Nom du cours : Nom du cours : Fascicule 1 : Optique de Fourier

Nom du cours :
Optique cohérente
Fascicule 1 : Optique de Fourier
Cursus/option :
M2 « Optique et Photonique »
Date de mise à jour :
octobre 2006
Année scolaire
:
2007/2008 Auteur : Pierre Chavel
1
INTRODUCTION :
Ceci est le premier fascicule du cours d’Optique cohérente. Il s’intitule « Optique de Fourier » et comporte
quatre chapitres et un appendice. Seuls les trois premiers chapitres donnent lieu à examen.
Chapitre I : filtres linéaires homogènes
Chapitre II : filtrage des fréquences spatiales en éclairage cohérent (vu en TD)
Chapitre III : filtrage des fréquences spatiales en éclairage spatialement incohérent
Compléments :
Chapitre IV : échantillonnage et degrés de liberté
Appendice sur la diffraction de Fresnel et la diffraction de Fraunhofer
•
•
•
•
Bibliographie recommandée :
P.M. Duffieux, l’intégrale de Fourier et son application à l’Optique, édition originale chez l’auteur, Besançon, 1946 ;
réédition Masson, vers 1980.
A. Maréchal et M. Françon, Diffraction, structure des images, Ed. Revue d'Optique, Paris, 1ère édition 1959, réédité
chez Masson vers 1975.
S. Lowenthal et Y. Belvaux, « progrès récents en optique cohérente, filtrage des fréquences spatiales, holographie »,
Revue d’Optique, 46 (1967) 1-64.
J.W. Goodman, Introduction to Fourier Optics, McGraw Hill, 2ème édition fortement remaniée, 1995 ; troisième édition
chez Roberts Publishers, 2004 ; il existe une version française de la 1ère édition traduite par J. Perez chez Masson vers
1978.
Chap I. Filtres linéaires homogènes.
La transformation de Fourier introduit en optique la notion de fréquence spatiale : tout objet décrit par
une fonction de x et de y dont le comportement est physiquement raisonnable admet une transformée de Fourier
qui représente son contenu en fréquences spatiales. Un des principaux intérêts de cette notion est son apport à la
compréhension de la formation des images : en effet, on peut fréquemment utiliser un modèle d'instrument
d'optique dans lequel ce dernier se comporte comme un filtre linéaire homogène ; dans ce chapitre, nous
introduisons la notion de filtre linéaire homogène, très fréquente dans de nombreux domaines de la physique
fondamentale et appliquée et notamment en électronique. Son intérêt majeur est sa relation avec celle de
fréquence (spatiale ou autre).
I - DEFINITIONS ET PROPRIETES PRINCIPALES :
1.1 - Définitions :
On considère une famille de fonctions f définie dans R
n
et à valeurs dans un ensemble E. muni d'une
addition et d'une multiplication internes. (En pratique, n = 1, 2 ou 3 et E s'identifie à R, R ou C ).
2
ℜ
n
f
E
x = (x , x , ..., x )
1 2
n
f(x )
Une application F de la famille {f} dans elle-même est appelée filtre linéaire homogène (ou filtre linéaire
invariant par translation) si elle possède les deux propriétés suivantes :
{f}
{f}
F (f)
f
( λ1 , λ2 ) ∈ E 2 , et pour tout ( f1, f 2 ) ∈{ f }
F ( λ1 f1 + λ2 f 2 ) = λ1F ( f1 ) + λ2 F ( f 2 )
2
1° linéarité : F est dite linéaire si pour tout
, on a :
(1)
2° homogénéité (ou invariance par translation) : soit x o ∈ R . Pour toute fonction f de {f}, soit f xo la fonction
n
définie pour tout x ∈ R par :
n
f xo ( x ) = f ( x − x o ) ;
Filtres linéaires homogènes
2
F est dite homogène si pour tout xo et pour tout f on a :
( )
F ( f ) = g ⇒ F f xo = g xo .
(2)
Exemples :
- circuit électrique R, L, C : E = C , n = 1, x est le temps, f = tension appliquée au circuit, F(f) = tension entre
deux points donnés du circuit.
- En optique : formation d'image : E = C
l'image.
ou R + , n = 2, x, y = coordonnées objet ou image, f = l'objet, F(f) =
1.2 - Fonction de filtrage :
Démontrons que les exponentielles exp ( 2iπ Ωi x ) sont fonctions propres de tout filtre linéaire.
Pour tout Ω ∈ R , soit la fonction f de {f} définie par :
n
f ( x ) = exp ( 2iπ Ωi x ) pour tout x ∈ R n .
Posons en outre g = F (f).
∀x o ∈ R n , ∀x ∈ R n , f xo ( x ) = exp ⎡⎣ 2iπ Ωi( x − x o ) ⎤⎦ = exp ( 2iπ Ωi x o ) f ( x )
donc f x o = exp ( 2iπ Ωi x o ) f
( )
et d'après la linéarité F ( f ) = F ⎡⎣exp ( −2iπ Ωi x ) f ⎤⎦ = exp ( −2iπ Ωi x
or d'après l'homogénéité
F f xo = g xo
xo
o
o
)g
donc ∀x o ∈ R , ∀x ∈ R , g ( x − x o ) = exp ( −2iπ Ωi x o ) g ( x ) ,
n
n
et en particulier pour x o = x, ∀x ∈
n
, g ( 0 ) = exp ( −2iπ Ωi x ) g ( x ) ,
donc. g ( x ) = exp ( 2iπ Ωi x ) g ( 0 )
(3)
Les fonctions exp ( 2iπ Ωi x o ) sont donc fonctions propres de tout filtre F linéaire homogène. La valeur
propre associée, g(0), dépend évidemment de Ω et du filtre F lui-même. Elle sera notée G(Ω) et appelée gain ou
encore fonction de filtrage. (En optique, on utilise encore d'autres noms, que nous introduirons plus tard). On
voit bien sûr que la fonction gain décrit la façon dont une sinusoïde traverse le filtre linéaire homogène, la phase
du gain décrivant le déphasage de la sinusoïde.
1.3 - Réponse percussionnelle :
Considérons à l'entrée du filtre une fonction f de {f} admettant une TF :
f (x) =
∫ f ( Ω ) exp ( 2iπ Ωix ) dΩ .
Rn
Utilisons la linéarité et la définition du gain pour exprimer la sortie du filtre :
⎡
⎤
g ( x ) = F ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ = F ⎢ ∫ f ( Ω ) exp ( 2iπ Ωi x ) dΩ ⎥
⎣ Rn
⎦
=
∫ f ( Ω ) F ⎡⎣exp ( 2iπ Ωix )⎤⎦ dΩ
Rn
=
∫ f ( Ω ) G ( Ω ) exp ( 2iπ Ωix ) dΩ
Rn
g admet donc une TF, qui est
g ( Ω) = G (Ω) f ( Ω)
(4)
c'est à dire que le filtre a pour effet de multiplier la TF du signal d'entrée par la fonction de filtrage. Dans (4)
apparaît un produit : calculons la TF-1 des deux membres et utilisons le théorème sur la TF des produits : avec
P (x) =
∫ G ( Ω ) exp ( 2iπ Ωix ) dΩ
Rn
(4) devient :
Filtres linéaires homogènes
(5)
3
g (x) = f (x) ∗ P (x) =
∫ f ( x ) P ( x − x ) dx
1
1
(6)
1
Rn
P, dont la TF est G, est appelée réponse percussionnelle (ou parfois, mais avec un risque d'ambiguité, "réponse
impulsionnelle") du filtre F : c'est d'après (6) la réponse du filtre à une entrée constituée d'un pic de Dirac δ(x).
II - ILLUSTRATIONS :
2.1 - Un exemple en électricité :
R
V (t)
1
C
V(t)
Problème : V(t) étant quelconque, trouver V1(t).
On constate facilement que la relation entre V1(t) et V(t) est un filtrage linéaire homogène. Cherchons sa
fonction de filtrage : si V ( t ) = exp ( 2iπν t ) , alors
V1 ( t ) =
1
exp ( 2iπν t ) ,
1 + 2iπν RC
et donc pour V(t) quelconque (mais admettant une TF) :
V (ν )
exp ( 2iπν t ) dν .
1 + 2iπν RC
R
V1 ( t ) = ∫
La relation précédente peut de façon équivalente être exprimée comme une convolution : il faut pour cela
calculer la réponse percussionnelle :
1
1
⎛
⎞
⎛ −t ⎞
P ( t ) = TF −1 ⎜
Hea ( t ) exp ⎜
⎟=
⎟,
⎝ 1 + 2iπν RC ⎠ RC
⎝ RC ⎠
où Hea(t) est la fonction d'Heaviside. Donc
⎛ −t ⎞
V1 ( t ) = V ( t ) ∗ Hea ( t ) exp ⎜
⎟.
⎝ RC ⎠
De même, à une constante dimensionnée près, l'impédance complexe d'un circuit électrique quelconque est la
fonction de filtrage qui permet de passer de la tension à ses bornes à l'intensité qui le traverse.
2.2 - Présentation empirique de la notion de réponse percussionnelle en optique :
Filtres linéaires homogènes
4
r
r’
z
système optique
plan objet
plan image
Considérons un point lumineux M situé dans le plan objet d'un instrument d'optique. Nous supposons
ici pour simplifier le grandissement est 1 entre un objet et son image de Gauss : les coordonnées x,y de M sont
les composantes du vecteur bidimensionnel r.
En raison des aberrations, de la diffraction, d'un éventuel défaut de mise au point, l'image d'un point
n'est pas un point mais une tache située au voisinage du point r du plan image. Désignons par O(r) l'objet. Un
objet deux fois plus lumineux donne une image deux fois plus lumineuse, et si deux objets sont présents
simultanément, l'image est la somme des images de chacun des points : il y a donc linéarité, dans des conditions
dont nous expliquerons plus loin les limites, car tel est précisément l'objet central du cours d'optique de Fourier.
Par ailleurs, si on déplace le point M de r à r1, sa tache image se déplace également de r à r1. En
première approximation, dans de nombreux instruments, la tache image ne se déforme pas beaucoup en se
déplaçant : il y a homogénéité dans le champ. Désignons par P(r') la tache image correspondant à un point
lumineux unitaire situé au centre (r=0). La tache image du point r est dans ces conditions P(r' - r).
La linéarité et l'homogénéité impliquent que l'instrument est un filtre linéaire homogène ; sa réponse
percussionnelle est P(r) et l'image s'exprime sous la forme :
I = P ∗O
(7)
c'est à dire encore
I ( r ′) =
∫ O ( r ) P ( r′ − r ) dr .
R2
Cependant, la présentation qui vient d'être faite est entachée d'un manque de rigueur considérable : le
mot "lumineux", les quantités physiques I et O n'ont pas été définis. Il se trouve que ces quantités physiques
dépendent de l'état de cohérence :
• en éclairage cohérent, O(r) désigne l'amplitude lumineuse complexe au niveau de l'objet, P(r) l'amplitude de
la tache image due à un objet d'amplitude δ(r), I(r) l'amplitude image. Les amplitudes dues aux différents
points s'ajoutent, il y a interférences entre elles et la relation (7) décrit la figure d'interférences des
amplitudes provenant des différents points de l'objet. L'étude de la diffraction montre d'ailleurs que la
relation (7) n'est vérifiée qu'en prenant en compte différents termes de phase qui se présentent dans
l'expérience de double diffraction (voir cours de prérequis). Le chapitre II de cette partie sera consacré à
l'examen détaillé de ce cas.
• En éclairage incohérent, O(r) désigne la luminance de l'objet, P(r) l'éclairement de la tache image due à un
objet de luminance δ(r), I(r) l'éclairement de l'image : les éclairements dûs aux différents points de l'objet
s'ajoutent, il n'y a pas d'interférences, la relation (7) décrit simplement la superposition incohérente des
différents points de l'objet. Le chapitre III sera consacré à l'examen détaillé de ce cas.
• En éclairage partiellement cohérent par contre, il n'y a pas linéarité, la relation (7) est fausse. Dans le
présent cours, ce cas ne sera qu'évoqué (voir chapitre III).
Filtres linéaires homogènes
5
2.3 – Exemple : limite géométrique d'un défaut de mise au point en éclairage incohérent :
Considérons à titre d'exercice un objet à pupille circulaire schématisé par une lentille mince de rayon a,
formant de l'objet incohérent O(r) une image dont la description peut valablement être faite en termes d'optique
géométrique. Les distances algébriques au centre optique OL de la lentille du plan objet et du plan de l'image de
Gauss sont respectivement d et d'-ε. Cependant, un défaut de mise au point ε a été commis, et on observe
l'image à la distance d'.
d
d'
z
Ο
L
a
ε
Dans l'approximation géométrique, l'image d'un objet δ(r) est un disque de rayon a
ε
d′ −ε
, d'où :
⎛ r (d ′ − ε ) ⎞
P ( r ) = A Dis ⎜
⎟,
⎝ aε
⎠
où la fonction de deux variables réelles Dis vaut 1 dans le disque unité, 0 ailleurs et où la constante A tient
compte de questions photométriques que nous n'examinerons pas ici. La TF de cette réponse percussionnelle est
la fonction de filtrage :
G ( Ω ) = A′
2J 1 ( z )
ε
, avec A' = constante et z = 2πΩa
.
d′ − ε
z
Remarque : G n'est pas à support borné, il y a un peu d'information transmise dans l'image même aux très hautes
fréquences. Cette propriété de notre modèle, non physique, est due à l'approximation de l'optique géométrique. λ
étant la longueur d'onde, vers quelle valeur de Ω les résultats ci-dessus cessent-ils d'être valables ?
