Énoncés équivalents au 5ème Postulat d`Euclide E 0 - PUC-SP

PUC-SP. Juin 2006
me
Autour du 5 
Postulat
Pr
sentation de Mich el HENRY,
IREM de Besan
on (Fra nce)
D’Euclide à Legendre,
autour du 5ème Postulat
IV - 35 énoncés équivalents
au 5ème Postulat
Énoncés équivalents au 5ème Postulat d’Euclide
E0 - 5ème demande ou postulat d’Euclide:
Si une droite, tombant sur deux droites,
A
fait les angles intérieurs et du même
côté plus petits que deux droits, les deux
droites, indéfiniment prolongées, se
C
rencontrent du côté où sont les angles
plus petits que deux droits.
At-Tùsì, Nasìr ad-Dìn (1201 - 1274);
Girolamo Saccheri (1667 - 1733) :
E
B
D
F
Fˆ  Eˆ  2 droits 
(AB) et (CD) concourantes

Une perpendiculaire et une oblique à
une sécante commune se coupent.
A
d
B
d'
O
Énoncés équivalents au 5ème Postulat d’Euclide
E1 - Angles déterminés par deux parallèles et une sécante :
Proposition I-29 d’Euclide :
1a
Si
deux
droites
coupées
par
une
sécante,
des
angles
intérieurs
A
côté est égale à deux droits.
parallèles
la
d’un E
1b
Si
deux
coupées
par
une
alternes internes sont égaux.
parallèles
F les
droites
sécante,
C
sont
somme
même
B
sont
angles
D
ˆ +E
ˆ = 2 droits
[ AB] // [CD]
 F
1c
Si
deux
droites
parallèles
sont
coupées
par
une
sécante,
les
angles
correspondants d’un même côté sont égaux.

Énoncés équivalents au 5ème Postulat d’Euclide
E2 - Parallèles et perpendiculaires
Proposition I-30 d’Euclide :
d
d'
Les droites parallèles à une même droite
sont parallèles entre elles.
d"
d // d' et d // d"  d' // d"
Legendre, André-Marie (1752 - 1833) :
Si 2 droites sont parallèles, toute
perpendiculaire à l’une est
perpendiculaire à l’autre.

