%
6/30
14,5%
17/30
0,0%
27/30
0,0%
7/30
16,6%
18/30
0,0%
28/30
0,0%
8/30
15,9%
19/30
0,0%
29/30
0,0%
9/30
13,0%
20/30
0,0%
30/30
0,0%
10/30
9,1%
96,7 %
4 - Intervalles de fluctuation
4.2 - Détermination
échantillons de taille 30
18%
16%
fréquences
14%
12%
10%
8%
6%
4%
2%
Proportion d'enfants de plus de 14 ans et demi
L'intervalle de fluctuation est [0,1 ; 0,4].
30/30
28/30
26/30
24/30
22/30
20/30
18/30
16/30
14/30
12/30
10/30
8/30
6/30
4/30
2/30
0
0%
4 - Intervalles de fluctuation
4.2 - Détermination
Échantillons de taille 100 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants
de plus de 14 ans et demi :
11/100
0,0%
21/100 6,3%
31/100 3,4%
12/100 0,1%
22/100 7,5%
32/100 2,5%
13/100 0,1%
23/100 8,5%
33/100 1,7%
14/100 0,3%
24/100 9,1%
34/100 1,1%
15/100 0,6% 25 %
25/100 9,2%
35/100 0,7%
16/100 1,0%
26/100 8,8%
36/100 0,4%
17/100 1,7%
27/30 8,1%
37/100 0,2%
18/100 2,5%
28/30
7,0%
38/100 0,1%
19/100 3,7%
29/100 5,8%
39/100 0,1%
20/100 4,9%
30/100 4,6%
40/100 0,0%
4 - Intervalles de fluctuation
4.2 - Détermination
Échantillons de taille 100 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants
de plus de 14 ans et demi :
95,1 %
11/100
0,0%
21/100 6,3%
31/100 3,4%
12/100 0,1%
22/100 7,5%
32/100 2,5%
13/100 0,1%
23/100 8,5%
33/100 1,7%
14/100 0,3%
24/100 9,1%
34/100 1,1%
15/100 0,6%
25/100 9,2%
35/100 0,7%
16/100 1,0%
26/100 8,8%
36/100 0,4%
17/100 1,7%
27/30 8,1%
37/100 0,2%
18/100 2,5%
28/30
7,0%
38/100 0,1%
19/100 3,7%
29/100 5,8%
39/100 0,1%
20/100 4,9%
30/100 4,6%
40/100 0,0%
4 - Intervalles de fluctuation
4.2 - Détermination
échantillons de taille 100
10%
9%
8%
fréquences
7%
6%
5%
4%
3%
2%
1%
Proportion d'enfants de plus de 14 ans et demi
L'intervalle de fluctuation est [0,17 ; 0,33].
100/100
95/100
90/100
85/100
80/100
75/100
70/100
65/100
60/100
55/100
50/100
45/100
40/100
35/100
30/100
25/100
20/100
15/100
10/100
5/100
0
0%
5 - Des mathématiques
5.1 – Espérance et variance de la moyenne d’échantillonnage
Soit X1, X2,..., Xn une suite de n variables
aléatoires indépendantes de même loi de
probabilité admettant pour espérance
mathématique m et pour écart-type s.
_
1
_
On pose : X = (X1 + X2 + ... + Xn).
n
_
s
X a pour espérance m et pour écart-type
.
n
5 - Des mathématiques
5.2
théorèmes
5.2- -DesDes
théorèmes
Loi faible des grands
nombres :
_
Pour tout e > 0, P (|X - m |  e ) tend vers 1 quand
n tend vers l'infini.
Théorème limite central :
_
Alors pour n grand, la loi de la moyenne X peut
être approchée par la loi normale de paramètres m
et s .
n
5 - Des mathématiques
5.3 - Application à la fréquence ou proportion d ’échantillonnage
• Dans une population statistique, on s’intéresse à
une propriété A. On tire un échantillon de taille n.
Prenons pour variables Xi, les variables qui, à
chaque échantillon, associent la valeur 1 si le
i-ème individu possède la propriété A et 0 sinon.
1
_
•
(X1 + X2 + ... + Xn) évalue la proportion de la
n
propriété A dans l’échantillon, notons-la F.
5 - Des mathématiques
5.3 - Application à la fréquence ou proportion d ’échantillonnage
• Comme l’espérance mathématique des variables
aléatoires Xi est égale à p, alors d’après la loi des
grands nombres
Pour tout e > 0, P (|F - p|  e ) tend vers 1
quand n tend vers l'infini.
• La probabilité que F prenne une valeur éloignée
de p de moins d’un e fixé à l’avance tend vers 1
lorsque n tend vers l’infini.
5 - Des mathématiques
5.3 - Application à la fréquence ou proportion d ’échantillonnage
• Comme l’espérance mathématique et l'écart-type
des variables aléatoires Xi sont respectivement
p et p (1  p) , d’après le théorème limite central :
Pour n grand, la loi de F peut être approchée par
la loi normale de paramètres p et
p (1  p) .
n
5 - Des mathématiques
5.4 -Intervalle de fluctuation d’une fréquence d’échantillonnage
On cherche un réel a tel que
P(p  a  F  p + a) = 0,95
D'après le théorème limite central, pour n assez
grand (n  25), la loi de la F peut être approchée
par la loi normale de paramètres p et
Alors la loi de
p (1  p) .
n
Fp
est approchée par la loi
p (1  p)
n
normale centrée, réduite.
5 - Des mathématiques
5.4 -Intervalle de fluctuation d’une fréquence d’échantillonnage
L'équation P(p  a  F  p + a) = 0,95 devient :