Filtres linéaires homogènes
6
Chap. II. Filtrage des fréquences spatiales
en éclairage cohérent.
I – RAPPELS :
1.1 – Transmission d’un objet diffractant :
La notion de transmission (aussi appelée transmittance) en amplitude mérite commentaire. Un objet n’a
apriori pas intrinsèquement de transmission, car la modification de l’amplitude lumineuse lors du passage à
travers l’objet dépend à la fois de celui-ci et de l’onde d’éclairage. Dans l’approximation des objets « minces »
toutefois, l’effet de l’objet se limite à un facteur multiplicatif indépendant de cette dernière et on peut parler de
transmission en amplitude.
Plus précisément, considérons un objet diffractant un éclairage monochromatique de longueur d’onde
dans le vide λο, tel que le champ au point R en l’absence de l’objet s’écrive ao ( R ) . Les vecteurs sont notés en
caractères gras. Nous adoptons d’emblée une notation scalaire et supposons donc qu’il n’intervient aucun effet
anisotrope (ou « de polarisation »), ce qui est valable si les conditions suivantes sont réunies :
• l’objet n’est pas constitué de matériaux anisotropes
• l’incidence sur les surfaces est proche de la normale, faute de quoi les coefficients de Fresnel pour la
réflexion et la transmission sont anisotropes
• les détails de l’objet sont largement plus grands que la longueur d’onde, faute quoi ils diffractent à grand
angle et il apparaît des effets de polarisation.
La grandeur a, que nous appellerons l’amplitude lumineuse ou simplement la grandeur lumineuse,
représente alors une composante quelconque du champ électromagnétique E, B . Toutes les composantes ayant
en l’absence d’anisotropie des variations proportionnelles, il importe peu de savoir laquelle est représentée par
la notation a. a est un champ à quatre dimensions (trois dimensions d’espace et le temps). Lorsque, comme dans
le présent chapitre, nous considérerons uniquement l’éclairage monochromatique, la variable temps sera omise
et nous considérerons que la dépense en temps de tous les champs s’écrit e − iω t , facteur qui pourra lui-même être
omis dans la plupart des cas. (Note : dans ce cours d’optique de Fourier, la notation ω ne sera pas souvent
utilisée pour désigner, comme ici, la pulsation ; elle servira également à désigner la fréquence spatiale).
Ces conditions d’utilisation de la notation scalaire, appelées aussi « approximation scalaire »,
impliquent que les faisceaux sont peu ouverts autour d’une direction privilégiée, que nous appellerons l’axe
optique et noterons z. L’axe des lentilles lui sera en général parallèle. Réservant alors, pour les vecteurs
désignant la position d’un point dans l’espace dans un repère donné, les notations en majuscules pour des
vecteurs à trois dimensions et les notations en minuscules pour des vecteurs à deux dimensions dans un plan
perpendiculaire à z spécifié, nous pouvons réécrire ao ( R ) = ao ( r, z ) .
Introduisons maintenant l’objet étudié entre les plans z = − z1 ( z1 < 0 ) et z = 0 . Le champ en présence
de l’objet s’écrit a ( r, z ) . Ce champ résulte de la diffraction de l’onde d’éclairage par l’objet. La question de la
transmission consiste à examiner quel sens on peut donner à l’expression :
a ( r , 0 ) = t ( r ) ao ( r, 0 )
(1)
Apriori, le champ en tout point de l’espace est modifié par la présence de l’objet et cette modification
dépend de l’onde d’éclairage. Sans même mentionner la difficulté qui apparaît aux points du plan z=0 où
l’amplitude d’éclairage est nulle alors que l’amplitude en présence de l’objet n’est pas nulle, la grandeur t ainsi
définie dépend de ao et n’est alors pas d’un grand intérêt. C’est notamment le cas lorsque l’épaisseur de l’objet
permet des effets d’ombrage, qui peuvent avoir une interprétation purement géométrique comme l’effet de
« stores vénitiens » si l’objet contient des couches opaques parallèles, ou bien nécessiter le recours à la
diffraction. Un réseau de diffraction (ou un hologramme), par exemple, présente des effets d’épaisseur
notoires 1 , c’est à dire que l’orientation de l’onde incidente a un effet majeur sur son efficacité de diffraction, si
1
H. Kogelnik, Bell Syst. Tech. J. 48 (1969) 2909, voir aussi S. Mallick, « effets d’épaisseur dans les réseaux »,
collection de la SFO, volume 1, « optoélectronique », EDPSciences, Les Ulis 1989, pp 95-111.
Filtrage spatial cohérent
7
sa période Λ et son épaisseur e obéissent à la condition
considéré.
λe
> 1 . λ est la longueur d’onde dans le milieu
Λ2
x
x
ao(r,0)
a(r,0)
z
Cependant, il existe aussi des cas où cet effet d’épaisseur n’intervient pas, par exemple pour les réseaux
dont la période et l’épaisseur n’obéissent pas à la condition précédente. Dans ce cas, la fonction t est
indépendante de ao, ce qui revient à dire que t est caractéristique de l’objet. C’est alors que la transmission prend
tout son sens. Dans la suite, nous aurons régulièrement recours à cette notion en considérant le cas d’objets
minces, lorsqu’on aura à considérer des objets épais il conviendra de se rappeler que t dépend de l’onde
incidente.
Cas particulier important : la lentille mince. Si sa focale image vaut f, on vérifie aisément qu’à une
constante de phase pure près représentant le déphasage dû à la traversée de son épaisseur sur l’axe, sa
transmission s’écrit :
⎛ −iπ r 2 ⎞
⎛ −ikr 2 ⎞
2π
tL ( r ) = exp ⎜
(2)
⎟ = exp ⎜
⎟ avec k =
λ
⎝ λf′ ⎠
⎝ 2f ' ⎠
Cette expression s’applique à une lentille stigmatique et dans l’approximation de Fresnel. Elle ne rend pas
compte de la limitation spatiale de la lentille par sa pupille. Pour une lentille épaisse, la variation de t avec
l’onde incidente constitue une forme d’aberration. Tout comme pour λ, on désigne par k la norme du vecteur
d’onde dans le milieu considéré et par ko sa norme dans le vide.
1.2 – Diffraction de Fraunhofer :
L’amplitude dans le plan de sortie d’un objet mince de transmission t éclairé par une amplitude ao est
donc ao t. Si ao est une onde sphérique convergeant en C à la distance (algébrique) – d du centre de l’objet, la
transformation de Fresnel de l’amplitude ao t fournit dans le plan de front de C le résultat de la diffraction de
Fraunhofer, c’est à dire la transformée de Fourier de la transmission objet (voir « prérequis » sur la diffraction).
L’origine est choisie au centre de l’objet.
a ( ρ, −d ) = Fresnel− d ⎡⎣ a ( r, 0 ) ⎤⎦
=
⎛
r2 ⎞
−i
exp ( −ikd ) a ( r, 0 ) ∗ exp ⎜⎜ ik
⎟⎟
λ ( −d )
⎝ 2 ( −d ) ⎠
=
⎛
⎤
i exp ( −ikd ) ⎡
⎛ r2 ⎞
r2 ⎞
⎟⎟
⎢ A exp ⎜ ik
⎟ t ( r ) ⎥ ∗ exp ⎜⎜ ik
λd
⎝ 2d ⎠
⎣
⎦
⎝ 2 ( −d ) ⎠
=
⎛ −ikρ 2
iA
exp ( −ikd ) exp ⎜
λd
⎝ 2d
⎞ ⎛ −ρ ⎞
⎟ t ⎜
⎟
⎠ ⎝ λd ⎠
Filtrage spatial cohérent
(3)
8
ρ(ξ,η)
r(x,y)
-d
O
z
t(r)
II – FILTRAGE DES FREQUENCES SPATIALES ET DOUBLE DIFFRACTION :
2.1 – Schéma de double diffraction :
On considère le montage suivant :
x’
ξ=λμd ’
x
d
d’
0
objet t(r)
z
pupille p (ρ )
lentille
image
2.2 – Expression de l’image sans limitation pupillaire :
considérons pour l’instant le cas fictif où la pupille est illimitée et ne diffracte donc pas : la fonction p
mentionnée sur la figure vaut 1 partout. Suivons le cheminement de l’amplitude complexe du plan objet au plan
image, cheminement qui bien entendu commence de façon identique à celui du paragraphe précédent.
⎛ r2 ⎞
(4a)
En z=0 (plan de sortie de l’objet) en l’absence de l’objet : ao ( r, 0 ) = A exp ⎜ ik
⎟
⎝ 2d ⎠
⎛ r2 ⎞
En z=0 en présence de l’objet : a ( r, 0 ) = A exp ⎜ ik
(4b)
⎟ t (r )
⎝ 2d ⎠
Première diffraction de Fraunhofer : juste avant la pupille, dans le plan z=-d (d est négatif), suivant
⎛
ρ 2 ⎞ ⎛ −ρ ⎞
iA
l’équation (3) : ao ( ρ, −d ) =
exp ⎜ −ikd − ik
(4c)
⎟t ⎜
⎟
2d ⎠ ⎝ λ d ⎠
λd
⎝
(par analogie avec les notations précédentes, l’indice o indique que cette amplitude est évaluée avant la lentille,
ou en l’absence de lentille)
Filtrage spatial cohérent
9
Après traversée de la lentille : a ( ρ, − d ) =
⎛
⎛
ρ 2 ⎞ ⎛ −ρ ⎞
ρ2 ⎞
iA
ik
−
exp ⎜ −ikd − ik
exp
⎟t ⎜
⎜
⎟,
⎟
2d ⎠ ⎝ λ d ⎠
2f '⎠
λd
⎝
⎝
qui en utilisant la formule des lentilles minces se ramène à
⎛
ρ 2 ⎞ ⎛ −ρ ⎞
iA
a ( ρ, − d ) =
exp ⎜ −ikd − ik
⎟t ⎜
⎟
2d ′ ⎠ ⎝ λ d ⎠
λd
⎝
(4d)
Le terme de phase apporté par la lentille assure la conjugaison entre objet et image de la façon suivante : il y a
maintenant identité terme à terme entre les équations (4b) et (4d), l’amplitude de l’onde d’éclairage sphérique
convergeant à la distance –d derrière l’objet de l’équation (4a) étant remplacée par celle d’une onde d’éclairage
⎛
ρ2 ⎞
iA
exp ⎜ −ikd − ik
sphérique convergeant à la distance d’ derrière la pupille,
⎟ . La transmission de l’objet qui
λd
2d ⎠
⎝
⎛ −ρ ⎞
apparaît en (4b) est pour sa part remplacée par la fonction de ρ t ⎜
⎟ . La propagation entre le plan de la
⎝ λd ⎠
pupille et le plan image constitue donc une seconde diffraction de Fraunhofer, d’où évidemment le nom de
montage de double diffraction donné à ce montage et à ses dérivés. Cette seconde diffraction de Fraunhofer
fournit dans le plan image :
⎛
r ′2 ⎞ iA
r′
−i
⎛ −ρ ⎞
a ( r ′, −d + d ′ ) =
exp ⎜ ikd ′ + ik
exp ( −ikd ) TF en ρ de t ⎜
, ce qui donne
⎟
⎟ à calculer au point
′
′
2d ⎠ λ d
λd
λd ′
⎝ λd ⎠
⎝
ao ( r ′, d ′ − d ) =
⎛
r ′ 2 ⎞ ⎛ dr ′ ⎞
Ad
exp ⎜ ik ( d ′ − d ) + ik
⎟t ⎜
⎟
d′
2d ′ ⎠ ⎝ d ′ ⎠
⎝
(4e)
L’équation (4e), résultant d’un calcul de diffraction, est en fait entièrement compatible avec l’optique
géométrique : elle décrit en amplitude complexe l’image géométrique de l’objet à travers un système
stigmatique. L’amplitude de l’objet est modifiée par rapport à l’objet en trois points :
• on trouve à une version homothétique de la transmission de l’objet, le rapport d’homothétie d’/d étant le
grandissement
• l’amplitude de l’onde d’éclairage est diminuée dans le même rapport, l’énergie étant à répartir sur l’aire
occupée par l’image
• la phase est retardée d’une quantité due à la propagation d’une distance d’-d sur l’axe et contient un terme
sphérique divergent de rayon d’ correspondant à la forme de l’onde d’éclairage seule.
Il est normal que dans ce cas diffraction et optique géométrique donnent les mêmes résultats puisque qu’il n’y a
pas eu diffraction au sens de la limitation des faisceaux par la pupille.
