Introduction Notations tensorielles Cinématique Equilibre Thermodynamique Lois de bilan Loi de comportement Initiation à la MECANIQUE des MILIEUX CONTINUS Initiation à la MMC, F. Golay 1/27 Notion de milieu continu Fluide: « qui n’est ni solide, ni épais, qui coule aisément » Solide: « qui a de la consistance, qui n’est pas liquide, tout en pouvant être plus ou moins mou » Liquide: « tout corps qui coule ou tend à couler » Petit Robert Milieu continu: « milieu dont le comportement macroscopique peut être schématisé en supposant la matière répartie sur tout le domaine qu’il occupe » J. Coirier Initiation à la MMC, F. Golay 2/27 Notation indicielle Notations: V V1e1 V2 e2 V3 e3 Vi ei T11 T12 T13 T T21 T22 T23 Tij ei e j T31 T32 T33 Tenseur d’ordre 2 & Produit tensoriel Produit contracté Produit doublement contracté T V Tij ei e j Vk ek TijVj ei Vecteur & convention de sommation A B Aij ei e j : Bpq ep eq AijB ji ,i xi Dérivation * * * *,i ei gradient div (**) * * : 1 divergence Initiation à la MMC, F. Golay 3/27 Exemple Notations: V1 x1 V V Vi ei , j e j Vi , j ei e j 2 x1 V 3 x1 V1 x 2 V2 x 2 V3 x 2 V1 x 3 V2 x 3 V3 x 3 div V V : 1 Vi , j ei e j : pq ep eq Vi , j ji Vi ,i V1 V2 V3 x1 x2 x3 div A V A ik Vk ,i A ik ,i Vk A ik Vk ,i div A .V A : V T Initiation à la MMC, F. Golay 4/27 Cinématique: •Notion de configuration, Euler /Lagrange •Application linéaire tangente •Notion de déformation •Tenseur des déformations •Hypothèse des petites perturbations •Dérivation Initiation à la MMC, F. Golay 5/27 Notion de configuration Cinématique: W(t) e3 M0 e2 X M x( X, t ) O e1 W0 Configuration actuelle à l’instant t Configuration de référence à l’instant t0 X ,t: Variables de Lagrange (en général mécanique du solide) Vitesse V x ,t: Variables d’Euler (en général mécanique des fluides) dOM dx dt dt dA A ( X, t ) ( X, t ) dt t dA A A xi A A A A ( x, t ) ( x, t ) ( x, t ) Vi V . A A.V dt t xi t t xi t t Application: Accélération Dérivée particulaire dV V ( x, t ) V. V dt t Initiation à la MMC, F. Golay 6/27 Application linéaire tangente Cinématique: dx Fd X e3 e2 O dx W0 dX x1 X1 x F 2 X1 x 3 X1 W(t) e1 Configuration de référence à l’instant t0 Configuration actuelle à l’instant t x1 X 2 x 2 X 2 x 3 X 2 x1 X 3 x 2 X 3 x 3 X3 Transport d’un élément de volume e3 W0 e2 W(t) O e1 dV det F dV0 dV dV0 Transport d’un élément de surface e3 e2 O e1 N dS0 n W0 W(t) dS ndS det F F T NdS0 Initiation à la MMC, F. Golay 7/27 Cinématique: Notion de déformation Initiation à la MMC, F. Golay 8/27 Tenseur des déformations Cinématique: F e3 e2 O W0 dX Configuration de référence à l’instant t0 e2 dl 0 O dl dl dl 0 e3 e2 e1 dx 1 T F F 1 2 Configuration actuelle à l’instant t Si d X d X dl 0 e1 e3 e1 dx W(t) dX e1 T T T dx dx d X d X d X F F 1 d X 2d X d X O dl dl 2 dl 02 2dl 0211 soit 11 dl dl 0 dl 0 Si d X dl 0 e1 et d X dl 0 e 2 dld l cos 2dl 0212 soit 212 cos 1 11 1 22 dl 0 Initiation à la MMC, F. Golay 9/27 Hypothèse des petites perturbations Cinématique: x Xu F 1 u 1 T u u T u. u 2 HPP HPP HPP u 1 u1 X 1 1 u u 1 2 2 X 2 X 1 1 u1 u 3 2 X 3 X1 .. u 2 X 2 1 u 3 u 2 2 X 2 X 3 1 T u u 2 .. .. u 3 X 3 Initiation à la MMC, F. Golay 10/27 Cinématique: Dérivées d dk k kdiv v dV W( t ) div (k v ) dV W( t ) k ( x, t )dV W( t ) dt dt t A d dV A ( x , t ) dV div ( A v ) W ( t ) dt W ( t ) t dA d Adivv v.A .n dS (t) A(x, t).n dS (t) dt dt Application: Conservation de la masse !! d dt div v 0 d M W(t ) (x, t )dV or M cste donc W(t ) (x, t )dV 0 soit ou dt t div( v ) 0 d d(**) dV W ( t ) (**)dV W ( t ) dt dt Initiation à la MMC, F. Golay 11/27 Cinématique: Exemple Initiation à la MMC, F. Golay 12/27 Équilibre: •Notion Contrainte •Principe fondamental Initiation à la MMC, F. Golay 13/27 Équilibre: Notion de