P



a

p (1  p)
n
La table de la loi
normale centrée,
réduite donne
a
p (1  p)
n
= 1,96
Fp
p (1  p)
n


a
 = 0,95
p (1  p)

n

95 %
5 - Des mathématiques
5.4 -Intervalle de fluctuation d’une fréquence d’échantillonnage
L'intervalle de fluctuation est approché par :


p  1,96

p (1  p)
; p + 1,96
n
p (1  p) 

n

Or 1,96 < 2 et pour 0,2  p  0,8,
on a donc 0,4  p (1  p)  0,5
Ainsi 1,96 p (1  p) est compris entre 0,8 et 1.
5 - Des mathématiques
5.4 -Intervalle de fluctuation d’une fréquence d’échantillonnage
Finalement l'intervalle de fluctuation au seuil de
95%, relatif aux échantillons de taille n, est
approché par l’intervalle :


p 

1
1 
;p+

n
n
Remarque : Cet intervalle contient l'intervalle :


p  1,96

p (1  p)
; p + 1,96
n
p (1  p) 

n

6 - Estimation par intervalle de confiance
6.1
d'un abaque
6.1- -Construction
Construction
d'un
abaque
On constitue, avec remise, des échantillons de
taille 40, dans une population. On considère une
modalité d’un caractère qualitatif observée pour
p =37 % des individus de la population.
6 - Estimation par intervalle de confiance
6.1 - Construction d'un abaque
On constitue, avec remise, des échantillons de
taille 40, dans une population. On considère une
modalité d’un caractère qualitatif observée pour
p =37 % des individus de la population.
L'intervalle de fluctuation au seuil de 95%, relatif
aux échantillons de taille 40, est [0,22 ; 0,52].
6 - Estimation par intervalle de confiance
6.1 - Construction d'un abaque
Représentation de l'intervalle au seuil de 95%, relatif
aux échantillons de taille 40 pour p =0,37.
6 - Estimation par intervalle de confiance
6.1 - Construction d'un abaque
6 - Estimation par intervalle de confiance
6.1 - Construction d'un abaque
Représentation de l'intervalle au seuil de 95%, relatif
aux échantillons de taille 40 pour p =0,37 et p =0,40.
6 - Estimation par intervalle de confiance
6.1 - Construction d'un abaque
6 - Estimation par intervalle de confiance
6.1 - Construction d'un abaque
6 - Estimation par intervalle de confiance
6.1 - Construction d'un abaque
6 - Estimation par intervalle de confiance
6.1 - Construction d'un abaque
6 - Estimation par intervalle de confiance
6.1 - Construction d'un abaque
6 - Estimation par intervalle de confiance
6.1 - Construction d'un abaque
6 - Estimation par intervalle de confiance
6.1 - Construction d'un abaque
6 - Estimation par intervalle de confiance
6.1 - Construction d'un abaque
6 - Estimation par intervalle de confiance
6.1 - Construction d'un abaque
6 - Estimation par intervalle de confiance
6.1 - Construction d'un abaque
6 - Estimation par intervalle de confiance
6.1 - Construction d'un abaque
6 - Estimation par intervalle de confiance
6.2 - Utilisation de l'abaque
6.2 - Utilisation de l'abaque
On souhaite estimer la proportion p (inconnue)
d'individus présentant une propriété donnée
dans une population statistique à partir d'un
échantillon de taille 40 prélevé au hasard et sans
remise.
Supposons que la propriété est observée dans
l'échantillon avec une fréquence de 60 %.
On détermine ensuite les valeurs de p qui font
en sorte que 0,6 appartienne à l'intervalle de
fluctuation au seuil de 95 %, relatif aux
échantillons de taille 40 associé à p .
6 - Estimation par intervalle de confiance
6.2 - Utilisation de l'abaque
6 - Estimation par intervalle de confiance
6.2 - Utilisation de l'abaque
Intervalle à 95 %
de confiance de p