⎛ dr ′ ⎞
t ′ ( r′) = t ⎜
⎟ , la forme attendue de l’image géométrique, jouera un grand rôle dans la suite, elle est
⎝ d′ ⎠
la référence à laquelle comparer l’image obtenue en présence de diffraction.
2.3 – Expression de l’image à travers une pupille quelconque :
Tout système a en fait une pupille finie. De plus, on peut, intentionnellement ou non, imposer des
variations d’amplitude et de phase dans le plan de la lentille en plus du terme de phase sphérique de l’équation
(2) qui en décrit le rôle principal. C’est pourquoi nous considérerons maintenant que la lentille, compte tenu de
⎛
ρ2 ⎞
sa pupille, a pour transmission p ( ρ ) tL ( ρ ) = p ( ρ ) exp ⎜ −ik
⎟ , la fonction p, appelée fonction pupille,
2f ′⎠
⎝
contenant les effets diffractants à proprement parler. Dans le cas essentiel, p se ramène à la fonction
caractéristique de la pupille, qui vaut 1 dans la pupille et 0 ailleurs, décrivant ainsi la limitation de faisceau qui
empêche la lumière de passer en dehors d’une certaine région appelée précisément pupille.
Le calcul de l’amplitude complexe dans l’image est identique au précédent, bien sûr, jusqu’à l’équation
(4c). Le rôle de la fonction pupille intervient ensuite pour donner
⎛
ρ 2 ⎞ ⎛ −ρ ⎞
iA
exp ⎜ −ikd − ik
(4d’)
en sortie de pupille, a ( ρ, −d ) =
⎟t ⎜
⎟ p (ρ )
2d ′ ⎠ ⎝ λ d ⎠
λd
⎝
et dans l’image, en tenant compte du fait que la TF d’un produit est le produit de convolution des TF, tous
calculs faits :
Filtrage spatial cohérent
10
ao ( r ′, d ′ − d ) =
⎛
r ′2 ⎞ ⎡
Ad
1
⎛ r′ ⎞⎤
exp ⎜ ik ( d ′ − d ) + ik
⎟ ⎢t ′ ( r ′ ) ∗ 2 2 p ⎜
2d ′ ⎠ ⎣
λ d ′ ⎝ λ d ′ ⎟⎠ ⎥⎦
d′
⎝
(4e’)
2.4 – Formalisme du filtrage cohérent :
Le résultat essentiel est contenu dans le crochet qui termine l’équation (4e’) : au lieu de l’image
géométrique t’, l’amplitude dans l’image résulte d’un filtrage des fréquences spatiales de cette dernière.
La réponse percussionnelle n’est autre que l’image du point central, figure de diffraction en amplitude
complexe par la pupille :
1
⎛ r′ ⎞
P ( r ′ ) = 2 2 p ⎜
(5)
λ d ′ ⎝ λ d ′ ⎠⎟
L’entrée est l’image géométrique t’ de l’objet, la sortie est l’image t’d en présence de diffraction,
toutes deux mesurées en amplitudes complexes. La relation de convolution s’écrit donc :
(6)
td′ ( r ′ ) = t ′ ( r ′ ) ∗ P ( r ′ )
La fonction gain, appelée fonction de transfert cohérente et notée Gc ou FTC, TF de la réponse
percussionnelle, n’est autre que la pupille elle-même mesurée en fréquences spatiales :
(7)
Gc ( ω ) = FTC ( ω ) = p ( −λ d ′ω )
Cette relation très simple, où la fréquence spatiale bidimensionnelle ω est la variable conjuguée de la
variable d’espace r ′ dans l’espace image, montre le rôle simple et direct que joue la pupille. Dans le plan de la
pupille, où se forme la TF de l’objet, on peut agir directement sur chaque fréquence spatiale, par exemple en
l’atténuant ou en la déphasant.
•
•
Les limitations de ce modèle viennent
des non-linéarités optiques, qui se produisent sous forte intensité, en pratique uniquement dans les lasers
de la perte d’invariance par translation liée à l’épaisseur des objets et des lentilles et aux approximations
dans l’expression de la diffraction de Fraunhofer par une TF.
Malgré ces limitations, l’effet essentiel, très intuitif, se trouve dans cette propriété de filtrage des
fréquences spatiales, qui permet de se faire une idée très utile et physique de la formation des images. Tous ces
concepts ont été introduits et ont fait l’objet de premières applications entre 1940 et 1955 grâce aux travaux de
Duffieux, de Maréchal et Croce et de O’Neill.
Tableau récapitulatif :
transmission objet t ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎯
→ t ′ ⎯⎯⎯⎯
→ td′ = t ′ ∗ P
diffraction
imagerie géométrique
où P est la tache de diffraction par la pupille
et dans l’espace de Fourier :
td′ = t′p
où p est simplement la transmission de la pupille.
2.5 – Autres formulations possibles :
•
•
Il existe d’autres façons de présenter ces phénomènes :
au lieu de présenter le filtrage des fréquences spatiales dans l’espace image après imagerie géométrique
parfaite de l’objet, on peut présenter le filtrage des fréquences spatiales dans l’espace objet suivi d’une
imagerie géométrique parfaite ; s’il existe des espaces images intermédiaires, on peut aussi travailler sur les
images intermédiaires ;
on peut enfin travailler dans un espace de coordonnées réduites, dites coordonnées de Seidel et que l’on
peut se représenter intuitivement comme des coordonnées angulaires vues de la pupille du système, où le
grandissement de tout système optique est 1 : dans ce cas, il n’y a pas de facteur d’échelle entre l’espace
objet et l’espace image. Les versions précédentes du présent polycopié étaient rédigées en coordonnées de
Seidel.
Filtrage spatial cohérent
11
III – L’INSTRUMENT STIGMATIQUE A PUPILLE CIRCULAIRE :
3.1 - Fonction de transfert, réponse percussionnelle :
La pupille p est réduite à un disque uniforme de rayon a, décrit par la fonction disque Dis :
1 si x 2 + y 2 < 1
⎛ρ⎞
, et p ( ρ ) = Dis ⎜ ⎟
Dis ( x, y ) =
0 sinon
⎝a⎠
⎛ ωλ d ′ ⎞
La F.T.C. est donc Gc ( ω ) = Dis ⎜
⎟
⎝ a ⎠
FTC=Gc
a/λd
1
O
ν
μ
La réponse percussionnelle, amplitude image pour un point situé au centre de l’objet, est à une
constante près la tache de diffraction de Fraunhofer de la pupille, c’est à dire la TF de la fonction disque :
a r′
π a 2 2J ( z )
P ( r′) = 2 2 1
avec z = 2π
.
z
λd ′
λ d′
L’image d’un point, en éclairement, est le carré de la fonction précédente : on sait qu’il est appelé tache
d’Airy. Il convient cependant de remarquer que c’est l’amplitude qui intervient pour la formation d’image en
éclairage cohérent, et non l’éclairement.
3.2 - Images de quelques objets particuliers :
a) Point brillant :
Considérons un objet réduit à un « point » brillant uniforme d’aire s, dont les dimensions ramenées à
λd '
l’image sont petites par rapport à
:
a
l’image s’exprime td′ ( r ′ ) = ∫ t ′ ( r1′) P ( r ′ − r1′) dr1′ P ( r ′ ) ∫ t ′ ( r1′) dr1′ = sP ( r ′ )
(s)
(s)
L’éclairement est donc une tache d’Airy :
⎡ π a2 2J ( z ) ⎤
td ( r ′ ) = ⎢ s 2 2 1
⎥
z ⎦
⎣ λ d′
on obtient ainsi une tache d’Airy de hauteur proportionnelle au carré de l’aire de l’objet ; cette dépendance est
parfois utilisée pour une détermination relative d’aires de particules non résolues par un instrument d’optique :
c’est la technique dite d’« ultramicroscopie ».
2
2
Filtrage spatial cohérent
12
b) Point noir :
soit maintenant un « point » opaque sur fond clair : considérons l’objet décrit par la transmission en
amplitude (toujours ramenée à l’espace image :
t ′ ( r ′ ) = to ⎣⎡1 − s ( r ′ ) ⎦⎤
où s est une fonction qui vaut 1 dans un domaine d’aire s de dimensions petites par rapport à
λd ′
a
et 0 ailleurs -
c’est donc la fonction caractéristique du point noir.
⎡
⎤
⎡
π a2 2J ( z ) ⎤
td′ ( r ′ ) = to ⎢ ∫ P ( r1′) dr1′ − sP ( r ′ ) ⎥ = to ⎢1 − s 2 2 1
⎥
z ⎦
λ d′
⎣
⎣⎢ R2
⎦⎥
L’éclairement, encore, est le carré du module de la quantité précédente. On voit que tant que les
dimensions du point noir ne peuvent être résolues, c’est le contraste et non la taille de son image qui croit quant
s croit.
(Courbes tracées pour s s
π a2
= 0,1 et 0,5 = 0,1 et 0,5).
λ 2 d ′2
c) Deux points brillants voisins :
en ordonnée
0
X
l'éclairement
0
X
0
Filtrage spatial cohérent
X
0
X
13
On considère un objet constitué exclusivement de deux points voisins, de même amplitude, en phase,
1, 22 λ d ′
. (Les courbes présentées correspondennt à ε = 2 ; 1,4 ; 1,2 ; 0,5 et 0, ces deux dernières
séparés de ε
a
sur la même courbe, et sont toutes normalisées à 1 au maximum). Deux points voisins sont vus séparés à l’œil si
leur distance est inférieure à une certaine limite qui dépend de l’observateur et des conditions d’observation
λd ′
. D’après le critère, arbitraire mais correct en ordre de grandeur, de Lord
mais qui est de l’ordre de
a
Rayleigh, la limite de résolution correspond à la distance entre maximum central et premier zéro de la tache
1, 22 λ d ′
.
d’Airy, soit
a
d) Grille ou réseau :
considérons l’objet périodique décrit par la série de Fourier :
⎛
x′ ⎞
td′ ( r ′ ) = ∑ cn exp ⎜ 2iπ n ⎟
p⎠
n∈Z
⎝
où p est le pas du réseau (mesuré dans l’espace image comme précédemment) et x’ la direction perpendiculaire
aux traits. Pour trouver l’image, plutôt que d’effectuer le calcul de la convolution de t’ par P, il est commode de
passer par la TF et d’exprimer l’image comme la TF-1 de t′ ( ω ) Gc ( ω ) , avec
⎛
u ⎞
t′ ( ω ) = ∑ cnδ ⎜ ω − n x′ ⎟
p ⎠
n∈Z
⎝
où ux’ désigne le vecteur unitaire de la direction x’. On voit que seuls les ordres tels que
n
a
<
passent à
p λd ′
travers la FTC, d’où l’image :
⎛
u ⎞
td′ ( ω ) = ∑ cnδ ⎜ ω − n x′ ⎟ .
p ⎠
ap
⎝
n<
λd ′
ξ=λμd’
3
2
1
0
-1
-2
-3
écart entre deux
ordres : λd’/p
L’interprétation physique à partir des ordres du réseau qui traversent ou ne traversent pas la pupille est
évidente : l’image résultante est périodique de période p (pourvu que ap > λd'), mais ne contient pas
d’harmonique supérieur à λd’/a c’est à dire pas de hautes fréquences : elle est lissée.
La comparaison entre les cas de deux points et de l’objet périodique fait apparaître la façon rigoureuse
de traiter de la résolution d’un instrument d’optique : si on raisonne dans l’espace objet avec deux points
voisins, il n’y a pas de critère rigoureux ; en principe, l’image de deux points n’est jamais identique à l’image
d’une seul point, sauf s’ils sont confondus bien sûr. Il y a donc en principe toujours moyen de les séparer, même
si en pratique la différence n’est évidemment guère accessible à la mesure s’ils sont très proches. Par contre,
Filtrage spatial cohérent
14
dans l’espace de Fourier, la transition est claire : les fréquences de module inférieur à ω c =
a
λd ′
passent sans
déformation, les autres ne passent rigoureusement pas : ωc est la fréquence de coupure, elle est strictement
λd ′
, mais on voit que cette limite s’applique aux
définie. A ce titre, la limite de résolution de l’instrument est
a
périodicités, non aux distances entre points isolés.
IV - EXPERIENCES D’ABBE ET VARIANTES :
4.1 - Principe :
Le filtrage des fréquences spatiales permet non seulement d’analyser la formation de l’image, mais
aussi de la modifier en intervenant sur la transmission de la pupille : c’est le principe de l’expérience d’Abbe,
qui ne diffère du schéma de filtrage des fréquences spatiales décrit plus haut que par l’utilisation de pupilles
variées. Dans l’expérience d’Abbe originale, la pupille est composée de trous transparents sur fond opaque et la
FTC se réduit donc à la fonction caractéristique de ces trous. Examinons maintenant les possibilités apportées
par des pupilles plus complexes.
4.2 - Strioscopie et contraste de phase :
a) Filtrage par une pastille centrale :
Considérons un objet t’ présentant une forte composante continue to :
t ′ ( r ′ ) = to + τ ′ ( r ′ ) .