contrainte Efforts extérieurs dF Efforts intérieurs n M Photo extraite de Le Rugby P. VILLEPREUX Cours de J.Salençon Polytechnique ds Effort de "cohésion" dF x, t , n, ds dF x, t , n, ds T x, t , n ds T : Vecteur contrainte T x, t , n x, t n x, t Tenseur des contraintes de Cauchy Initiation à la MMC, F. Golay 14/27 Principe Fondamental Équilibre: F e3 n e2 W(t ) Principe Fondamental de la dynamique ( t ) O Torseur dynamique = Torseur des action extérieures f e1 d vdV fdV Tds dt d OM vdV OM fdV OM Tds dt v div( v v) dV fdV nds Forme locale de l’équation d’équilibre t v div f 0 dans W fdV div dV v.v v div( v) dV t t sur W n F Symétrique f div dV 0 Initiation à la MMC, F. Golay 15/27 Thermodynamique: •Premier principe •Équation de la chaleur Initiation à la MMC, F. Golay 16/27 Thermodynamique: Premier principe Premier principe: conservation de l’énergie d E K Pext Q dt Énergie interne Énergie cinétique Puissance des efforts extérieurs Taux de chaleur reçu E W e dv 1 K W v.v dv 2 Pext W f .v dv W F.v ds Q W r dv W q.n ds Forme locale du premier principe e : r divq Initiation à la MMC, F. Golay 17/27 Thermodynamique: Équation de la chaleur e Ts Hypothèse énergie libre ( , T) Second principe = et s= T Chaleur spécifique C=T s T Loi de Fourier q kT Premier Principe r div kT C dT T : dt T t Initiation à la MMC, F. Golay 18/27 Lois de bilan: Lois de Bilan en M.M.C. d divv 0 dt Conservation de la masse div f Conservation de la quantité de mouvement Conservation du moment cinétique Conservation de l’énergie T e : r divq + Lois de Comportement T, , , , , .... 0 t t Initiation à la MMC, F. Golay 19/27 Élasticité: •Essai de traction •Expérience •Loi de comportement élastique linéaire •Le problème d’élasticité Initiation à la MMC, F. Golay 20/27 Essai de traction Élasticité: Essai de traction Initiation à la MMC, F. Golay 21/27 Expérience Élasticité: Plasticité irréversible F 11 F S e Élasticité réversible S L DL DL 11 DL L Déformation permanente Initiation à la MMC, F. Golay 22/27 Élasticité linéaire Élasticité: Loi générale Élasticité isotrope Thermoélasticité isotrope C: 1 tr 1 E E tr 1 2 , coefficients de Lamé coefficients de Poisson, E module d’Young tr 1 2 3 2 T1 1 Application à l’essai de traction 11 E1 22 21 E2 31 0 0 F / S 0 033 E3 Élasticité 0 orthotrope 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0212 0 2 0 13 2 0 23 12 E1 1 E2 32 E3 0 0 0 12 E1 coefficients de dilatation thermique 0 11 23 0 0 0 22 E2 0 0 1 E 0 0 0 33 E3 0 0 1E 0 0 0 12 G12 0 0 1 E 0 0 0 13 G13 1 0 0 0 23 G 23 0 0 Initiation à la MMC, F. Golay 23/27 Le problème d’élasticité Élasticité: F e2 e1 O W(t ) f 1 T u u 2 u U imp sur W U e3 W F Equation de compatibilité W U Ui m p div f dans W F sur W F n R sur W U tr 1 2 Formulation en déplacement: Équation de Navier divu div u f 0 Formulation en contrainte: Équation de Michel 1 div 1 1 tr 1 divf1 f T f 0 Initiation à la MMC, F. Golay 24/27 Élasticité: Exemple Te Pe Ti Pi Initiation à la MMC, F. Golay 25/27 Exemple: résolution Élasticité: Te e Problème thermique er dT T : DT 0 dt T t T T(r) T T(r) T0 a lnr b r div kT C Ti avec T(ri ) Ti et T(re ) Te Problème mécanique Hypothèse u u(r)er u rr u 2u 3 2 T(r) u 0 0 r donc 0 u / r 0 et u u 0 0 0 u 2 3 2 T(r) r r div f u(r) rr 1 u u 3 2 a rr 0 u 2 r r r r 2 r 3 2 a rLn(r) Ar B r 2 avec rr (re ) Pe et rr (ri ) Pi Initiation à la MMC, F. Golay 26/27 Mécanique des fluides: Fluide newtonien Fluide viscoplastique Fluide newtonien Fluide à seuil t Fluide fluidifiant Newton p1 tr 1 2 div f dv div p1 div divv1 div v v dt Fluide épaississant dv div p1 tr 1 2 dt T v v.v p divv div v div T v t dU dy v v.v p divv div v t Si le fluide est incompressible alors divv 0 v 1 v.v p D v t Initiation à la MMC, F. Golay 27/27