∂
si d // d'
et d  ∂,
alors d' ∂
d
d'
B
Bolyai, Janos (1802 - 1860) :
Par trois points non alignés il passe un cercle.
A
O
C
Énoncés équivalents au 5ème Postulat d’Euclide
E3 - Droite passant par un point donné et parallèle à une droite
donnée
Axiome de John Playfair (début du XIXè), déjà énoncé par Proclus de
Lycie (412 - 485 ap. J.C.) :
M
Par un point extérieur à une droite passe
au plus une parallèle à cette droite.
d'
d'//d est
unique
d
Ibn Al-Haytam (965 - 1041) :
Deux droites qui se coupent ne
peuvent être toutes deux parallèles
M
à une même droite.
d
Proclus (Vè siècle ap. J.C.) :
Lorsqu’une droite coupe l’une des
parallèles elle coupe l’autre aussi.
A
d
d'
B
d//d', si [AB]
coupe d,
prolongée,
(AB) coupe d'
Énoncés équivalents au 5ème Postulat d’Euclide
E4 - Somme des angles d’un triangle
Proposition 32 d’Euclide, Al-Haytam (Xè-XIè siècles),
Nasìr ad-Dìn at-Tùsi (XIIIè siècle),
A
Saccheri (XVIIIè ) :
Les trois angles d’un triangle
sont égaux à deux droits.
A+B+C =
2 droits
C
B
Proposition 32 d’Euclide :
Un angle extérieur d’un triangle est égal
aux deux angles intérieurs et opposés.
Legendre
(XIXè
siècle) :
A
C
C = A+B
B
Il existe un triangle dont la somme des trois angles est égale à deux droits
Axiome de Worpitzki :
Il n’existe pas de triangle dans lequel chaque angle peut être choisi aussi
petit que l’on veut
Énoncés équivalents au 5ème Postulat d’Euclide
E4 - Somme des angles d’un quadrilatère
Girolamo Saccheri (XVIIIè) :
A
La somme des angles d’un quadrilatère
est égale à quatre angles droits.
D
B
C
Alexis Claude Clairaut (1713 - 1765) :
A
Si dans un quadrilatère, 3 angles sont
des angles droits, le quatrième
est un angle droit.
B
A+B+C+D =
4 droits
D si A, B et C
sont droits,
alors D est
C droit
Énoncés équivalents au 5ème Postulat d’Euclide
E5 - Symétrie centrale
Giuseppe Veronese (1854 - 1917) :
Si deux droites sont parallèles, elles sont
symétriques l’une de l’autre par rapport
au milieu M de tout segment joignant un
point de l’une à un point de l’autre.
P
Q
d si d//d' et M
millieu de PP'
d' alors d et d' sont
sym p.r. à M
M
Ingrami (1904) :
Q'
Pour toute autre sécante QQ’ passant
par M, M est aussi le millieu de [QQ’]
P'
6 - Équidistance des parallèles
Posidonius d’Apamée (135 - 50 av. J.C.), An-Nayrìzi (900) :
Les droites parallèles sont équidistantes.
d
M'
Posidonius, Geminus (Ier siècle av. J.C.) :
Il
existe
l’une de l’autre.
des
droites
qui
M sont
AA' = MM'
d' pour tout M
de d ou de d'
A' équidistantes
A
Énoncés équivalents au 5ème Postulat d’Euclide
E6 - Équidistance des parallèles
Omar Al-Khayyam (1040 - 1131) :
A
Deux
perpendiculaires
droite sont équidistantes
si d et d' sont perpendiune à (AB), alorsmême
culaires
d
et d' sont équidistantes
d
d'
à
B
Proclus (Vè siècle); Al-Khayyâm (XIè siècle) :
La distance entre deux parallèles est bornée.
Proclus (Vè siècle) :
d
M'
o
d' sécantes,
Si
deux
droites
sont
d’un point de l’une à l’autre n’est pas bornée.
M
MM' non bornée
quand M s'éloigne
de o
laindéfiniment
distance
Aganis (VIè siècle ?) :
Par
un
point
extérieur
à
une droite équidistante de la première.
une
droite
il
passe
toujours
Posidonius (Ier siècle av. JC.); Al - Haytam (Xè-XIè) :
Le
lieu
des
points
équidistants
d’un même côté de cette droite est une droite
d’une
Giardano Vitale (1633 - 1711) :
Q
Il
existe
équidistants d’une droite.
P
trois
d
P'
Q'
droite
et
situés
R
il existe P, Q, R,
points alignés, tels quealignés
PP' = QQ' = RR'
R'
Énoncés équivalents au 5ème Postulat d’Euclide
E7 - Propriétés du rectangle
Omar Al Khayyam (XIè-XIIè) ;
Saccheri (XVIIIè ):
A
Un quadrilatère isocèle ayant deux
angles droits a tous ses angles droits
D
B Si A et B sont droits
et si AD = BC, alors
C C et D sont droits
Thalès (VIè siècle av. J.C.)
Un angle droit est inscrit
dans un demi-cercle.
M
Saccheri (XVIIIè ) :
A
Thalès : si AMB est droit,
(AB) est un diamètre du
B cercle passant par A, M, B.
Saccheri : si (AB) est un
diamètre, alors pour tout M
du cercle, AMB est droit
Un angle inscrit dans un
demi-cercle est droit.
Al - Gauharì (VIIIè - IXè) :
La médiane d’un triangle rectangle est
égale à la moitié de l’hypothénuse
B
AM = BM = MC
M
C
A
Énoncés équivalents au 5ème Postulat d’Euclide
E8 - Existence de figures semblables
John Wallis (1616 - 1703) :
Pour une figure quelconque, il y en a toujours une autre, de grandeur
quelconque, qui lui soit semblable.
John Wallis (1616 - 1703) :
Pour tout triangle, il en existe un autre ayant un côté de longueur donnée et des
angles égaux à ceux du triangle initial.
Girolamo Saccheri (XVIIIè) :
Il existe deux triangles non égaux ayant leurs angles égaux deux à deux.
Carl Friedrich Gauss (1774 - 1855) :
Il existe des triangles d’aire aussi grande que l’on veut.
« Si je pouvais montrer qu’on peut construire un triangle contenant une aire
donnée, je serais capable de prouver rigoureusement toute la géométrie. »
Énoncés équivalents au 5ème Postulat d’Euclide
E9 - Positions relatives d’une droite et d’un angle
Al
Gauhari
As - Samarkandi (XIIIè) :
(VIIIè
P
Par chaque point à l’intérieur d’un
angle passe une droite qui coupe
les deux côtés de l’angle.
d
O
M
Q
d'
IXè);
Si dOd' n'est pas plat,
si M est à l'intérieur,
alors il existe P sur d
tel que (PM) coupe d'.
Adrien-Marie Legendre (XIXè) :
D’un point quelconque intérieur
d’un angle plus petit que deux
tiers d’un angle droit, on peut
mener une droite qui rencontre
les deux côtés de l’angle.
d
O
M
d'
dOd' < š/3 :
il existe une droite
passant par M qui
rencontre les deux
demi-droites ]Od) et
]Od').