Ce cas de l’objet faiblement contrasté est fréquent et important. La TF s’écrit
t′ ( ω ) = toδ ( ω ) + τ′ ( ω )
x
ξ
pastille
c’est à dire qu’elle comporte un pic intense à la fréquence nulle, entouré du spectre de la modulation τ′ ( ω ) . Or,
en général, dans un tel objet, c’est la modulation τ qui constitue la partie intéressante, et sa visibilité est affectée
par la composante continue. Comme cette composante continue se trouve regroupé au centre du plan de Fourier,
donc en ρ = 0 dans le plan de diffraction de Fraunhofer, il est possible de profiter du fait que dans le montage
de double diffraction la TF de l’objet est physiquement accessible dans la pupille pour agir directement sur la
composante continue : tel est le principe commun à la strioscopie et au contraste de phase. Dans ces deux
méthodes, on place au centre de la pupille une très petite pastille de transmission po. Nous calculerons son effet
en faisant l’hypothèse simplificatrice suivante : la pastille recouvre le pic central to δ(ω) mais est assez petite
pour ne pratiquement pas affecter τ (ω).
Supposons en outre la pupille assez grande par rapport au spectre de l’objet pour ne pas limiter τ (ω). Dans ce
cas,
Filtrage spatial cohérent
15
•
en l’absence de pastille, t′ ( ω ) Gc ( ω ) = t′ ( ω ) et donc td′ ( r ′ ) = t ′ ( r ′ ) et l’éclairement vaut à une constante
près t ′ ( r ′ ) = to + τ ( r ′ ) , qui est peu contrasté,
2
•
2
en présence de pastille, t′ ( ω ) Gc ( ω ) = po toδ ( ω ) + τ ( ω ) et donc td′ ( r ′ ) = po to + τ ′ ( r ′ ) et l’éclairement vaut
à une constante près td′ ( r ′ ) = po to + τ ( r ′ ) ,
2
2
Montrons maintenant sur quelques exemples qu’il en résulte une image plus contrastée si la pastille est bien
choisie.
b) Exemples :
1° - Strioscopie complète : po = 0, donc l’éclairement vaut τ ′ ( r ′ ) . L’image est beaucoup moins lumineuse
2
mais beaucoup plus contrastée ; on perd toute information sur la phase de τ. La seule limitation à la détection de
très petits contrastes objets est le manque de lumière.
2° - Examinons le cas d’un objet périodique d’amplitude et de phase à profil sinusoïdal, toujours de contraste
2π x′
, où to, τo, φ sont des constantes réelles, τo « to.
très faible : t ′ ( r ′ ) = to + τ o eiφ cos
p
Dans le cas de la strioscopie complète, quelle que soit la phase de la modulation, on observe τ o2 cos 2
2π x ′
.
p
Dans le cas d’un objet modulé en phase uniquement (φ = π/2) observé en contraste de phase : la pastille déphase
la composante continue de π/2 (Zernike 1935), po = i, d’où un éclairement
2π x′ 2
2π x ′
to2 + 2toτ o cos
+ τ o cos 2
p
p
2π x ′
p
l’image est donc beaucoup plus contrastée, on a accès au signe du déphasage, et on n’a pas perdu de lumière.
3° - Plus généralement, si t’ est un objet de phase pure : t ′ ( r ′ ) = exp ⎡⎣iφ ( r ′ ) ⎤⎦ , l’éclairement en l’absence de
alors que sans pastille on observerait to2 + τ o2 cos 2
pastille est uniforme, l’objet est invisible. La composante continue to est la moyenne spatiale de t’ et on peut
réécrire l’objet sous la forme t ′ ( r ′ ) = to + exp ⎡⎣iφ ( r ′ ) ⎤⎦ − to . On observe avec le contraste de phase
{
{
}
}
2
ito + exp ⎡⎣iφ ( r ′ ) ⎤⎦ − to , qui n’a pas d’expression générale plus simple mais qui n’est pas une constante :
l’objet de phase est donc visualisé.
c) Méthodes dérivées :
A la strioscopie et au contraste de phase s’apparentent respectivement les méthodes du couteau de
Foucault et de la lame de Hilbert, où les pastilles sont remplacées par des demi-plans absorbants ou déphasants
bien centrés.
Inventée par Léon Foucault dès 1858 et très couramment employée aujourd’hui encore, notamment
pour examiner les objets de phase que sont les grands instruments à profil légèrement faux, la méthode du
couteau de Foucault est susceptible d’une interprétation qualitative simple et juste en termes d’optique
géométrique comme le montre la figure ci-dessous : les rayons sont déviés vers le bas et absorbés par le couteau,
ou au contraire vers le haut suivant la pente locale du défaut de surface d’onde. Les parties de l’objet dont les
rayons sont masqués créent des zones sombres dans l’image. En revanche, l’analyse quantitative requiert le
recours à la diffraction et au filtrage des fréquences spatiales.
Filtrage spatial cohérent
16
x
r
x’
z
couteau
4.3 - Aberrations et défaut de mise au point :
Nous avons jusqu’à présent considéré uniquement le cas d’une pupille, limitée par un diaphragme par
exemple circulaire, sur laquelle on ajoute un masque fabriqué en fonction d’une opération à réaliser sur l’image.
Mais une situation très différente peut également être analysée avec le formalisme du filtrage des fréquences
spatiales : il s’agit du cas fréquent où l’objectif d’imagerie n’est pas parfait. Dans l’espace image, l’onde
provenant d’un point objet n’est alors plus une onde sphérique convergent vers le centre l’image géométrique ;
elle s’écarte de cette sphère idéale d’une différence de marche qui, mesurée au niveau de la pupille, vaut Δ(ρ).
L’amplitude complexe sur la pupille se trouve ainsi multipliée par exp[i2π Δ(ρ)] et ce défaut peut donc être
analysé comme une fonction pupille p(ρ) de module unité et de phase nnon uniforme. On reste dans le cas du
filtrage des fréquences spatiales à condition que Δ(ρ) ne dépende pas du point objet R.
C’est le cas des surfaces optiques présentant des défauts de poli au voisinage de la pupille : la légère
diffusion produite par les défauts de poli se manifeste par une convolution sur l’image.
C’est aussi le cas de certaines aberrations élémentaires. Le défaut de mise au point (aberration d’ordre
1) et l’aberration de sphéricité ne dépendent rigoureusement pas du point objet R. Les autres aberrations sont
des aberrations de champ et en dépendent, si bien que le formalisme du filtrage des fréquences spatiales ne
s’applique que de façon limitée, mais en découpant l’objet en zones où le défaut peut être considéré comme
presque constant on parle couramment de réponse percussionnelle et de fonction de transfert locales. Dans tous
les cas, cette approche se prête à des calculs de diffraction pour l’étude des aberrations.
V - FONCTION DE TRANSFERT COHERENTE DE L’ESPACE LIBRE :
5.1 - Relations générales :
Revenons aux bases de la diffraction de Fresnel à travers l’espace libre, sans onde sphérique
convergente ni lentille. La diffraction de Fresnel elle-même se présente comme une convolution : tout comme le
montage de double diffraction, l’espace libre est un filtre linéaire homogène ! On peut écrire dans le cas de
l’approximation de Fresnel :
⎛
−i
r2 ⎞
exp ⎜ ikz + ik ⎟
a ( r, z ) = a ( r, 0 ) ∗ψ z ( r ) avec ψ z ( r ) =
λz
2z ⎠
⎝
et, par TF par rapport à r’, en notant tourjours ω la fréquence spatiale bidimensionnelle,
z⎞
⎛
a ( ω, z ) = a ( ω, 0 ) Gc ( ω, z ) avec Gc ( ω, z ) = exp ⎜ ikz − 2iπ 2 ω 2 ⎟
k⎠
⎝
Filtrage spatial cohérent
17
5.2 - Application : l’effet Talbot :
Si, pour une valeur de z donnée, un objet t ( r ) est tel que sa TF t ( ω ) ne prenne de valeur non nulle
que pour des fréquences obéissant à la relation
π zω 2 = nk , où n est entier,
la relation précédente montre que a ( r, z ) = a ( r, 0 ) : pour les objets dont la TF est concentrée sur les cercles de
rayons
2n
λz
, ce qui est en particulier le cas de tout objet périodique de période
λz
, p entier. Ce phénomène
2p
est appelé auto-imagerie.de Talbot (H.F. Talbot l’a décrit dès 1836).
VI - CONDITIONS DE COHERENCE :
Tout ce qui précède est valable pour une source ponctuelle monochromatique. D’une façon générale :
- si la source est ponctuelle mais non monochromatique, calculer l’éclairement (et non l’amplitude!) de chaque
composante monochromatique et additionner les éclairements,
- si la source est monochromatique mais non ponctuelle, composée de plusieurs points mutuellement
incohérents, calculer l’éclairement dû à chaque point et additionner les éclairements.
Avec une source d’étendue spatiale et spectrale faibles, il peut arriver que la cohérence soit suffisante
pour que les considérations de ce chapitre restent valables. En particulier, examinons une expérience de double
diffraction dans laquelle la pupille n’a pas de détail plus petit que δρ :
- cohérence temporelle : la fréquence spatiale ω de l’objet, au lieu de former un point sur la pupille (plan de
Fourier), forme un petit spectre s’étendant de λ1ω à λ2ω, où λ1 et λ2 sont les longueurs d’onde extrêmes
émises par la source ; remarquons bien que le mot spectre est ici utilisé au sens de spectre chromatique, et non
de spectre des fréquences spatiales, comme dans presque tout ce cours ; si alors |λ1 - λ2| ω « δρ même pour la
plus haute fréquence spatiale ω de l’objet, il y a filtrage des fréquences spatiales comme en éclairage cohérent ;
- cohérence spatiale : l’onde d’éclairage, au lieu de converger en un point au centre de la pupille, y converge en
formant l’image de la source non ponctuelle ; si la plus grande dimension de cette image est faible devant δρ, il
y a filtrage des fréquences spatiales comme en éclairage cohérent.
Ces deux derniers cas peuvent être dits quasi-cohérents. On les rencontre par exemple en strioscopie
avec une source petite mais non ponctuelle, cas très fréquemment utilisé dans les microscopes commerciaux, et
si nécessaire un filtre interférentiel dans le dispositif d’éclairage.
Filtrage spatial cohérent
18
Chap. III. Filtrage des fréquences spatiales
en éclairage spatialement incohérent.
Le filtrage cohérent est un formalisme élégant et en même temps très physique grâce à l’apparition dans
l’espace réel du plan des fréquences spatiales. Dans le cas d’un éclairage spatialement incohérent, un
formalisme très analogue s’applique, et son domaine d’utilisation pratique est sensiblement plus vaste même si
elle est soumise en gros aux mêmes approximations, mais on perd l’agrément de l’accès physique au plan des
fréquences spatiales. Comme dans le chapitre précédent, nous choisissons ici de rapporter la description de
l’image en présence de diffraction à l’idéal inaccessible de l’image géométrique stigmatique, que la limitation
des faisceaux (et la finitude de la longueur d’onde) empêchent d’exister. Pour montrer dans quel cas il y a bien
filtrage linéaire homogène, nous revenons d’abord sur quelques notions de base de géométrie et de photométrie.
I - RELATIONS FONDAMENTALES :
1.1 – Rappels :
a) Angle solide :
Soit un cône de sommet O et dont la directrice est une courbe fermée quelconque de l’espace. On
appelle angle solide l’aire découpée par ce cône sur la sphère de sommet O et de rayon 1. L’angle solide est
donc une grandeur sans dimension et l’angle solide sous lequel d’un point on voit l’espace entier est 4π. Nous
définirons ici l’angle solide comme une grandeur arithmétique.
•
•
Applications :
angle solide Ω sous lequel, d’un point O, on voit un disque de centre C et de rayon a et dont l’axe est CO :
⎛ a ⎞
on pose α = arctg ⎜
⎟ . Le résultat est
⎝ OC ⎠
Ω = 2π (1 − cos α ) ,
(1)
il se démontre en intégrant de 0 à θ l’aire de l’anneau de sphère compris entre les angles α et α+dα ;
angle solide différentiel dΩ sous lequel, d’un point O, on voit un élément d’aire ds centré au point P et tel
que l’angle de OP avec la normale à l’élément d’aire soit θ.
θ
ds
O
P
On projette l’aire ds sur le plan perpendiculaire à OP passant par P, puis on projette encore sur la sphère de
d 2 s cos θ
rayon unité centrée en O, ce qui donne en assimilant la sphère à son plan tangent : d 2Ω =
, avec d=OP.
d2
• Etendue géométrique élémentaire :
Considérons maintenant deux éléments d’aire, ds centré en P et dσ centré en O, tels que les angles entre
OP et leurs normales soient respectivement θ et ψ. La relation précédente montre qu’en appelant d2Ω l’angle
solide sous lequel, de O, on voit d2s et d2Ω’ l’angle solide sous lequel, de P, on voit d2σ, on a :
d 2 s cos θ d 2σ cosψ
= d 2Ω d 2σ cosψ = d 2 Ω′ d 2 s cos θ .
d 4G =
d2
Cette quantité est appelée étendue géométrique élémentaire sous-tendue par d2s et d2σ.
Filtrage des fréquences spatiales en éclairage spatialement incohérent.
19
b) Photométrie :
Le mot « flux » lumineux désigne la puissance qui traverse une surface donnée. Le flux se mesure en
watts si l’on décide d’utiliser les grandeurs physique, et en lumens si on décide d’utiliser les unités spécialement
introduites pour tenir compte de la sensibilité spectrale de l’œil (au maximum de cette dernière, vers λ=550 nm,
1 W correspond à 683 lumens 1 ).
Pour introduire le fait important que l’énergie lumineuse émise par une source ou se propageant dans
l’espace n’est pas isotrope, mais a une répartition angulaire, il est utile de ramener l’analyse photométrique à la
luminance. La luminance d’une source désigne le flux émis au point M de cette surface dans une direction (D)
repérée par les angles ψ et ϕ par unité d’angle solide et par unité d’aire de la source projetée normalement à la
direction (D). ψ désigne l’angle entre la normale à la source et la direction (D) alors que ϕ désigne l’angle entre
une direction origine arbitraire sur le plan de la source et la projection de (D) sur ce plan.
ψ
dσ
θ
D
dΩ
M
ds
ϕ
En équation, cela donne :
d 4φ = L ( M ,ψ , ϕ ) cosψ d 2σ d 2 Ω = L ( M ,ψ , ϕ ) d 4G
(1)
Dans le cas d’une source spatialement incohérente, les flux dûs aux différents points de la source
s’ajoutent simplement, sans qu’intervienne le phénomène d’interférences. Une source dont la luminance est
indépendante de la direction est dite « lambertienne » (d’après Lambert, précurseur de la photométrie au
XVIIIème siècle).
Apriori bien adaptée aux sources, la notion de luminance s’étend sans aucune modification à une
surface quelconque de l’espace, qu’elle soit ou non une source : dans ce cas, le flux est celui qui arrive des
sources et traverse la surface considérée dans la direction (D). Un peu comme dans le principe d’HuygensFresnel, toute surface éclairée par une source « primaire » se comporte en termes de photométrie comme une
« source secondaire » : s’il s’agit d’une simple surface imaginaire, elle se contente de transmettre le flux qu’elle
a reçu sans l’absorber ni changer sa direction.
En outre, on appelle éclairement le flux par unité d’aire qui atteint une surface donnée : d 2φ = E d 2 s .
1.2 – Eclairement de l’image géométrique stigmatique :
Considérons un petit objet lambertien de luminance Lo, d’aire d2s situé sur l’axe d’une lentille mince
limitée par une pupille d’aire Σ. Comme l’indique le schéma, les notations sont les mêmes que dans le chapitre
précédent pour les plans objet, pupille et image et pour leurs distances respectives. Evaluons l’éclairement sur
l’image de cet objet, supposée stigmatique, en tenant compte de la limitation de la pupille pour calculer la
puissance lumineuse qui traverse le système mais en ignorant l’effet de cette limitation sur la forme de l’image,
c’est à dire la diffraction. En d’autres termes, on considère l’image fictive géométrique et stigmatique. On se
place aux petits angles de façon à pouvoir assimiler, dans le calcul de l’angle solide, le cosinus de l’équation (1)
à 1−
α2
et, plus généralement (même si la pupille n’est pas circulaire), l’aire de la pupille à l’aire de la calotte
2
sphérique de centre O et tangente au centre de la pupille. On trouve que le flux qui atteint la pupille vaut :
1 pour plus de détail voir www.bipm.org, où il apparaît que la grandeur de base en photométrie est l’intensité lumineuse (au
sens rigoureux du terme), que nous n’utiliserons pas dans ce cours mais qui correspond au flux émis par une source
ponctuelle par unité d’angle solide, c’est à dire encore à l’intégrale de la luminance sur la surface d’une source très petite.
Filtrage des fréquences spatiales en éclairage spatialement incohérent.
20
d 2φ = Lo
Σ d 2s
.
d2
ξ,η
x,y
x’,y’
z
0
d’
d
d′
. Si compte tenu des pertes par réflexion, absorption et
d
diffusion qui peuvent se produire et d’un éventuel obscurcissement partiel de la pupille une fraction τ de ce flux
atteint l’image, son éclairement vaut :
τL Σ
τ d 2φ
(2)
= o2 .
E′ =
2
d′
⎛ d′ ⎞ 2
⎜ ⎟ d s
⎝d⎠
et plus généralement l’éclairement d’une image étendue, toujours dans la fiction d’une imagerie géométrique et
d′
stigmatique, s’écrit, en posant r ′ = r :
d
2
τ
L
r
( ) Σ L′ ( r ′ ) Σ
τd φ
.
(3)
=
=
E ′ ( r ′) =
2
d ′2
d ′2
⎛ d′ ⎞ 2
⎜ ⎟ d s
⎝d⎠
Dans cette équation, on a introduit la fonction luminance ramenée à l’image L’, qui ne diffère de la luminance
de l’objet L que par l’échelle de la variable et par l'absorption : L′ ( r ′ ) = τ L ( r ) .
Le grandissement (algébrique) de l’image vaut
1.3 – Remarque sur la transmission en intensité 2 :
On remarque que dans cette description la notion de transmittance introduite au chapitre précédent ne
joue plus aucun rôle. Elle intervient pourtant dans le cas où l’objet situé dans le plan z=0 n’est pas lumineux par
lui-même, mais reçoit la lumière d’une source primaire spatialement incohérente et la transmet. En fait, même si
évidemment l’objet lui-même, par les fréquences spatiales qu’il contient, diffracte la lumière qui l’éclaire, dans
le cadre de la présente étude on peut valablement considérer le modèle suivant : la source, étendue puisqu’elle
est spatialement incohérente, envoie en chaque point de l’objet un éclairement Eo . Si l’objet est mince et est
donc décrit par une transmission en amplitude, le champ électrique de chaque direction d’éclairage est multiplié
par le même facteur t ( r ) . La puissance est alors multipliée par T ( r ) = t ( r ) . La quantité T s’appelle
2
transmission en intensité. La lumière traverse donc l’objet en étant multipliée par T. L’objet contenant des
fréquences spatiales relativement basses puisque nous restons dans le cas des faibles ouvertures et de
l’approximation scalaire, la diffraction par l’objet ne modifie pas de façon importante la direction de
propagation de la lumière et la luminance est elle-même multipliée par T.
Dans le cas où l’objet est éclairé uniformément par une source lambertienne qui remplit tout un demiespace, un calcul de photométrie simple permet de relier éclairement et luminance : suivant la définition de la
luminance, le cône en forme de couronne centré sur un point de l’objet et compris entre les incidences θ et θ +
dθ envoie sur un élément d2s d’objet un flux L d 2 s 2π sin θ dθ cosθ , ce qui après intégration sur θ donne un
éclairement total
2 Ce paragraphe a pour seul but d’introduire la transmission en intensité, on peut très bien l’omettre sans que la logique du
développement soit affectée.
Filtrage des fréquences spatiales en éclairage spatialement incohérent.
21
flux sur d 2 s
=πL.
d 2s
Dans ce cas, l’objet éclairé par transparence se comporte approximativement comme une source lambertienne de
E T (r )
.
luminance o
Eo =
π
x
dθ
θ
z
1.4 – Eclairement de l’image du point central en tenant compte de la diffraction :
Considérons à nouveau l’objet lambertien de luminance L ( r ) , mais cette fois-ci tenons compte de la
diffraction par la pupille. Il est commode de commencer par l’image d’une zone d’objet infinitésimale autour du
centre, suffisamment petite pour que les images de tous les points qui la composent soient en pratique
confondues. Dans ce cas, l’addition incohérente de toutes ces images identiques donne une image identique à
celle du seul point central et d’éclairement proportionnel à la luminance de l’objet et à l’aire de l’image.
L’image du seul point central est la même, que l’on considère le cas de l’éclairage cohérent comme dans le
chapitre précédent, ou celui de l’éclairage spatialement incohérent comme dans le présent chapitre, puisqu’un
point unique est cohérent avec lui-même. L’éclairement de l’image d’une zone d2s au centre de l’objet s’écrit
donc, en conservant les notations du chapitre précédent :
2
⎛ r′ ⎞ 2
d 2 Ed′ = α1 p ⎜
⎟ d r , où α1 est une constante.
⎝ λd ′ ⎠
Cet éclairement réparti conformément à la tache de diffraction de Fraunhofer par la pupille fournit sur l’aire
d 2 r ′ = dx ′ dy ′ d’image un flux :
d 4φ = d 2 E ′ dx′ dy ′
La constante α1 peut maintenant être déterminée par conservation de l’énergie : exprimons que le flux qui
traverse la pupille se retrouve dans la tache de diffraction et employons le théorème de Parseval :
d 2φ = Lo
τΣ d 2 r
d2
2
=
= α1d 2 r ( λ d ′ )
⎛ r′ ⎞ 2 2 ′
d 2 E dx ′ dy ′ = ∫∫ α1 p ⎜
⎟ d rd r
∫∫
⎝ λd ′ ⎠
plan image
R2
2
∫∫ p ( u )
2
d 2 u = α1 d 2 r ( λ d ′ )
R2
2
∫∫ p ( ρ )
2
d 2ρ
R2
= α1 d r ( λ d ′ ) τΣ
2
2
pour aboutir à cette dernière expression, on a considéré que la fonction p et le facteur τ tiennent l’un et l’autre
compte de toutes les causes d’atténuation, volontaires ou non (pupille destinée à faire un filtrage élaboré,
absorption ou diffusion résiduelle par les surfaces et les volumes de verre, ou toute autre cause) et il en résulte
d 2 Ed′ =
2
Lo
( λ dd ′ )
2
⎛ r′ ⎞ 2
p⎜
⎟ d r
⎝ λd ′ ⎠
(4)
1.5 – Formalisme du filtrage incohérent :
Cette expression de l’éclairement fournit directement la réponse percussionnelle du système d’imagerie
spatialement incohérente, à partir du moment où il y a filtrage linéaire. La linéarité par addition des éclairements
dus aux différents points de la source ne fait aucun doute à partir du moment où ils sont bien mutuellement
incohérents et où le seuil d’apparition des phénomènes non linéaires n’est pas atteint. L’invariance par
Filtrage des fréquences spatiales en éclairage spatialement incohérent.
22
translation, pour sa part, n’est vérifiée que dans la mesure où les aberrations de champ sont absentes. Comme
dans le cas cohérent (voir la fin du §3.3 du chapitre précédent), l’image d’un point hors d’axe r ne se déduit par
une translation de r d ′ d de celle du point central que sur un champ limité. C’est dans ce champ qu’on peut
véritablement parler de filtrage des fréquences spatiales. En dehors, on a l’habitude de découper le champ en
régions sensiblement invariantes par translation et de parler, de façon quelque peu abusive, de réponse
percussionnelle locale et de fonction de transfert locale.
Dans les conditions de filtrage linéaire homogène, l’addition des éclairements des points objets fournit
de façon immédiate à partir de l’équation (4) :
2
d′ ⎞
⎛ ′
2
⎜r −r d ⎟
L (r )
L′ ( ro′ ) 1
⎛ r ′ − ro′ ⎞ 2
′
′
d r′
Ed ( r ) = ∫∫
p⎜
p
⎟ dx dy = ∫∫
2
τ d ′2 ( λ d ′ )2 ⎝⎜ λ d ′ ⎠⎟
⎜⎜ λ d ′ ⎟⎟
R 2 ( λ dd ′ )
R2
⎝
⎠
= E ′ ( r ′ ) ∗ Pi ( r ′ )
(5)
où
2
⎛ r′ ⎞
(6)
Pi ( r ′) =
p⎜
⎟
2
τΣ ( λ d ′ ) ⎝ λ d ′ ⎠
est donc la réponse percussionnelle incohérente du système. Elle admet pour transformée de Fourier de la
fonction gain, qui prend ici le nom de fonction de transfert incohérente :
p ⊗ p ( λ d ′ω )
Gi ( ω ) = FTI ( ω ) =
.
(7)
τΣ
Dans cette expression, le signe ⊗ désigne la corrélation au sens des fonctions :
f ⊗ g ( v ) = ∫∫ f ( u ) g ∗ ( u − v ) d 2 u , dont on vérifie aisément qu'elle a pour TF f ⊗ g = f g ∗ et qu'elle s'écrit
1
R2
aussi f ⊗ g ( v ) = ∫∫ f ( u + v ) g ∗ ( u ) d 2 u . Les considérations qui ont mené au résultat de l’équation (4) assurent
R2
la propriété : Gi ( 0 ) = 1 ,
(8)
c’est à dire que la fonction de transfert incohérente est normalisée à sa valeur centrale par sa définition même. 3
L’usage est de nommer « fonction de transfert de modulation » le module de Gi et parfois « fonction de transfert
de phase » la quantité exp ( i arg ( Gi ) ) .
Tableau récapitulatif :
Σ L′
luminance objet L ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎯
→ éclairement E ′ = 2 ⎯⎯⎯⎯
→ éclairement Ed′ = E ′ ∗ Pi
diffraction
imagerie géométrique
d′
où la réponse percussionnelle incohérente Pi tache de diffraction par la pupille en éclairement, est
2
proportionnelle à P , carré du module de la réponse percussionnelle cohérente P,
ce qui donne dans l'espace de Fourier :
Ed′ = E ′Gi
où Gi ( ω ) =
p ⊗ p ( λ d ′ω )
est l’autocorrélation normalisée de la transmission de la pupille .
p ⊗ p (0)
1.6 – Liaison avec le cas cohérent :
Exprimons la formation d'image en éclairage spatialement incohérent comme le résultat de la
superposition en éclairement, c'est à dire sans interférences, des différentes images dues aux différents points
sources d'un montage de double diffraction où l'on a remplacé le point source par une source illimitée et
uniforme et où l’on a explicité la conjugaison entre source et pupille 4 .
3 Ceci n’est pas possible pour la fonction de transfert incohérente, qui peut être nulle en son centre : il suffit que la pupille
soit opaque à l’endroit où converge l’onde d’éclairage !
4 Le montage où la source est conjuguée de la pupille par le condenseur, appelé éclairage de Köhler, a l’avantage de
minimser l’aberration de distorsion et d’assurer une bonne uniformité d’éclairage de l’objet en même temps qu’il se prête
bien à une description physique de la cohérence comme le montre le présent paragraphe. Il n’est néanmoins pas toujours le
Filtrage des fréquences spatiales en éclairage spatialement incohérent.
23
D'après le chapitre précédent, l'amplitude dans la pupille provenant du point central So de la source
contient pour terme essentiel le produit t ′ ( ω ) Gc ( ω ) avec Gc ( ω ) = p ( λ d ′ω ) . Dans l'image, on trouve alors la
convolution t ′ ( r ′ ) ∗ P ( r ′ ) .
Ici, il existe plusieurs points sources. Le point S de la source dont l'image se forme sur la pupille au
point ρ s crée dans la pupille une figure de diffraction de Fraunhofer de l'objet décalée de cette même quantité :
⎛ ρ − ρs ⎞
l'amplitude derrière la pupille t ′ ⎜
⎟ p ( ρ ) donne pour amplitude image
⎝ λd ′ ⎠
⎡
ρ s ir ′ ⎞ ⎤
⎛
∗ P ( r′) ,
⎢t ′ ( r ′ ) exp ⎜ 2iπ
λ d ′ ⎟⎠ ⎥⎦
⎝
⎣
la réponse percussionnelle (cohérente !) étant inchangée. L'éclairement total est la somme des éclairements dus à
chaque point S de la source, pondérés par la luminance de ce dernier :
2
E ( r ′ ) = ∫∫ Ls ( ρ s )
R2
ρ s ir ′ ⎞ ⎤
⎡
⎛
2
⎢t ′ ( r ′ ) exp ⎜ 2iπ λ d ′ ⎟ ⎥ ∗ P ( r ′ ) d ρ s
⎝
⎠⎦
⎣
(9)
ξ,η
x,y
x’,y’
z
0
source
d’
condenseur
d
Pour une source uniforme illimitée, la luminance est une fonction constante, on retrouve la relation (5) cidessus. Pour une source ponctuelle, on retrouve évidemment le cas de l’imagerie cohérente. Dans le cas de la
cohérence spatiale partielle, la source n'est pas constante et l'intégrale qui précède fournit la relation générale,
qui montre qu'il n'y a en général pas de relation de filtrage des fréquences spatiales entre objet et image.
plus adapté. Les autres configurations d’éclairage sont un peu moins intuitives à interpréter au niveau de la cohérence
partielle.
Filtrage des fréquences spatiales en éclairage spatialement incohérent.
24
II - L'INSTRUMENT STIGMATIQUE A PUPILLE CIRCULAIRE :
2.1 – Fonction de transfert, réponse percussionnelle :
1
G (Ω)
i
a/ λd
0
2a/ λd
Ω
Des chapitres précédents et de l'expression de l'autocorrélation d'un disque résultent immédiatement les
résultats suivants :
r′ a
π a 2 ⎡ 2 J1 ( z ) ⎤
⎛ r′ ⎞
(10)
=
p⎜
⎥ avec z = 2π
⎟
2
2 ⎢
λd ′
τΣ ( λ d ′ ) ⎝ λ d ′ ⎠
τ ( λ d ′) ⎣ z ⎦
L'image d'un point est toujours une tache d'Airy, comme dans le cas cohérent, mais cette fois la sommation se
fait en éclairement.
2
2⎛
λ d ′ω λ d ′ω
⎛ λ d ′ω ⎞ ⎞⎟
1− ⎜
(11)
Gi ( ω ) = ⎜ Arc cos
−
⎟ avec ω = ω
π⎜
2a
2a
2a ⎠ ⎟
⎝
⎝
⎠
Ce dernier résultat s’obtient à partir de l’équation (7) en calculant l’aire commune à deux disques de même
rayon, ce qui se fait très bien en s’appuyant sur un raisonnement géométrique. La F.T.I. ainsi obtenue est à
2a
symétrie de révolution, strictement positive dans son support ω < ω c , avec ω c =
.
λd ′
Pi ( r ′ ) =
1
2
2
2.2 - Images d'objets particuliers :
a) Deux points clairs voisins :
On considère un objet constitué exclusivement de deux points voisins, de même intensité, séparés de la
distance ε 1, 22 λ d ′ 2a ε. On a représenté ici les courbes correspondant à ε=2 ; 1 ; 0,8 et 0,5, ces deux dernières
étant superposées sur la même courbe. Toutes sont normalisées à 1 en leur propre maximum.
Filtrage des fréquences spatiales en éclairage spatialement incohérent.
25
1
1
1
1
X
0
0
0
0
1,22 λ/a
La comparaison avec les résultats du chapitre précédent montre que la résolution, jugée de façon subjective à
l'allure des courbes, est légèrement meilleure qu'en éclairage cohérent, bien que le critère de Rayleigh tel qu’il
est présenté en général n'établisse pas de différence suivant l'état de cohérence.
b) Grille ou réseau :
En reprenant le raisonnement du chapitre précédent, on remarque que :
- si la période p de la fonction objet est supérieure à λ d ′ 2a , au lieu de λ d ′ a dans le cas cohérent, sa
modulation parvient à l'image ;
- en revanche, le contraste de la fréquence ω baisse progressivement lorsque ω croît de 0 à ωι jusqu'à s'annuler
pour la fréquence de coupure ωi, alors que dans le cas cohérent il reste constant depuis 0 jusqu'à sa disparition
brutale pour la fréquence de coupure ω c = ωi 2 ;
-l'interprétation physique à partir des ordres du réseau qui passent ou ne passent pas à travers la pupille en
éclairage cohérent n'a pas d'équivalent simple en éclairage cohérent. On peut toutefois dans une certaine mesure
interpréter les phénomènes en se rappelant que l'image est la superposition en éclairement des images
cohérentes dues aux différents points de la source.
Dans une telle comparaison, il convient de se souvenir que l'imagerie cohérente et l'imagerie incohérente
n'opèrent pas sur le même objet : il s'agit de t ′ ( r ′ ) dans le premier cas, de L′ ( r ′ ) dans le deuxième ; pour les
objets transparents, la luminance, on l’a vu, est proportionnelle au carré du module de t ′ ( r ′ ) et non pas à t ′ ( r ′ ) .
Dans le cas d'objets binaires noirs et blancs toutefois on a t ′ ( r ′ ) = T ′ ( r ′ ) = 0 ou 1 en tout point.
III - MISE EN FORME DE FONCTION DE TRANSFERT ET QUALITE D'IMAGE :
Ce paragraphe pourrait tout aussi bien être placé dans le contexte du filtrage cohérent ; il est traité ici
dans le cadre du filtrage incohérent parce que c'est la situation la plus courante. La question posée est : pour une
pupille de rayon a donné, quelle fonction pupille p(ρ) doit-on utiliser pour obtenir l'image la meilleure
possible ? Malheureusement, il n'y a pas de définition claire et universelle pour le mot "meilleur" dans un tel
contexte. La réponse n'est donc pas unique, mais plusieurs approches fournissent des éléments de réponse.
3.1 - Un critère de qualité global : l'écart quadratique moyen :
Un critère possible est de minimiser l'écart quadratique moyen entre objet et image :
ε = ∫∫ ( L′ ( r′ ) − L′ ∗ Pi ( r′ ) ) d 2r′
2
R2
Ce critère, le plus courant parce qu'analytiquement de loin le plus simple, est global puisqu'il ne garantit pas que
l'écart est faible en un point donné mais seulement que l'écart moyenné sur tous les points est minimal. D'après
le théorème de Parseval,
ε = ∫∫ L′ ( ω ) 1 − Gi ( ω ) d 2ω
2
2
R2
d'où il résulte immédiatement que pour Gi contenu dans un support S donné, la solution optimale est Gi(Ω) =
1 dans le support et 0 ailleurs, ce qui est réalisé (pour l'amplitude complexe) en éclairage cohérent, mais
Filtrage des fréquences spatiales en éclairage spatialement incohérent.
26
impossible en éclairage incohérent. L'éclairage cohérent est donc optimal au sens des moindres carrés ; la
question de la meilleure fonction pupille au sens des moindres carrés en éclairage incohérent n'a pas de solution
simple indépendante de l’objet.
3.2 - Deux exemples de critères locaux :
a) Apodisation :
La réponse percussionnelle d'un instrument stigmatique à pupille circulaire présente, nous l'avons vu,
des maxima secondaires autour de son maximum central. Ces maxima secondaires peuvent être gênants, par
exemple pour examiner un point (ou, en spectroscopie, une raie fine) peu intense au voisinage d'un point très
intense. La recherche de pupilles p(ρ) conduisant à des réponses percussionnelles "sans pieds" ou à pieds
atténués est appelée l'apodisation. Elle s'obtient en évitant le mieux possible les discontinuités dans la fonction
p(ρ) et dans ses dérivées. Examinons un exemple à une seule dimension :
⎛ξ ⎞
po (ξ ) = rect ⎜ ⎟
⎝a⎠
1
ξ⎞
⎛ ξ ⎞⎛
p1 (ξ ) = rect ⎜ ⎟⎜ 1 + cos 2π ⎟
a⎠
2
⎝ a ⎠⎝
Comme on le voit, alors qu'en bord de pupille, po est discontinue, p1 et sa dérivée première s'y annulent.
p
o
1
0
p
1
1
ξ
0
ξ
Les réponses percussionnelles cohérentes s'écrivent
a
ax ′
sinc
et
Po ( x ) =
λd ′
λd ′
a ⎡
⎛ ax′ ⎞ 1
⎛ ax′ ⎞ 1
⎛ ax′
⎞⎤
+ 1⎟ ⎥
+ sinc ⎜
− 1⎟ + sinc ⎜
P1 ( x′ ) =
sinc ⎜
⎟
⎢
2λ d ′ ⎣
⎝ λd ′ ⎠ 2
⎝ λd ′ ⎠ 2
⎝ λ d ′ ⎠⎦
Les réponses percussionnelles incohérentes sont les carrés des précédentes. Les deux courbes ci-dessous sont les
λd ′ ⎞
⎛
images en éclairage incohérent de l'objet L′ ( x′ ) = δ ( x′ ) + 0,02δ ⎜ x '− 2,5
⎟ avec ces deux pupilles : on
a ⎠
⎝
constate que le point objet faible situé à proximité immédiate du premier maximum secondaire apparaît bien
mieux avec la pupille apodisante. En revanche, le maximum central est légèrement élargi. Les courbes tracées
sont normalisées à 1, ce qui masque le fait que la pupille apodisante est peu lumineuse : sa transmission en
énergie moyenne n'est que de 0,375.
Filtrage des fréquences spatiales en éclairage spatialement incohérent.
27
éclairement image
normalisé
1
avec p
0
1
avec p
0
X
1
X
0
b) "Super-résolution" :
Les pupilles apodisantes, à transmission continue en bord de pupille, donnent une réponse
percussionnelle à pic central élargi et à "pieds" réduits ; réciproquement, on peut, à l'aide de pupilles renforçant
les hautes fréquences spatiales et discontinues aux bords, rétrécir le pic central, quitte à augmenter les pieds.
L'intérêt en est d'améliorer la résolution subjective entre deux points très voisins et d'intensités sensiblement
égales. On parle de pupilles super-résolvantes, mais il faut bien remarquer qu'il s'agit ici de super-résolution
subjective, au sens du critère de Rayleigh de la largeur à mi-hauteur, et non de super-résolution vraie, avec
restauration d'information au-delà de la fréquence de coupure (ce qui est possible, sur ordinateur, en utilisant des
informations a priori sur l'objet). Exemple à une dimension :
p
p
0
2
1
0
1
ξ
0
⎛ξ ⎞
po (ξ ) = rect ⎜ ⎟
⎝a⎠
1
ξ⎞
⎛ ξ ⎞⎛
p2 (ξ ) = rect ⎜ ⎟⎜ 1 − cos π ⎟
2
a⎠
⎝ a ⎠⎝
Les réponses percussionnelles cohérentes s'écrivent
a
ax ′
sinc
et
Po ( x ) =
λd ′
λd ′
a ⎡
⎛ ax′ ⎞ 1
⎛ ax′ 1 ⎞ 1
⎛ ax′ 1 ⎞ ⎤
− sinc ⎜
− ⎟ − sinc ⎜
+ ⎟⎥
P1 ( x′ ) =
sinc ⎜
⎟
⎢
2λ d ′ ⎣
⎝ λd ′ ⎠ 2
⎝ λd ′ 2 ⎠ 2
⎝ λd ′ 2 ⎠⎦
Elles sont présentées ci-dessous, normalisées, et on peut y constater les propriétés annoncées.
Filtrage des fréquences spatiales en éclairage spatialement incohérent.
ξ
28
éclairement
réponses percussionnelles
normalisées
1
O
Les
1
O
X
deux
courbes présentées
0, 4 λ d ′ ⎞
⎛
L ′ ( x′ ) = δ ( x ′ ) + δ ⎜ x′ −
⎟
a ⎠
⎝
1
ci-dessous
sont
les
images
en
X
éclairage
éclairement image
normalisé
avec p
0
éclairement
incohérent
de
l'objet
1
avec p
2
0
X
0
X
IV - SYNTHESE DE FONCTIONS DE TRANSFERT INCOHERENTES, PUPILLES COMPOSEES :
4.1 - Obtention d'une fonction de transfert quelconque :
a) Principe :
Nous avons vu qu'en éclairage cohérent, la mise en forme de la pupille en amplitude et en phase permet
d'obtenir une fonction de transfert pratiquement arbitraire. En éclairage incohérent, la réponse percussionnelle
est réelle non négative, la fonction de transfert est l'autocorrélation de la pupille. Ces deux propriétés
restreignent la classe des Pi(r’) et des Gi(ω) réalisables. Toutefois, il est en principe toujours possible de
décomposer toute réponse percussionnelle en composantes réelles non négatives. Considérons par exemple une
réponse percussionnelle Po(r’) réelle mais "bipolaire", c'est à dire présentant des parties positives et négatives
(la généralisation au cas Po(r’) complexe est possible). Il existe toujours une infinité de façons de décomposer
Po(r’) sous la forme
Po ( r′ ) = Pi + ( r′ ) − Pi − ( r′ ) avec pour tout r’ Pi + ( r′ ) ≥ 0 et Pi − ( r′ ) ≥ 0 .
Notamment, un choix simple est
Pi + ( r′ ) = Po ( r′ ) H ⎡⎣ Po ( r′ ) ⎤⎦ et Pi − ( r′ ) = − Po ( r′ ) H ⎡⎣ − Po ( r′ ) ⎦⎤ ,
où H est la fonction d’Heaviside, qui vaut 1 quand son argument est positif et 0 quand il est négatif. Une fois
Pi+ et Pi- choisies, il existe encore une infinité de pupilles dont la réponse percussionnelle incohérente est
Pi+(r’) ou Pi-(r’) : il suffit qu’à une constante multiplicative près
Filtrage des fréquences spatiales en éclairage spatialement incohérent.
29
⎛ r′ ⎞
p+ ⎜
⎟ = Pi + ( r′ ) et de même avec l’indice -, donc
⎝ λd ′ ⎠
iφ r′
p+ ( ρ ) = TF −1 ⎡⎣ Pi + ( r′ ) e + ( ) ⎤⎦ et de même avec l’indice -,
les fonctions φ étant arbitraires et la TF étant à prendre par rapport à la variable r’/λδ∋ et à calculer au point ρ.
On peut alors effectuer la convolution par Po(r’) d'un objet quelconque L’(r’) de la façon suivante :
- synthèse, par exemple par holographie, de la pupille p+(ρ) ;
- synthèse, par exemple par holographie, de la pupille p-(ρ) ;
- filtrage incohérent de l'objet L’ avec la pupille p1 ;
- filtrage incohérent de l'objet L’ avec la pupille p2 ;
- soustraction des éclairements obtenus.
Cette procédure est possible, mais elle est d’un intérêt plus historique que réel, car elle est en pratique trop
complexe et sujette à trop de causes d'erreur et de bruit pour être d'un usage fréquent. La soustraction, difficile à
effectuer par voie optique, est en général effectuée électroniquement après détection des deux images, ce qui
exige un traitement point par point par balayage et fait perdre un avantage important des convolutions optiques :
le parallélisme.
b) Exemple :
Citons toutefois un exemple qui a donné lieu à plusieurs réalisations : un montage d'augmentation de
contraste par filtrage passe-bande coupant (ou atténuant) les basses fréquences. Soit un objet de la forme
L′ ( r′ ) = Lo′ + ε ( r′ ) , avec pour tout r’ ε ( r′ ) Lo′ . Il s'agit, comme en strioscopie, d'atténuer L’o sans (trop)
affecter ε(r’) ; ceci n'est pas possible directement en éclairage cohérent en raison de la propriété de la F.T.I. Gi
d'être maximale au centre :
Gi ( ω ) ≤ Gi ( 0 ) pour tout ω.
E (X)
T (X)
1
S
D1
E (X)
2
D2
+
-
S(X)
Considérons alors le montage suivant : S est une lame réfléchissant la fraction α de l'énergie et en transmettant
la fraction β. L'acquisition de l'image se fait en déplaçant Ti(r’) de façon que le point central balaie tout le
cliché. On obtient alors en S(r’) la différence des éclairements E1(r’) et E2(r’). Le détecteur D1 est au point et
très petit et fournit l’image convoluée par Pi+, le détecteur D2 est défocalisé (ou, ce qui revient
approximativement au même, muni d'un diaphragme étendu derrière lequel il intègre l'éclairement) et fournit
l’image convoluée par Pi-. Le défaut de mise au point remplace ici la pupille p-. Calculons la fonction de
transfert globale dans la limite géométrique en notant Ro le rayon de la tache image d'un point à travers la voie
2. A une constante multiplicative commune aux deux voies près et en considérant l’image sur la voie de D1
comme parfaite :
E1 ( r′ ) = β L′ ( r′ ) ∗ δ ( r′ )
E2 ( r ′ ) = α L ′ ( r ′ ) ∗
1
π Ro 2
⎛ r′ ⎞
Dis ⎜ ⎟ , d'où par soustraction
⎝ Ro ⎠
⎡
⎛ r′
α
S ( r ′ ) = E1 ( r ′ ) − E2 ( r ′ ) = L′ ( r ′ ) ∗ ⎢ βδ ( r ′ ) −
Dis ⎜
2
π Ro
⎢⎣
⎝ Ro
⎞⎤
⎟⎥ .
⎠ ⎥⎦
Filtrage des fréquences spatiales en éclairage spatialement incohérent.
30
et par TF :
⎡
2 J ( 2πω Ro ) ⎤
S ( ω ) = L′ ( ω ) ⎢ β − α 1
⎥.
2πω Ro ⎦
⎣
L'allure de la fonction de transfert globale est la suivante :
G ( Ω)
i
β
β−α
0
1,22/2a
Ω
ce qui mène au résultat désiré d'augmentation de contraste à condition que Ro soit choisi tel que ε(r’) contienne
peu d'information utile aux fréquences ω de module inférieur à 1/Ro environ.
4.2 - Pupilles composées :
a) Principe :
Dans le paragraphe précédent, on composait les éclairements de deux images formées à partir de deux
pupilles différentes. On peut également faire interférer les images d'un point objet obtenues à travers plusieurs
pupilles et donc les additionner en amplitude, ce qui n'empêche pas les images des différents points objets d'être
mutuellement incohérentes. Ce procédé est moins général que le précédent, puisqu'il se ramène à un filtrage
spatialement incohérent unique, mais offre des possibilités très étendues de filtrage passe-bande.
Une pupille composée peut être écrite :
p (ρ ) = ∑ p j (ρ − ρ j )
j
où ρj désigne le "centre " choisi pour la pupille pj et où les différents termes ont des supports disjoints. La
fonction d'autocorrélation d'une telle pupille présente nécessairement un maximum au voisinage de ρ j − ρ k , en
plus du maximum central, qui comme on sait correspond au maximum absolu. La fonction de transfert
incohérente correspondante présente donc, outre le maximum absolu égal à 1 en son centre (pour la fréquence
ρ j − ρk
spatiale nulle, ce qui n’est d’aucun intérêt pour l’imagerie), des bandes au voisinage de
. L’intérêt de la
λd ′
pupille composée est d’atteindre ces bandes sans qu’il soit nécessaire de disposer d’une pupille de taille égale à
ρ j − ρk .
Filtrage des fréquences spatiales en éclairage spatialement incohérent.
31
b) Exemple : trous d'Young sur une lentille, interféromètre stellaire de Michelson :
X
a
d
d'
ξ −a 2
ξ +a 2⎞
η
⎛
+ rect
Considérons la pupille p ( ρ ) = ⎜ rect
⎟ rect .
b
b ⎠
b
⎝
Résultant d’interférences entre les deux trous d'Young qui constituent la pupille composée, on obtient pour
réponse percussionnelle :
2
by ′ ⎛
2π ax′ ⎞
⎛ b ⎞
2 bx ′
Pi ( r ′ ) = ⎜
.
sinc 2
⎟ sinc
⎜1 + cos
′
′
′
d
d
d
λ
λ
λ
λ d ′ ⎟⎠
⎝
⎠
⎝
La F.T.I., qui se calcule par autocorrélation de la pupille plus facilement que par TF de la réponse
percussionnelle, vaut donc :
⎛ λ d ′μ 1 λ d ′μ − a 1 λ d ′μ + a ⎞ λ d ′ν
.
+ tr
+ tr
Gi ( ω ) = ⎜ tr
⎟ tr
b
b
b
b
2
2
⎝
⎠
(la fonction Tr est la fonction triangle, définie comme l'autocorrélation de la fonction rect).
G (Ω )
i
1
µ
0
b/ λ
(a-b)/ λ
(a+b)/ λ
Applications :
• étoile double : l'objet est constitué de deux étoiles repérées angulairement par leurs coordonnées image
λd ′
peut être interprétée aussi bien par
(x’,y’)= (0,0) et (δx’,0). La disparition des franges pour δ x′ =
2a
l'examen de Pi que par celui de Gi.
• étoile étendue : l'objet est une étoile de rayon angulaire αo, dont l’image dans le plan focal de l’objectif a
donc un rayon angulaire de αod’ : la disparition des franges en présence de cette pupille double permet de
a
1, 22
=
.
mesure le rayon angulaire. En effet, l'examen de Gi et de la TF d’un disque fournit la relation
λ d ′ 2α o d ′
Par exemple, pour α o = 10−7 radian, λ = 5.10 −7 m , on trouve a = 3m. Le schéma qui suit présente l'idée de
la configuration de Michelson, reprise actuellement en particulier par A. Labeyrie. Elle est équivalente au
schéma de principe précédent avec d' = a/β. L'avantage évident est que l'on n'a pas besoin d'un télescope
plus grand que a dont on n'utiliserait que deux petits morceaux de taille b. Le problème est surmonter le
handicap de la turbulence atmosphérique. Il faut remarquer que dans ce schéma le décalage des faisceaux
par les miroirs, différent sur les deux sous-pupilles, complique l’analyse et qu’on n’est plus véritablement
dans une situation de filtrage des fréquences spatiales.
Filtrage des fréquences spatiales en éclairage spatialement incohérent.
32
a
β
V - CONDITIONS DE COHERENCE :
5.1 - Cohérence temporelle :
Comme au chapitre précédent, la fonction de transfert dépend de λ.
G
1
1
i
G
i
λ
λ1
2
(> λ )
µ
0
1
µ
0
D'une façon générale, il convient de calculer l'éclairement correspondant à chaque longueur d'onde ; si le spectre
(temporel) de la source est suffisamment étroit pour que Gi(Ω) soit pratiquement le même quelle que soit la
longueur d'onde considérée, alors on effectue pratiquement un filtrage des fréquences spatiales en éclairage
spatialement incohérent. Sinon, la notion de filtrage des fréquences spatiales s'applique difficilement à
l'ensemble de l'image.
5.2 - Cohérence spatiale :
Pour que les images des différents points s'ajoutent en éclairement, il faut une source en principe
infiniment étendue ou bien des points objets lumineux par eux-mêmes. Dans le cas d'une source étendue non
illimitée éclairant un objet transparent, une remise en forme de la dernière équation du §1.6 ci-dessus permet de
montrer qu'une condition moins restrictive permet d'assurer le filtrage incohérent : il faut que l'image de la
source sur la pupille soit plus grande que le support de la convolution de la pupille par le spectre spatial de
l'objet.
Filtrage des fréquences spatiales en éclairage spatialement incohérent.
33
Chapitre IV. Echantillonnage et degrés de liberté.
I - LE THEOREME D'ECHANTILLONNAGE :
1.1 - Enoncé :
Ce théorème est une propriété importante des fonctions dont la T.F. est à support borné, comme c'est le
cas de celles décrivant les images résultant d'un filtrage des fréquences spatiales.
Soit une fonction f(x) dont la T.F., f (µ), est nulle en dehors de l'intervalle [µ1,µ2] appelé support du
spectre. Le théorème d'échantillonnage affirme que la fonction f(x) est entièrement connue si elle est connue en
un ensemble dénombrable de points correctement choisis :
Soient μo ∈ [ μ1 , μ 2 ] , Δµ = µ2 - µ1 , Δµ' tel que µo + Δµ'/2 ≥ µ2 et que µo - Δµ'/2 ≥ µ1 , et Δµ"≥ Δµ'.
f
Δ µ'
µ
µ
- Δ µ"
1
0 µo
µ
2
Δ µ"
On a :
⎡
⎛
⎛
Δμ ′ ⎛ k ⎞
k ⎞
k ⎞⎤
f⎜
sinc Δμ ′ ⎜ x −
exp ⎢ 2iπμo ⎜ x −
⎟
⎟
⎟⎥ .
Δμ ′′ ⎠
Δμ ′′ ⎠ ⎦
k ∈Z Δμ ′′
⎝ Δμ ′′ ⎠
⎝
⎝
⎣
f ( x) = ∑
Pour en donner une forme plus simple, examinons le cas particulier où
µ1 = -µ2, et où l'on choisit µo = 0, Δµ = Δµ' = Δµ" = 2µ2 : il vient
⎛ k ⎞
f ( x) = ∑ f ⎜
⎟ sinc ( Δμ x − k )
k ∈Z
⎝ Δμ ⎠
1.2 - Démonstration :
⎡
μ − μo
⎛ μ ⎞⎤
1
Peigne ⎜
On a f ( μ ) = ⎢ f ( μ ) ∗
.
⎥ rect
⎟
Δμ ′′
Δμ ′
⎝ Δμ ′′ ⎠ ⎦
⎣
Par TF réciproque,
f ( x ) = ⎡⎣ f ( x ) Peigne ( x Δμ ′′ ) ⎤⎦ Δμ ′ ( sinc Δμ ′x exp 2iπμo x )
=∑
⎡
⎛
⎛
k ⎞
k ⎞⎤
Δμ ′ ⎛ k ⎞
f⎜
sinc Δμ ′ ⎜ x −
exp ⎢ 2iπμo ⎜ x −
⎟
⎟
⎟⎥ .
Δμ ′′ ⎝ Δμ ′′ ⎠
Δμ ′′ ⎠
Δμ ′′ ⎠ ⎦
⎝
⎝
⎣
(N.B. : pour cette démonstration, il est utile de rappeler la relation
Echantillonnage
34
δ(x - kp) = δ(x/p - k)/p
).
1.3 - Conséquences :
On trouve ainsi le théorème d'échantillonnage, aussi appelé théorème d'interpolation, ou théorème de
Shannon ou théorème de Whittaker et Shannon. La fonction sinc et la fonction exp ix étant connues, on peut
k
déduire f(x) en tout point de la connaissance de ses valeurs aux points d'abscisses
, k ∈ Z , appelés points
Δµ"
d'échantillonnage. La fonction dépend donc d'une infinité dénombrable de paramètres. Ce théorème est très utile
puisqu'il permet de remplacer la mesure d'une fonction continue par celle d'une série d'échantillons.
Le rythme d'échantillonnage à adopter doit être 1/Δµ", qui compte tenu de la définition des paramètres
est en tout cas inférieur ou égal à 1/Δµ.
1/Δµ s'appelle intervalle d'échantillonnage critique, ou de Nyquist. On remarquera que dans le cas d'un
spectre centré sur l'origine, il correspond à la prise de deux échantillons par période de la sinusoïde de fréquence
maximale.
Si on échantillonne une fonction avec un intervalle plus grand que l'intervalle de Nyquist, il y a souséchantillonnage : le calcul de toute la fonction f(x) (ou f ( μ ) ) à partir de ces échantillons n'est pas possible sans
une erreur que l'on nomme en anglais "aliasing".
Si on échantillonne une fonction avec un intervalle plus petit que l'intervalle de Nyquist, il y a
suréchantillonnage, les mesures sont partiellement redondantes (ce qui peut être utile pour limiter la dégradation
due au bruit).
Les fonctions sinc Δµ' x exp 2iπµox par lesquelles il faut multiplier chaque échantillon s'appellent
fonctions d'habillage.
1.4 - Généralisation :
La généralisation à p dimensions est immédiate en entourant le spectre f ( μ ) d'un parallélépipède
rectangle de dimension p. Il existe aussi des versions du théorème adaptées à des spectres à supports variés
(disque notamment) ; de ces versions, on retiendra deux propriétés :
- alors que dans le cas unidimensionnel ou avec le parallélépipède rectangle de dimension p, si on choisit Δµ' =
Δµ", les échantillons qui permettent de connaître la fonction ne sont autres que des valeurs particulières de la
fonction, il n'en va pas de même pour un support quelconque : ces échantillons sont alors obtenus par une
combinaison plus complexe de valeurs de la fonction ;
- toutefois, la propriété suivante a été démontrée pour un grand nombre de formes de support (et peut être
considérée comme une conjecture pour un support quelconque) : soit a le volume (de \ p ) occupé par le
spectre : le nombre d'échantillons est au minimum exactement a par unité de volume de la fonction.
II - APPLICATION AU FILTRAGE DES FREQUENCES SPATIALES :
Considérons un montage de filtrage des fréquences spatiales en éclairage cohérent ; on a d'après le § I du
chapitre 2 :
-ρ
Ai(R) = α(R) TF-1 [T (Ω) G(Ω)] avec G(Ω) = p(ρ) et Ω =
.
λv
Echantillonnage
35
T(R)
p(ρ )
image
objet
Si Sp est l'aire occupée par la pupille, la F.T.C; G(Ω) a un support limité d'aire Sp/λ2, il y a donc Sp/λ2
échantillons indépendants par unité d'aire de l'image (exprimée, comme d'habitude, en coordonnées réduites). Si
So est l'aire du support de l'objet, il est fréquent (mais pas nécessairement vrai) que l'image soit pratiquement
nulle en dehors de l'aire So (remarque : sa T.F. étant à support borné, elle ne peut être rigoureusement nulle en
dehors de So). Dans ce cas, le nombre de degrés de liberté dans l'image est
S o Sp
U
= 2 , où U est l'étendue optique du faisceau défini par l'objet et la pupille.
2
λ
λ
Remarques :
- pour tenir compte de l'existence de deux états de polarisation indépendants, on peut en fait multiplier ce
nombre par 2 ; il est toutefois rare que ce facteur 2 soit mis à profit ;
- le même raisonnement est applicable à l'éclairage spatialement incohérent, où toutefois Gi(Ω) a un support
quatre fois plus grand que G(Ω) et où le nombre de degrés de liberté est donc multiplié par quatre.
Echantillonnage
36
Appendice sur la diffraction de Fresnel et de Fraunhofer
Ce supplément est destiné à une introduction rapide de la distinction entre diffraction rigoureuse,
diffraction de Fraunhofer et diffraction de Fresnel.
I – HYPOTHESES
Nous considérons le problème suivant : l’espace est divisé en deux demi-espaces par un plan Π. Une
composante du champ électromagnétique, notée U, monochromatique de fréquence vo , est connue en tout point
G
G
G
R = ( r , 0 ) de ce plan, où les caractères minuscules comme r = ( x, y ) désignent un vecteur à deux dimensions et
G
les majuscules un vecteur à trois dimensions. U admet une transformée de Fourier à deux dimensions en r et à
G
trois dimensions en R . Dans le demi-espace z > 0 ,
• il n’y a que du vide et notamment aucune matière condensée, aucune source de champ, le champ
2πν o
électromagnétique y obéit donc à l’équation d’Helmholtz ΔU + ko2U = 0 , où ko =
, c étant la vitesse
c
de la lumière dans le vide ;
• on fait une hypothèse d’ondes « entrantes », c’est à dire qu’il existe une décomposition en ondes planes
(éventuellement inhomogène) du champ où aucune composante des vecteurs d’onde n’a de partie réelle
dirigée vers les z négatifs ni ne croît sans limite dans le demi-espace.
G
On cherche simplement une expression de U R en tout point du demi-espace.
( )
G
r ( x, y )
G
R
z
On rappelle en outre la transformée de Fourier suivante :
1
πμ 2
exp −
α étant un réel positif et β un réel, TF ⎡⎣exp− π (α + i β ) x 2 ⎤⎦ =
, où μ est la variable
α + iβ
α + iβ
conjuguée de x et où la racine du nombre complexe au dénominateur désigne le complexe à partie réelle positive
dont le carré est le radicand. Il en résulte notamment TF ( exp iπ x 2 ) = exp ( −iπμ 2 + i π 4 ) .
U plane
On rappelle aussi l’expression d’une onde plane :
G G
G
G G
R, t = U o exp −iω o t + ik ⋅ R = U o exp −2iπν o t + 2iπΩ ⋅ R . Dans ce qui suit, la dépendance temporelle
( )
(
)
(
)
sera omise et on utilisera de préférence la dernière forme.
II – SOLUTION GENERALE
G
Par définition de la TF bidimensionnelle de U ( r , 0 ) ,
G
G
G G
G
U ( r , 0 ) = ∫ U (ω , 0 ) exp ( 2iπ r ⋅ ω ) d 2ω
(1)
R2
Par linéarité des équations de Maxwell (en l’occurrence, de l’équation d’Helmholtz) et unicité de la solution,
cherchons la solution en imposant au noyau de la transformée de Fourier de représenter une onde plane
G G
G G
« entrante » : exp ( 2iπ r ⋅ ω ) représente la valeur en z=0 de l’onde plane « entrante » exp 2iπ R ⋅ Ω avec
(
G
ν
1
Ω 2 = ω 2 + Ω 2z =
= 2 , où λ désigne la longueur d’onde dans le vide.
c
λ
2
o
2
Appendice sur la diffraction de Fraunhofer et la diffraction de Fresnel.
)
37
D’où la solution cherchée :
G
⎛G G
⎞ G
1
G
− ω 2 z ⎟⎟ d 2ω
U R = ∫ U (ω , 0 ) exp 2iπ ⎜⎜ r ⋅ ω +
2
λ
⎝
⎠
R2
où, si le radicand est négatif, il faut prendre la détermination à partie imaginaire positive.
( )
(2)
III – APPLICATIONS
3.1) Champ proche et champ lointain :
•
On a vu que le champ se décompose en
une partie qui se propage à l’infini, c’est à dire en ondes planes homogènes pour lesquelles Ω z > 0 , ce qui
G 1
correspond aux fréquences spatiales bidimensionnelles ω < ,
λ
•
une partie exponentiellement décroissante, ondes planes inhomogènes évanescentes, essentielles dans la
description du champ proche pour lesquelles Ω z est un imaginaire pur, correspondantes aux fréquences
spatiales bidimensionnelles élevées.
3.2) Diffraction de Fraunhofer :
si l’on est capable de recueillir séparément chacune des ondes planes composant le champ lointain (les
ondes planes homogènes), on recueille la TF bidimensionnelle du champ dans le plan Π, ou plus exactement de
sa partie de fréquence spatiale inférieure en module à 1/λ. C’est ce qu’on réalise en pratique en recueillant
chaque onde plane en un point du plan focal d’une lentille : c’est le principe de la diffraction de Fraunhofer sous
sa forme la plus simple (nous en verrons des variantes dans le cours).
3.3) Diffraction de Fresnel :
si l’on sait que l’onde dans le plan Π ne contient que des fréquences spatiales de module faible par
rapport à 1 λ , donc produisant des ondes planes peu inclinées par rapport à l’axe 0z, alors on peut développer la
racine dans l’exposant du second membre de l’équation (2) et ne garder que les deux premiers termes : c’est
l’approximation « de Fresnel » :
G
⎛ G G λω 2 z ⎞ 2 G
z
G
U R = exp 2iπ
U (ω , 0 ) exp 2iπ ⎜ r ⋅ ω −
(2bis)
⎟d ω
∫
2 ⎠
λ R2
⎝
( )
qui compte tenu du rappel sur les TF indiqué au paragraphe I se transforme en équation de convolution :
G
z
G
U R = exp 2iπ
TF −1 ⎡⎣U (ω , 0 ) exp− iπλω 2 z ⎤⎦
λ
( )
⎛ iπ r 2 ⎞
−i
G
U ( r , 0 ) * exp ⎜
⎟
λ
λz
⎝ λz ⎠
ce qui est l’expression habituelle de la diffraction de Fresnel.
= exp 2iπ
z
Appendice sur la diffraction de Fraunhofer et la diffraction de Fresnel.
(3)